鄧友祥

數(shù)學認知思維序與有效教學策略（下）

鄧友祥

3　培養(yǎng)初中生良好數(shù)學認知思維序的有效教學策略

所謂良好的數(shù)學認知思維序，就是指學生的認知思維處于有序的強邏輯狀態(tài)。弗賴登塔爾認為，“只有用邏輯關系建立結構，它才成為數(shù)學，而這個過程就是數(shù)學化”，“如果將數(shù)學解釋為一種活動的話，那就必須通過數(shù)學化來教數(shù)學、學數(shù)學”。［3］

據(jù)此觀點，要使學生形成良好的數(shù)學認知思維序，必須將對學生數(shù)學學習活動的心理順序的研究真正深入到數(shù)學教學活動之中，加強“高層次數(shù)學思維”研究。［4］比如，引導學生正確表征數(shù)學問題，向學生提供具有探索性和思考性的數(shù)學學習任務，給學生盡可能多的將已有學習題材轉化為數(shù)學內容的“數(shù)學化”機會，引發(fā)學生深度的數(shù)學思考，重視學生之間的合作交流，加強學生抽象概括和數(shù)學反思能力的培養(yǎng)，逐步發(fā)展學生的邏輯結構，不斷提高學生的數(shù)學學習效率和數(shù)學思維能力水平。

3.1引導學生正確表征數(shù)學問題

就數(shù)學學習而言，數(shù)學問題表征是指根據(jù)數(shù)學問題所提供的信息和自身已有的知識經驗，發(fā)現(xiàn)問題的結構，構建自己的問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉化為內部心理符號的過程。數(shù)學問題表征既是學生對數(shù)學問題的理解和內化的過程，也是數(shù)學問題在學生頭腦中的呈現(xiàn)方式。有研究表明問題的適當表征與問題的成功解決之間存在正相關；［5］不當表征與解題成績成負相關。［6］由此看來，數(shù)學問題表征是數(shù)學問題解決的核心和關鍵，這是學生形成良好數(shù)學認知思維序的重要基礎。學生一旦確定了合理的方式表征問題，就形成了一個良好的問題空間，從而有助于問題的解決。這就要求教師在平時的數(shù)學教學中，要重視加強對學生的數(shù)學語言（文字、符號、表格、圖形等）表達能力的培養(yǎng)，使學生逐步做到從引來別人的言語到自行思考表達，重視數(shù)學文字語言與數(shù)學符號語言的互譯，以及讓學生口述命題（定理）的完整證明過程（思路）等“說題”訓練，促使學生形成良好的數(shù)學認知思維序，加深對數(shù)學知識的理解。

有必要指出的是，數(shù)學問題是具有相對性的，其在學生頭腦中的呈現(xiàn)方式也會有所不同。同一個數(shù)學問題，對有的學生來說可能不構成問題；相反，一般人認為不成問題的問題，對有的學生來講，有時反而構成問題。所謂不構成問題，即能將已知的知識、概念、公式、法則、定律等直接運用于新的情景；所謂構成問題，即要轉換和組合已知的知識、經驗等，才能達到既定的學習目的。因此，同一數(shù)學問題對不同的學習主體來說會有不同的表征，因而也就會呈現(xiàn)出不同的學習結果。比如，要求學生解答“求|x-1|+|x-3|的最小值”這一問題時，如果習慣于用絕對值的定義來解（表征）此問題，不僅分類討論使得問題解決過程繁瑣，還涉及函數(shù)、不等式等知識的綜合運用，即便是對部分初三學生而言，也可能會構成問題；而對能將此問題進行如下幾何表征的大部分初一學生來說反而不構成問題，即根據(jù)絕對值概念的幾何意義就是距離，假設數(shù)1、3在數(shù)軸上對應的點分別為A、B，進而此問題可轉化（表征）為“在數(shù)軸上尋求一點（線段AB上任何一點均可），使得該點到A、B兩點的距離之和最小”的問題。

因此，在平時的數(shù)學教學中，教師要重視幫助學生剔除背景知識經驗、智力水平、認知特性、動機強度、氣質性格等影響數(shù)學活動效果的因素，以有助于學生正確地表征數(shù)學問題。

3.2引發(fā)學生深度的數(shù)學思考

美國教學法專家理查德·薩奇曼認為，人具有天生的對陌生事物或是疑難問題本能地進行研究的傾向，這是一種內在的心理探究欲望。眾所周知，數(shù)學知識學習難度與數(shù)學學習活動強度密切關聯(lián)，缺乏難度（較強思維性）的數(shù)學學習，易使學生注意力分散、思維逐漸僵化、意志力差、興趣差。學生只有在高強度的數(shù)學認知活動中，才能發(fā)展起高質量的認知品質，從而有助于建立良好的數(shù)學學習活動的心理順序。

為了引發(fā)學生深度的數(shù)學思考，確保數(shù)學學習活動的有效性，根據(jù)維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，數(shù)學教學應該向學生提供挑戰(zhàn)性認知任務。挑戰(zhàn)性認知任務是指那些稍微超出學生能力，但在老師的幫助下可以完成的任務。維果茨基認為，教學要重視學生“學習的最佳期限”，不應盲目拔高和遲滯，以免錯過“最近發(fā)展區(qū)”。這就要求教師在進行數(shù)學教學設計和實施教學時，必須考慮學生現(xiàn)有的數(shù)學思維水平層次，所提供的數(shù)學教學內容或任務應該能給學生造成積極的認知沖突。［7］

由此看來，數(shù)學教師在設計數(shù)學活動教學時，所選擇的問題及安排的數(shù)學活動不僅要適合于學生現(xiàn)有的數(shù)學思維水平，更應考慮到促進學生的數(shù)學思維向下一個數(shù)學思維階段發(fā)展，即不僅要考慮到學生數(shù)學思維能力水平的限制，還要考慮到數(shù)學思維發(fā)展的潛力。比如，教學“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)”后，我們曾向初中學生出示過如下具有開放性的問題：“現(xiàn)有濃度為35%的鹽水40千克，要將它配制成濃度是50%的鹽水，你有什么辦法？”實踐表明，在充分暴露學生數(shù)學思維過程的同時，學生的思維空間得到了較大拓展。他們有的采用加鹽（溶質）的方法來提高濃度；有的采用蒸發(fā)掉一部分水（溶劑）的方法來提高濃度；有的采用“一定量的濃度高于50%的鹽水”與“濃度為35%的40千克鹽水”混合制成濃度是50%的鹽水。這樣的教學，為學生充分發(fā)揮想象、推理，作出多種不同解答，提供了充分活動（思維活動）的機會，符合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，有助于學生的數(shù)學活動水平由知識經驗層次上升為邏輯層次，促使學生的數(shù)學思維得到良好的有序發(fā)展。

3.3促進學生邏輯結構的發(fā)展

弗賴登塔爾認為“數(shù)學教學不要教孤立的片段，應該教連貫的材料，這個觀念從原則上看是正確的，因為有聯(lián)系的事物學得快，記得牢”，［3］“逐漸形成和發(fā)展學生的作為數(shù)學活動基礎的那些邏輯結構是數(shù)學教學最重要的手段”。［8］

上述觀點要求在平時的數(shù)學教學中，教師不能孤立地、片面地、靜止地處理數(shù)學教材，而應抓住數(shù)學知識內在的邏輯結構，注重知識間的縱橫聯(lián)系，以整體的思想來組織處理教學內容，引導學生認識與理解數(shù)學的本質。在橫向方面，著力引導學生比較新舊知識之間的內在邏輯關系和區(qū)別，促使學生將已有數(shù)學知識自覺形成“豎成線、橫成片”、“由點構成線、由線構成面”的融會貫通的邏輯結構；在縱向方面，要致力于揭示數(shù)學知識之間的上下從屬關系，弄清所學數(shù)學知識的“序”與“流”，以有助于學生深刻把握所學數(shù)學知識。

例如，教學過有理數(shù)后，應及時引導學生將本章節(jié)主要內容進行如下歸納整理（如圖3）。

圖3

這樣的教學，既有助于發(fā)展學生的邏輯結構，又能使學生的數(shù)學思維向較高的概括化水平發(fā)展。

3.4向學生提供合理的數(shù)學學習支架

維果茨基認為：“教師在向學生提供有效認知任務的同時，還應該提供合理的學習支架，使學生可以借助支架參與問題解決并獲得意義上的理解，從而確保教學獲得最大效益?！保?］

據(jù)此觀點，所應采取的教學方式，其實質是通過支架（教師的幫助）把管理學習的任務逐漸由教師轉移給學生自己，最后撤去支架。這就要求在平時的數(shù)學教學中，教師應將監(jiān)控學習和探索的責任逐步向學生轉移，在突出學生發(fā)現(xiàn)活動的同時，針對學生認知水平層次的差異性，提供合理的數(shù)學學習支架，并逐漸減少指導成分，使學生盡可能地達到“獨立發(fā)現(xiàn)”的地位。

例如，“銳角的正切”這部分內容的教學目標是：使學生發(fā)現(xiàn)直角三角形中銳角與兩直角邊的比值之間存在一一對應關系，認識到用直角邊的比值刻畫一個角的大小的合理性，正確理解正切函數(shù)的概念，并受到具體問題具體分析的辯證唯物主義觀點教育，訓練學生思維的嚴密性和靈活性，培養(yǎng)學生初步的空間觀念和綜合運用知識的能力。南京市一位優(yōu)秀數(shù)學教師在全國初中數(shù)學優(yōu)質課某次大賽中，設計了如下實際問題情境，讓學生思考：你能比較如圖4中兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？

圖4

待學生思考、討論，初步得出判斷哪個梯子更陡，可以采用從臺階的高度與水平方向的長度進行比較，也可以考慮梯子與地面夾角的大小等方法后，教師向學生提供了如下問題（學習支架）讓學生探究，自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如圖5，有6個梯子，你能按照陡峭程度排個序嗎？能用某個數(shù)量刻畫這些梯子的陡峭程度嗎？

圖5

筆者認為，該教師針對初中學生數(shù)學思維活動水平（空間觀念）的層次差異，不僅向學生提供了有效的數(shù)學認知任務，所提供的學習支架也是合理的。實際教學中，所有學生都能比較部分梯子，獲得探究的成功。學生的自主表現(xiàn)主要呈現(xiàn)出如下三種不同層次的數(shù)學思維活動水平（A、B、C由低到高）。［9］

A思維活動水平（直觀水平）的學生：只選擇“等高”（如①②）或“等底”（如③④）進行探究，結果發(fā)現(xiàn)“等高”的兩個梯子中底邊短的反而陡，“等底”的兩個梯子中高長的反而陡。這一層次水平上的學生，只能認識眼前有形的、實在的事物。

B思維活動水平（經驗水平）的學生：能在完成A水平任務的基礎上，發(fā)現(xiàn)②③“等比”，并進一步將難以比較的轉化成容易比較的情況，如“將⑤中的高和底都縮小一半，就可以和②比較了”“⑥中高和底同時縮小3倍，就可以和③或④比較了”，從而得出6個梯子的陡峭順序，進而得出“梯子的陡峭程度肯定與直角三角形的兩直角邊有關，或與直角三角形的銳角有關”，但還不能用準確的數(shù)量來刻畫。處于這一層次水平上的學生，認識事物往往只能依靠已有經驗（經歷事實或信息+直覺）來完成，有時雖可作出預測性的認識，但準確性較差。

C思維活動水平（邏輯水平）的學生：能在完成B水平任務的基礎上，通過邏輯推理，歸納得出“在直角三角形中，銳角與兩直角邊的比值之間存在一一對應關系”，這對建立函數(shù)模型，引入正切概念，可謂水到渠成。處于此層次水平的學生，應該能夠（或說應該能達到）依據(jù)概念、規(guī)則和相關程序步驟，通過邏輯推理得出科學結論，這是僅憑經驗、觀察得不到的事實。

需要說明的是，盡管允許學生自主選擇不同水平層次的問題解決方法，但上述A、B兩個層次的結果畢竟不是教學的最終結果，這就要求教師進行教學時，要適時引導學生進行合作交流，使處于A、B層次水平的學生在問題解決過程中不斷針對學習目標進行自我調節(jié)，最終上升到C層次水平。這樣的教學符合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，有助于促進學生的數(shù)學思維活動水平由直觀層次或經驗層次上升為邏輯層次。

3.5加強同級生之間的合作交流

實踐教學研究表明，同級生（同學）之間產生的智慧，能促使初中生主動接受他人觀點、主動分享他人情感，自主合作與交流是初中生一種較為有效的數(shù)學學習方式。初中生之間充分的有效合作交流學習，對調整自己的數(shù)學學習活動的心理順序，并促使其向良好數(shù)學認知思維序方向發(fā)展有著較顯著的作用。

上述結論源于多年前筆者的實證研究：某次，我們曾對本市S校初二兩個平行班（簡稱為甲、乙班）共94名學生進行了如下測試。［10］

②已知x2-4x-9=0，求x5-4x4+2x3-6x+1的值。

測試方法：第一步，先出示第①題，讓兩個班的學生各自獨立解答，要求學生除了用一般方法（直接代入法）解以外，盡可能用簡便方法解，并收齊練習結果；第二步，將學生所采用的簡便方法（如果有的話）在本班予以公布，并討論交流，在此基礎上再出示第②題，要求兩個班的學生各自再獨立解答，并收齊練習結果。

測試結果：第①題，甲班學生幾乎都是采用直接代入法等方法來解的，無一人想到巧妙解法；乙班有2名學生想到了如下巧妙解法：因為，所以所以x2-4x-6=0，所以x2-4x+6=（x2-4x-6）+12=0+12=12。此種方法蘊含了整體思維這種重要的數(shù)學思維方法。

第②題，甲班絕大多數(shù)學生采用了一般解法（如先由條件直接求出x的值，再用代入法解等），采用類似于第①題的巧妙解法（簡便方法）的人數(shù)僅占4%，乙班采用類似于第①題的巧妙解法（簡便方法）的人數(shù)百分比高達87%。

上述結果中，乙班學生解答第②題時采用巧解（簡便方法）的人數(shù)百分比遠高于甲班。這是由于在解答第①題時，乙班有2名學生（而甲班無1人）運用了巧解，使其余學生受到了啟發(fā)。

鑒于上述測試只是一則，其研究結果可能會帶有較大的局限性，因此，為了得到真實可靠的結果和采取有效的做法，近幾年，我們曾不定期對本市十多所城鎮(zhèn)初中進行了隨機聽課與調查、個別訪談研究。整個研究過程，除個別訪談外，隨機聽課共32節(jié)，其中學生出現(xiàn)閃光點（新思想、新思路等）的課有9節(jié)。僅就這9節(jié)課而言，平均有10.6%的學生首次獨立出現(xiàn)了閃光點（最高達17.8%）；經小組討論等合作交流學習后，受他人觀點啟發(fā)而產生閃光點的人數(shù)百分比平均為32.5%（最高達46.7%）。

上述研究結果表明，同級生之間充分有效的合作交流，不僅可以使初中生有更多的機會對自己的觀念進行表述和辯論（反省），還能學會如何聆聽別人的意見并作出適當?shù)脑u價，適時調整自己的數(shù)學學習活動的心理順序，使自身的數(shù)學認知思維序向有助于問題解決的良好方向發(fā)展。

這就要求在平時的數(shù)學教學中，教師要善于引導學生多進行合作交流，重視預設后的生成，關心學生所提出的問題，幫助他們用數(shù)學的思維方式數(shù)學地理解和解決數(shù)學問題。同時，要善于捕捉學生智慧的火花，并讓其閃光，以有效地發(fā)揮“同伴教學”的作用，有效地促進學生的數(shù)學學習，促使學生迸發(fā)出創(chuàng)新的火花。

加強同級生之間的合作交流學習，通?？捎腥缦聨追N做法：一是建立融洽的師生關系，活躍學生思維，使學生大膽交流、樂于發(fā)表意見、敢于創(chuàng)新；二是向學生提供自主、寬敞的學習時空，使學生有機會交流；三是發(fā)揮表揚和激勵功能，使學生樂于交流。

3.6加強數(shù)學反思能力的培養(yǎng)

學生解題（尤其是解答陌生的或較難的問題）受阻是常有的事，此時，教師應重視引導學生進行批判性回顧，克服學生思維性干擾（思維定式、思維無序、思維亂序等）帶來的弊端。有效的數(shù)學教學要重視在實際操作中培養(yǎng)學生的反思習慣和反思能力，尤其要重視培養(yǎng)學生的獨立思考能力。這是數(shù)學內化的需要，也是學生了解、認識自己獲得數(shù)學學習經驗、思想、方法的需要，以及不斷調整自身數(shù)學學習活動的心理順序的需要。

研究表明，初中生在數(shù)學問題解決方面所表現(xiàn)出來的差異，主要來源于思維策略上的差異。優(yōu)等生在問題空間的搜索中，更善于捕捉啟發(fā)信息，能更快地從試誤策略轉化為啟發(fā)式搜索策略。進行思維策略訓練的重要任務，就是要加強學生“元認知控制”能力的培養(yǎng)，解題后的反思是培養(yǎng)學生“元認知控制”（計劃、監(jiān)視、調節(jié)）能力的有效策略。［11］因此，數(shù)學教學應從數(shù)學學科特點的角度出發(fā)，對學生的數(shù)學認知活動進行深入研究，引導學生在進行認知活動的過程中，將自己正在進行的認知活動作為意識對象，不斷地對自身進行積極的、自覺的監(jiān)控和調節(jié)，進行批判性回顧，有效提高自身的數(shù)學認知思維能力。

反思，通常可從如下幾方面入手：反思所運用的概念、規(guī)則的正確性；反思所采用的解題策略是否合理或最優(yōu)；反思數(shù)學問題本身有無可利用的隱含條件；反思解題表達是否規(guī)范等。

總之，要在學生常犯錯誤的關鍵之處，適時地引導學生去反思、回顧，培養(yǎng)學生的批判性數(shù)學思維品質，達到正確解題的目的。這樣有助于學生養(yǎng)成獨立思考、善于提出疑問、及時發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤的良好習慣，不斷提高學生對認知活動的自我意識和自我控制能力。（基金項目：江蘇省重點建設一級學科——數(shù)學（JSXK201301），江蘇省高等教育教改研究重點立項課題——MPCK（MPCA）視閾下數(shù)學本科專業(yè)教師教育課程設置研究（2015JSJG059））

（作者單位：江蘇省泰州學院）

［1］趙艷芳.認知語言學概論［M］.上海：上海外語教育出版社，2001：3.

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［3］弗賴登塔爾.陳昌平，唐瑞芬等譯.作為教育任務的數(shù)學［M］.上海：上海教育出版社，1995.

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［5］NovickLR，HurleySM，F(xiàn)rancisM.Evidence forAbstract，SchematicKnowledgeofThreeSpatial DiagramRepresentations［J］.MemoryCognition，1999，27（2）：288-308.

［6］徐速.數(shù)學問題解決中視覺空間表征研究的綜述［J］.數(shù)學教育學報，2006，15（1）：35-38.

［7］曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，1999：212-213.

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［10］鄧友祥.情商對初中生數(shù)學素質提高影響的調查［J］.數(shù)學通報，2003，（01）：11-13.

［11］陳琦，劉儒德主編.當代教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，1999：198-199.