梁詩雪， 任曉丹， 李　杰,2

(1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092; 2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室,上海 200092)

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兩相介質(zhì)隨機場的隨機諧和函數(shù)表達

梁詩雪1， 任曉丹1， 李杰1,2

(1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092; 2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室,上海 200092)

給出了兩相介質(zhì)隨機場的定義，引入均勻性假定以作為兩相介質(zhì)隨機場表達的基礎(chǔ).采用隨機諧和函數(shù)生成標準高斯隨機場，并將其作為生成兩相介質(zhì)隨機場的中間量.通過引入Nataf變換和Hermite多項式展開，給出了兩相介質(zhì)隨機場和標準高斯隨機場之間的變換關(guān)系.由此,可以給出標準正態(tài)隨機場與兩相介質(zhì)隨機場之間相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，將標準高斯隨機場轉(zhuǎn)化為目標兩相介質(zhì)隨機場.通過數(shù)值算例驗證了采用隨機諧和函數(shù)表述兩相介質(zhì)隨機場的正確性.

兩相介質(zhì)隨機場； 隨機諧和函數(shù)； Nataf變換； Hermite多項式展開

對于大多數(shù)復合工程材料，其材料組成、內(nèi)部初始缺陷(微裂縫、微孔洞等)都具有隨機性，反映在力學性能上的明顯特征就是宏觀力學指標(彈性模量、斷裂能、強度)的離散性[1].對材料隨機性的科學反映與合理描述，能使人們更加精細地對材料細觀結(jié)構(gòu)進行建模，進而對材料隨機的本構(gòu)關(guān)系進行分析與研究.值得注意的是，對于隨機材料，存在著兩種意義上的隨機性影響：物理性質(zhì)的隨機性與幾何分布的隨機性.前者反映材料的物理性質(zhì)(如細觀斷裂能等)，一般采用單相介質(zhì)描述；后者反映復合材料中不同介質(zhì)空間分布的隨機性，一般根據(jù)復合材料的組成，采用兩相甚至多相隨機介質(zhì)描述.本文重點研究兩相介質(zhì)材料幾何分布隨機性的科學反映問題.

另一方面，許多學者試圖通過隨機場對兩相介質(zhì)復合材料的空間分布進行描述.在通過實驗手段獲得兩相介質(zhì)復合材料統(tǒng)計信息的前提下，研究者發(fā)展出了多種模擬兩相介質(zhì)隨機場的方法.例如：Joshi[4]通過線性濾波方法，將獨立的標準高斯隨機過程變換為不相關(guān)的離散隨機過程，用以描述材料的兩相介質(zhì)特征.Quiblier[5]在Joshi的基礎(chǔ)上，將一維隨機過程描述推廣至二維、三維隨機場.Rintoul等[6]采用模擬退火方法給出二維顆粒材料的分布，用以描述孔隙介質(zhì)隨機場.Yeong等[7]將掃描成像技術(shù)和隨機場模擬方法相結(jié)合，基于最小能量法給出了兩相介質(zhì)隨機場的模擬方法.Ilango等[8]在Joshi的基礎(chǔ)上，給出了基于Karhunen-Loeve展開的兩相介質(zhì)隨機場，用以描述二維空間孔隙結(jié)構(gòu).基于Karhunen-Loeve展開方法描述隨機場，須引入足夠多的隨機變量對隨機場進行模擬，由此增加了計算難度、降低了計算效率.近年來，為了減少隨機場模擬中隨機變量的個數(shù)，陳建兵等[9-10]提出了隨機諧和函數(shù)的概念，用以描述隨機過程.可以證明：當頻率與相位在經(jīng)過剖分的子空間內(nèi)分別服從獨立均勻分布、且幅值由隨機頻率與目標功率譜密度決定時，則無論隨機諧和函數(shù)分量的個數(shù)是多少，該隨機過程的功率譜密度函數(shù)均等于目標功率譜密度函數(shù).孫偉玲等[11]給出了隨機過程的第二類隨機諧和函數(shù)方法，即當分量幅值、頻率與相位均為隨機變量時，隨機諧和函數(shù)過程的功率譜密度函數(shù)也可以精確地等于目標功率譜密度函數(shù).梁詩雪等[12]將上述隨機諧和函數(shù)表達進一步擴展至空間隨機場.

本文引入均勻性假定作為兩相介質(zhì)隨機場表達的基礎(chǔ).采用隨機諧和函數(shù)生成二維均勻高斯隨機場，并將其作為生成兩相介質(zhì)隨機場的中間量.進而，基于Nataf變換與Hermite多項式展開，獲得目標兩相介質(zhì)隨機場與平穩(wěn)高斯隨機場之間的Nataf變換關(guān)系以及它們的數(shù)值特征(相關(guān)函數(shù))之間的關(guān)系.由此可將高斯隨機場轉(zhuǎn)化為目標兩相介質(zhì)隨機場.通過數(shù)值算例，建立了混凝土強度的兩相介質(zhì)隨機場，驗證了這一方法的正確性.

1　兩相介質(zhì)隨機場的定義

不失一般性，引入兩相隨機介質(zhì)并采用離散的二維隨機場對其空間分布進行描述.不妨設(shè)這一隨機場任意點處的概率密度函數(shù)服從0-1分布，因而可以將其表示為

(1)

對于混凝土或土體而言，式(1)中的強相可以視為混凝土的骨料或土體中的顆粒等；而弱相可以看作是混凝土中的水泥砂漿基體或者土體中的孔洞等.值得注意的是，強相出現(xiàn)的概率正是其面積(體積)所占的比例.因此，可以將強相(取值為1的相)所對應的概率設(shè)為ρ，而將弱相(取值為0的相)所對應的概率定為1-ρ.

上述兩相介質(zhì)隨機場的數(shù)值特征為

(2)

(3)

式中:E(·)表示隨機場的數(shù)學期望；D(·)表示隨機場的方差.

對于均勻隨機場，其相關(guān)函數(shù)可以定義為

(4)

將隨機場Z0規(guī)則化為均值為0、方差為1的單位隨機場

(5)

基于式(4)，給出單位隨機場Z(u)的相關(guān)函數(shù)RZZ(u1,u2) 為

(6)

而自協(xié)方差函數(shù)KZ(u1,u2)與相關(guān)函數(shù)RZZ(u1,u2)之間的關(guān)系為

(7)

由兩相介質(zhì)隨機場的定義以及式(7)可知，在式(1)條件約束下，只要給出了兩相介質(zhì)隨機場每一相所占的比例以及相關(guān)函數(shù)，兩相介質(zhì)隨機場即可完全確定.

2　高斯隨機場的隨機諧和函數(shù)表達

本文采用高斯平穩(wěn)隨機場作為基本隨機場生成兩相介質(zhì)隨機場.為此，首先采用隨機諧和函數(shù)[12]描述一般二維隨機場：

對于式(8)所示的隨機諧和函數(shù)，可以證明[12]，若滿足以下條件：

(9)

(3) 隨機波數(shù)的函數(shù)為

(10)

(11)

其中，SY0Y0為高斯隨機場的功率譜密度函數(shù)，其與高斯隨機場的相關(guān)函數(shù)RY0Y0之間服從維納-辛欽關(guān)系

(12)

ei(K1ξ1+K2ξ2)dK1dK2

(13)

則所生成的隨機場為零均值平穩(wěn)隨機場，且其截口概率密度函數(shù)漸進于標準正態(tài)分布.

3　Nataf變換與Hermite多項式展開

3.1Nataf變換

Nataf變換是將函數(shù)從一般分布空間轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)空間的一個數(shù)學模型.采用Nataf變換，將非正態(tài)分布變換為等效的標準正態(tài)分布的原則一般稱之為等概率變換原則[13]，即非正態(tài)分布與標準正態(tài)分布具有相同的累積分布函數(shù)

(14)

式中:FZ(z)表示目標分布的累積概率分布函數(shù)；FY(y)表示標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù).

在本節(jié)中，筆者試圖采用Nataf變換給出前述兩相介質(zhì)隨機場與上述高斯平穩(wěn)隨機場之間的關(guān)系，同時給出其數(shù)值特征，即相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系.圖1給出了基于Nataf變換的具有離散分布的累積概率分布函數(shù)和對應的標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù).

圖1　Nataf變換

顯然，兩相介質(zhì)隨機場的累積概率分布函數(shù)呈現(xiàn)“階梯”形，而在階梯處的累計概率等于兩相介質(zhì)隨機場強相出現(xiàn)的概率ρ.根據(jù)標準正態(tài)分布的累計概率分布公式，不難求得標準正態(tài)分布對應于累計概率為ρ的分值點函數(shù)值y1

(15)

由此，可定義兩相介質(zhì)隨機場的Nataf變換公式t(y)為

(16)

將式(16)代入式(6)，兩相介質(zhì)隨機場的相關(guān)函數(shù)可以進一步表示為

(17)

式中:pzz(z1,z2)表示離散分布z的二維概率密度函數(shù)；ptt(y1,y2)為二維標準正態(tài)分布概率密度函數(shù).

將式(17)中二維標準正態(tài)分布ptt(y1,y2)的概率密度函數(shù)改寫為其完備形式，可以獲得

dy1dy2

(18)

式(18)給出了相關(guān)函數(shù)RZZ(u1,u2)和RYY(u1,u2)之間的關(guān)系，其中RZZ(u1,u2)為已知的兩相介質(zhì)隨機場的相關(guān)函數(shù)，RYY(u1,u2)為待求的標準高斯隨機場的相關(guān)函數(shù).為了簡單起見，在以后的推導中，將RZZ(u1,u2)，RYY(u1,u2)統(tǒng)一簡寫為RZZ，RYY.

3.2Hermite多項式展開

Hermite多項式是一種經(jīng)典的正交多項式族，根據(jù)其應用的不同，可分為物理學定義形式和概率論定義形式[14]，本文采用在概率論中運用廣泛的形式

(19)

Hermite多項式關(guān)于標準正交函數(shù)帶權(quán)正交

(20)

其中，δmn為Kronecker符號.

根據(jù)Ilago等[8]建議的方法，采用Hermite多項式可將二維標準正態(tài)分布展開如下：

(21)

首先，將式(21)代入式(17)，有

Hm(y1)Hn(y2)dy1dy2

(22)

由正交性條件可知，當且僅當i=m,j=n時，式(22)可寫為

cmn·m!n!

(23)

整理式(23)并將二維正態(tài)分布的完備形式(18)代入式(23)，有

Hm(y1)Hn(y2)dy1dy2

(24)

由于Hermite多項式與標準正態(tài)分布帶權(quán)正交，可以引入如下積分公式：

(25)

將式(25)給出的積分公式，代入式(24)，化簡可得

(26)

觀察式(26)，可以進一步應用正交性條件，當且僅當m=n時，cmn可以化簡為

(27)

將式(27)代入式(21)，有

(28)

將二維標準正態(tài)分布表達式(28)代入式(17)

Hm(y2)φ(y1)φ(y2)dy1dy2=

(29)

為簡便起見，引入

(30)

因此，兩相介質(zhì)隨機場相關(guān)函數(shù)RZZ和標準高斯隨機場相關(guān)函數(shù)RYY之間的關(guān)系可以寫為

(31)

由第2節(jié)和第3節(jié)內(nèi)容，可以將兩相介質(zhì)隨機場產(chǎn)生步驟總結(jié)如下：①通過實驗獲得兩相介質(zhì)隨機場各相介質(zhì)所占的比例ρ，確定目標兩相介質(zhì)隨機場的相關(guān)函數(shù)RZZ；②由式(30),(31)求解高斯隨機場自相關(guān)函數(shù)RYY；③由式(8)～(13)，采用隨機諧和函數(shù)，生成標準高斯隨機場樣本；④將標準高斯隨機場樣本代入兩相介質(zhì)隨機場Nataf變換公式(16)，即可獲得兩相介質(zhì)隨機場樣本.

4　數(shù)值算例

4.1RYY數(shù)值求解

圖2　Hermite多項式展開項數(shù)

可見，當Hermite展開項數(shù)達到15項時，RYY的數(shù)值趨于穩(wěn)定，考慮到計算效率與精度，本文建議的Hermite展開項數(shù)m=20.

4.2兩相介質(zhì)隨機場

本節(jié)以混凝土材料抗壓強度隨機場為例，給出兩相介質(zhì)隨機場的具體建模過程.從細觀角度來看，混凝土材料主要是由骨料和水泥砂漿兩相組成.二者的材料性能差異很大，常用骨料的抗壓強度在120～250 MPa[15]之間，遠高于商用混凝土的立方體抗壓強度標準值15～80 MPa.混凝土試件受力變形直至破壞的過程中，大部分骨料單元遠未達到其抗壓強度，而水泥砂漿強度較低，裂紋一般產(chǎn)生于水泥砂漿相或者骨料與砂的界面.因此，在混凝土細觀結(jié)構(gòu)的建模中，需要對骨料和水泥砂漿進行精確的建模并考慮其幾何分布的隨機性.

由Ren等的試驗[16]，可以通過混凝土配合比反算出混凝土骨料(強相)所占的比例為ρ=0.451，水泥砂漿(弱相)所占的比例為1-ρ=0.549.

設(shè)混凝土骨料抗壓強度為200 MPa，水泥砂漿抗壓強度為50 MPa.給出混凝土抗壓強度分布的隨機場f(x1,x2)，有

(32)

選取兩相介質(zhì)隨機場的相關(guān)函數(shù)形式如下[17]：

(33)

式中:ξ1,ξ2分別為x1,x2方向的距離；b1,b2分別為x1,x2方向的相關(guān)長度，本文取為試驗[16]中混凝土最大骨料粒徑b1=b2=0.8 cm.

對應于式(33)的功率譜密度函數(shù)為

(34)

由式(8)～(13)采用隨機諧和函數(shù)生成高斯平穩(wěn)隨機場，截斷波數(shù)K1u=K2u=10 rad·s-1.隨機諧和函數(shù)展開項數(shù)為N1×N2=8×8.

圖3給出了目標兩相介質(zhì)隨機場的功率譜密度函數(shù).圖4給出了采用500組樣本所給出的平均功率譜密度函數(shù).圖5a,b分別給出了在K1,K2方向上功率譜密度函數(shù)的比較.

圖6a,b分別給出了采用本文建議方法生成的兩相介質(zhì)隨機場樣本.應該指出的是，對于大多數(shù)工程材料而言，材料樣本幾何特性對其破壞模式影響較大，因而對隨機場樣本特征的觀察也是必不可少的.圖6中，黑色部分代表骨料(強相)，灰色部分代表水泥砂漿(弱相).

圖3　目標功率譜密度

圖4　重建功率譜密度

a K2=0

b K1=0

5　結(jié)論

本文針對復合工程材料的兩相介質(zhì)空間分布的隨機性，提出了一種兩相介質(zhì)隨機場的生成方法.通過試驗，可以測量兩相介質(zhì)隨機場中每一相對應的比例和隨機場自相關(guān)函數(shù).通過隨機諧和函數(shù)方法生成標準高斯隨機場作為基本隨機場，采用Nataf變換和Hermite多項式展開獲得標準高斯隨機場與目標兩相介質(zhì)隨機場之間的變換關(guān)系.由此，給出了兩相介質(zhì)隨機場的生成方法.通過數(shù)值算例，生成了混凝土強度的兩相介質(zhì)隨機場，同時在數(shù)值特征(功率譜密度函數(shù))層面和樣本層面上驗證了本文所提出方法的正確性.

a 樣本1

b 樣本2

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Simulation of Two-Phase Random Field by Stochastic Harmonic Functions

LIANG Shixue1, REN Xiaodan1, LI Jie1,2

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

In the present paper, a method was proposed to represent the two-phase, homogeneous random field. In the first place, the framework of two-phase random field was put forward and the homogeneous and isotropic assumption was given as the premise of the work. Then, the stochastic harmonic function (SHF) representation for the Gaussian random field was provided as the inter-media for the two-phase random field. With the SHF based random field, the Nataf’s transformation was applied to convert Gaussian random field into the target random field. The Hermite polynomials were used as the numerical solution for the bivariate Gaussian pdf involved in the Nataf’s transformation. Finally, several numerical examples were given to clarify the validity of stochastic harmonic function based two-phase random field.

two-phase random field; stochastic harmonic function; Nataf transformation; Hermite polynomials

2015-12-17

國家自然科學基金(90715033，U1134209)

梁詩雪(1987—)，女，博士生，主要研究方向為混凝土隨機損傷力學．E-mail：liangshixue0716@126.com

李杰(1957—)，男，教授，博士生導師，工學博士，主要研究方向為混凝土隨機損傷力學、隨機動力系統(tǒng)分析與生命線工程抗災．E-mail：lijie@#edu.cn

O211.6

A