付騰飛，付寶杰

（安徽理工大學(xué)能源與安全學(xué)院，安徽淮南232100）

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基礎(chǔ)研究

基于西原模型的非線性損傷蠕變模型

付騰飛，付寶杰

（安徽理工大學(xué)能源與安全學(xué)院，安徽淮南232100）

針對傳統(tǒng)的西原模型不能較好地反映巖石蠕變非穩(wěn)定階段，且多數(shù)學(xué)者對西原模型的修正是通過屈服強(qiáng)度閾值來界定非穩(wěn)定階段，而通過時間閾值考慮非穩(wěn)定蠕變階段界定的研究相對較少。在西原模型的基礎(chǔ)上，引入Kachanov損傷理論及時間損傷閾值，建立了一種同時描述3個階段的非線性損傷蠕變方程式。通過灰?guī)r蠕變試驗得到試驗數(shù)據(jù)，對新的非線性損傷蠕變模型的參數(shù)進(jìn)行反演，并進(jìn)行曲線擬合，分析巖石的蠕變損傷過程和對應(yīng)階段的穩(wěn)定性，證明了該模型的正確性和合理性，為巖石流變失穩(wěn)現(xiàn)象提供理論依據(jù)。

西原模型；損傷；非線性；加速蠕變

巖石流變在巖石工程（如隧道工程、煤礦巷道支護(hù)）中普遍存在，其中許多破壞都因巖石流變破壞而引起，如:邊坡的突然滑動、巷道的巖爆等，對巖石工程的長期穩(wěn)定性和安全性有顯著影響［1］。對于巖石流變的研究，現(xiàn)有的經(jīng)典流變模型都只能描述巖石的線性衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變，不能同時描述巖石的加速蠕變和表現(xiàn)巖石的破壞特性，因此更多的研究人員建立能反映加速蠕變階段的非線性流變方程，以進(jìn)一步研究巖石的流變破壞?？梢酝ㄟ^增加新的非線性元件或用非線性元件代替現(xiàn)有流變模型中的基本元件來建立非線性流變方程，如:胡波［2］等將可階躍函數(shù)表示的開關(guān)元件和損傷元件引入CVISC蠕變模型研究了巖石蠕變特性；陳沅江［3］等考慮裂隙塑性體和蠕變體，并將它們和虎克體及開爾文體相結(jié)合得到了一種能描述加速蠕變階段的新的復(fù)合流變力學(xué)模型；袁林［4］等引入非線性TN體與傳統(tǒng)西原模型組合為非線性黏彈塑性流變模型，更有效地描述了巖石的流變特性。也可以通過考慮經(jīng)典流變模型中元件模型參數(shù)為非常定值串并聯(lián)組合成來描述巖石蠕變?nèi)^程的新模型，如:丁志坤［5］在考慮參數(shù)為非定常的情況下，采用H-K體的三元件模型更為準(zhǔn)確地反映了巖石不同應(yīng)力水平下的黏彈性變形性能；曹樹剛［6］在分析巖石的全應(yīng)力-應(yīng)變曲線和蠕變曲線基礎(chǔ)上，修正西原模型中的黏滯系數(shù)，建立了參數(shù)非線性蠕變型。

而在工程應(yīng)用中，巖石材料的強(qiáng)度與該材料的流變特性和內(nèi)部損傷機(jī)理是密切相關(guān)的［1］。不僅巖石材料本身非均勻性會導(dǎo)致加速蠕變，在外載荷作用下巖體內(nèi)微觀裂紋和空洞的發(fā)展而形成的損傷也同樣會導(dǎo)致加速蠕變。事實上所謂巖石損傷就是外荷載作用下巖石內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)的不斷變形和調(diào)整，當(dāng)結(jié)構(gòu)變化到一定程度就會表現(xiàn)為巖石宏觀上的失穩(wěn)破壞。因此，很多學(xué)者將損傷引入蠕變研究中。如:張強(qiáng)勇等［7］考慮巖體的流變損傷劣化效應(yīng)，建立了變參數(shù)的蠕變損傷本構(gòu)模型，反映巖體逐漸損傷劣化引起的蠕變參數(shù)改變對流變特性的影響；劉桃根［8］等應(yīng)用損傷力學(xué)，建立了3種蠕變損傷本構(gòu)模型，都很好地描述了砂巖的流變特性。

巖石的非線性蠕變是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)調(diào)整在蠕變過程中的綜合表現(xiàn)。本文以西原模型為基礎(chǔ)，在蠕變本構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)中考慮蠕變損傷和時間閾值的影響，構(gòu)造巖石非線性蠕變損傷機(jī)制解釋巖石蠕變過程中所顯現(xiàn)的非線性變形特征。結(jié)合試驗數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件反演出新蠕變方程中的參數(shù)，將擬合曲線與實際試驗曲線進(jìn)行對比分析，結(jié)果具有較高的準(zhǔn)確性，為巖體流變的非線性研究提供一定的理論參考。

1　流變模型的建立

1.1西原模型

根據(jù)應(yīng)力水平的不同，巖石蠕變曲線有3種情況:較低應(yīng)力水平下初始蠕變后進(jìn)入速率為零的衰減蠕變曲線；低應(yīng)力水平下初始蠕變后進(jìn)入速率為常數(shù)的定常蠕變曲線；高應(yīng)力水平下巖石進(jìn)入具有初始蠕變，穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變的蠕變?nèi)^程曲線［9］。傳統(tǒng)的西原模型所含元件少、能全面反映巖石彈-黏彈-黏塑變形特性，在巖石材料研究中得到廣泛應(yīng)用，其模型如圖1所示。但其一般只能描述第一、第二階段的蠕變，并不能反映加速蠕變階段。

圖1　西原模型

傳統(tǒng)西原模型的本構(gòu)、蠕變方程為:

式中，σ0為初始應(yīng)力；σs為臨界應(yīng)力；εc為傳統(tǒng)西原模型中的應(yīng)變；E為彈性模量；η為黏性系數(shù)；t為時間。

1.2非線性損傷蠕變模型

巖石的蠕變過程與其內(nèi)在損傷機(jī)理有密切關(guān)系，其非線性蠕變是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化在蠕變過程中的綜合表現(xiàn)，本文引入損傷變量，同時考慮加載時間因素對流變特性影響，建立非線性蠕變模型，修正西原體蠕變方程。

巖石材料的損傷是指在外載環(huán)境作用下，由于微觀結(jié)構(gòu)的大量微裂紋、微孔洞的產(chǎn)生、擴(kuò)展和連接，導(dǎo)致該材料的力學(xué)性能的劣化過程。其中已經(jīng)破壞材料微元與微元總體的比值即為損傷變量。文中設(shè)巖石材料微元總體面積為1，微元受損面積為D，則未受損部分的面積為1-D。假設(shè)無損巖石的應(yīng)力和應(yīng)變分別為σw和εw，其中εw與式（2）中εc的意義是一致的，已破壞巖石材料的應(yīng)力和應(yīng)變分別為σf和εf，則此巖石的總應(yīng)變［10］為:

在忽略彈性變形，考慮損傷情況下，蠕變率假設(shè)為指數(shù)率耦合:

取初始條件t=0時，εf=0得:

依據(jù)Kachanov提出的損傷變量，其演變方程為:

式中，a，b，m，n是材料常數(shù)，均由試驗確定。

取初始條件t=tb，D=0，其中tb為蠕變損傷臨界破壞時間（損傷時間閾值），由（6）得:

對式（7）整理得:

將式（8）代入式（5）得已破壞巖石材料的應(yīng)變表達(dá)式為:

所以，將式（2）和（9）代入式（3）得到考慮損傷的蠕變方程為:

根據(jù)應(yīng)力水平條件和加載時間的不同，可以分別得到相應(yīng)的蠕變方程:

（1）當(dāng)σ＜σs時，模型表示為廣義Kelvin體，可以描述衰減蠕變，巖石處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時蠕變方程為:

（2）當(dāng)σ≥σs，t＜tb時，模型表達(dá)為經(jīng)典的西原模型

（3）當(dāng)σ≥σs，t≥tb時，模型為非線性蠕變模型，可以描述蠕變?nèi)^程曲線，反映巖石非穩(wěn)定階段，這一階段將導(dǎo)致巖石失穩(wěn)破壞，此時蠕變方程為:

1.3確定時間閾值

巖石材料流變破壞荷載和時間的關(guān)系如圖2所示，伴隨時間增加，破壞荷載呈減小趨勢，即流變時間趨向無窮大對應(yīng)的強(qiáng)度為長期強(qiáng)度σ∞。巖石從開始進(jìn)入加速蠕變階段到巖石流變破壞經(jīng)歷的時間可定義為加速歷時。

圖2　σ與t的關(guān)系

假定巖石的破壞荷載和時間的關(guān)系、破壞荷載和加速歷時的關(guān)系用如下指數(shù)函數(shù)來表示:

式中，σ0為巖石瞬時強(qiáng)度；σ∞為長期強(qiáng)度；t為破壞時間；Δt為加速歷時，α，β為模擬參數(shù)。

則巖石加速流變的起始時間［11］可表示為:

2　算例分析

2.1灰?guī)r蠕變試驗

本次試驗灰?guī)r巖樣采自潘北煤礦，其主要組成為碳酸鹽巖，摻雜有黏土和粉砂，密度2210kg/m3，砂巖的波速為2672～3570m/s。巖樣取芯制成高×直徑為100mm×50mm的標(biāo)準(zhǔn)尺寸。采用安徽理工大學(xué)液壓伺服加載試驗系統(tǒng)對灰?guī)r試件進(jìn)行蠕變試驗，將巖樣分為6組，分別進(jìn)行加載，得到如圖3所示的灰?guī)r蠕變曲線:

圖3　不同應(yīng)力水平下灰?guī)r的蠕變曲線

由圖3可知，分級加載巖樣具有如下特征:

（1）瞬時施加應(yīng)力后，每級荷載都會產(chǎn)生瞬時應(yīng)變，然后為蠕變變形，其蠕變變形表現(xiàn)出非線性，應(yīng)變率也有增加的趨勢。巖樣存在一個蠕變應(yīng)力閾值31.2MPa（該閾值為巖樣長期強(qiáng)度），閾值右側(cè)整體斜率小于閾值點左側(cè)并整體偏向于應(yīng)力軸，當(dāng)應(yīng)力小于閾值時蠕變很快衰減趨于零，即只有穩(wěn)態(tài)蠕變。

（2）巖樣產(chǎn)生瞬時應(yīng)變后，微裂紋開始發(fā)生隨機(jī)分布，損傷度逐漸增大，在較高應(yīng)力水平下隨時間增長開始產(chǎn)生非穩(wěn)定蠕變變形，低應(yīng)力水平只有瞬態(tài)蠕變和穩(wěn)定蠕變階段。20MPa載荷僅產(chǎn)生8.1×10-4的瞬時應(yīng)變，經(jīng)過5.3h后應(yīng)變保持恒定；25MPa載荷產(chǎn)生9.0×10-4的瞬時應(yīng)變，經(jīng)3.9h后應(yīng)變發(fā)展為1.17×10-3后保持恒定不變。隨著應(yīng)力水平的增大并大于起始蠕變應(yīng)力閾值，35MPa載荷下產(chǎn)生1.1×10-3的瞬時蠕變，然后進(jìn)入穩(wěn)定蠕變階段，經(jīng)21h后出現(xiàn)加速蠕變趨勢。應(yīng)力水平較高并大于時間閾值時將出現(xiàn)加速蠕變階段，40MPa載荷產(chǎn)生1.17×10-3初始蠕變，經(jīng)過15.4h后進(jìn)入加速蠕變，此載荷下加速蠕變階段出現(xiàn)相對較晚；45MPa載荷產(chǎn)生1.2×10-3瞬時蠕變，經(jīng)過短暫的穩(wěn)定蠕變階段，立即進(jìn)入加速蠕變階段，并在較短時間內(nèi)發(fā)生破壞，此載荷下加速蠕變階段出現(xiàn)得較早。

2.2參數(shù)反演及驗證

通過蠕變試驗數(shù)據(jù)確定流變參數(shù)，曲線擬合是普遍適用的方法，其中使用非線性最小二乘法進(jìn)行曲線擬合應(yīng)用得最為廣泛，即對給定數(shù)據(jù)點，在取定的函數(shù)Φ中，求擬合函數(shù)p（x）∈Φ，通過運用最小二乘法使誤差的平方和∑［p（Xi）-Yi］2最小。Matlab軟件可以用于各種線性或非線性曲線擬合，本文利用其參數(shù)反演工具箱，讀入軸向蠕變應(yīng)變、及相對應(yīng)的蠕變時間，根據(jù)公式（11）、（12）、（13）對灰?guī)r蠕變曲線進(jìn)行擬合。假定Φ是文中提出的非線性蠕變曲線方程，是自變量t和待定參數(shù)B的已知函數(shù):Φ=f（t，B），已給出（Φ，T）的n對觀測值（εk，tk）（k=1，2，…，n），要求待定參數(shù)B，通過使Q=∑nk=［Φk-f（tk，B）］2為最小可得［12］，得到如表1所示的各參數(shù)擬合值。取外載荷 σ=40MPa時，σ0=48.3MPa，σ∞=31.2MPa，由公式（16）可以得到:α=0.03，β=1.04，tb=15.7h。

表1　非線性損傷蠕變模型的擬合參數(shù)

參數(shù)擬合結(jié)果顯示出:新非線性蠕變模型的擬合結(jié)果與實際試驗結(jié)果的相關(guān)性系數(shù)R2都較高，為0.95以上，說明新非線性損傷蠕變模型可以較好地描述巖石的3種蠕變情況，擬合結(jié)果如圖4所示。

圖4　蠕變理論曲線和試驗曲線

3　結(jié) 　論

（1）將巖石材料的強(qiáng)度及蠕變特性與內(nèi)部損傷機(jī)理相聯(lián)系，考慮微觀的影響。引入Kachanov損傷理論到西原模型蠕變表達(dá)式中，較準(zhǔn)確地解釋巖石材料的蠕變本質(zhì)，從微觀結(jié)構(gòu)的巖石損傷考慮對蠕變加速的影響，使材料蠕變特性更符合實際。

（2）從巖石流變破壞載荷與破壞時間的關(guān)系考慮，引入反映加速蠕變起始點的時間閾值，當(dāng)達(dá)到時間閾值t＞tb時，巖石開始出現(xiàn)損傷劣化，反映巖石蠕變的加速階段。

（3）通過灰?guī)r流變試驗，運用Matlab軟件對建立的非線性損傷蠕變模型進(jìn)行了反演，得到巖石非線性蠕變模型的擬合曲線。模型能較好地描述不同水平應(yīng)力下灰?guī)r的蠕變曲線，尤其是描述加速蠕變階段，該非線性損傷蠕變模型可以為巖石流變失穩(wěn)現(xiàn)象提供理論依據(jù)。

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［責(zé)任編輯：李宏艷］

Nonlinear Damage Creep Model Based on Xiyuan Model

FU Teng-fei，F(xiàn)U Bao-jie
（Energy and Safety School，Anhui University of Science&Technology，Huainan 232001，China）

To the problems of instability step of rock creep deformation could not be reflected by traditional Xiyuan model，and as the modified Xiyuan model for most of scholars，instability deformation step was confirmed by yield strength threshold value，but instability creep deformation step was confirmed by time threshold value was less.On the basis of Xiyuan model，Kachanov damage theory and time damage threshold was introduced，nonlinear damage creep formula that explained three steps at the same time was built.The experimental data was obtained by creep experiment of limestone，the parameters of new nonlinear damage creep model were inverted，and curve fitting was analyzed，the creep damage process of rock and its stability of corresponding step，the results proved the model was right and reasonable，it references for rock rheology instability phenomenon theory.

xiyuan model；damage；nonlinear；acceleration creep

TD325

A

1006-6225（2016）04-0001-04

2015-11-30［DOI］10.13532/j.cnki.cn11-3677/td.2016.04.001

國家自然科學(xué)基金（51174002）

付騰飛（1992-），男，山西長治人，在讀碩士研究生，研究方向為礦山壓力與巖層控制。

［引用格式］付騰飛，付寶杰.基于西原模型的非線性損傷蠕變模型［J］.煤礦開采，2016，21（4）：1-4.