江蘇泰州市姜堰區(qū)東橋中心小學(xué)（225500）　翟紅梅

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利用幾何直觀揭示數(shù)學(xué)規(guī)律
——“釘子板上的多邊形”教學(xué)片斷及思考

江蘇泰州市姜堰區(qū)東橋中心小學(xué)（225500）翟紅梅

幾何直觀憑借圖形的直觀性特點(diǎn)，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，即把抽象思維與形象思維相結(jié)合，能夠充分揭示問題的本質(zhì)，激活學(xué)生的思維。學(xué)生經(jīng)歷充分探索規(guī)律的過程，根據(jù)自己的興趣自主畫圖、計(jì)算、驗(yàn)證、分類歸納，抽象概括出研究事物的共同特征，從而揭示釘子板上多邊形蘊(yùn)含的秘密，對(duì)規(guī)律本質(zhì)的認(rèn)識(shí)逐漸深入、完善。

直觀感知幾何直觀數(shù)學(xué)規(guī)律抽象概括合作探究

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路。”“釘子板上的多邊形”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，課堂教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀探索規(guī)律，掌握解決問題的方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？?duì)此，我進(jìn)行實(shí)踐和思考。

教學(xué)片斷一：直觀感知，引發(fā)沖突

1.獨(dú)立研究

2.匯報(bào)結(jié)果

生1：我研究的是這些多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這里多邊形的面積都等于邊上的釘子數(shù)除以2。

生2：我覺得用文字表達(dá)不太清楚。

生3：可以用字母來表示，這樣簡(jiǎn)潔些。如用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積，那發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就可以表示為S=n÷2。

3.思考質(zhì)疑

師：是不是釘子板上每個(gè)多邊形的面積和它邊上的釘子數(shù)都有這樣的關(guān)系呢？

4.分析驗(yàn)證

學(xué)生選擇之前自己任意圍出的多邊形數(shù)一數(shù)、算一算，看看它們的面積與邊上的釘子數(shù)是不是也有這樣的關(guān)系。

5.交流討論

生4：我圍出的多邊形面積和邊上的釘子數(shù)不符合這個(gè)規(guī)律，因?yàn)槲业膱D形內(nèi)部是3顆釘子。

生5：我圍出的多圖形面積和邊上的釘子數(shù)也不符合這個(gè)規(guī)律，因?yàn)槲业膱D形內(nèi)部是2顆釘子。

生6：這里多邊形的面積等于邊上的釘子數(shù)除以2，需要添加一個(gè)條件，那就是“當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)為1時(shí)”。由于我的同桌研究多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)不是1，所以就沒有這樣的規(guī)律。

6.抽象概括

師：如果用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，那么當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2。

7.梳理總結(jié)

師：剛剛我們是怎樣研究出多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系的？

生7：我們是通過“觀察圖形——分析數(shù)據(jù)——得出結(jié)論——舉例驗(yàn)證”的過程進(jìn)行研究的。

……

思考：

上述教學(xué)，先讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立操作，再小組交流，引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)為1的情況。學(xué)生通過研究單上的一組組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步得出結(jié)論，從而獲得探究成功的滿足感。我再提出問題：“是不是釘子板上每個(gè)多邊形的面積和它邊上的釘子數(shù)都有這樣的關(guān)系？”學(xué)生再次通過動(dòng)手操作，驗(yàn)證自己圍出的多邊形是否具有這樣的規(guī)律。這里由特殊到一般，幾何直觀憑借圖形的直觀性特點(diǎn)，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，即把抽象思維與形象思維相結(jié)合，充分揭示了問題的本質(zhì)，激活了學(xué)生的思維。接著，我引導(dǎo)學(xué)生從自己圍出的圖形開始研究，充分體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和趣味性。這樣不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷了探索規(guī)律的過程，學(xué)會(huì)了研究的基本方法，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的研究活動(dòng)做好了準(zhǔn)備。

教學(xué)片斷二：開放研究，提升認(rèn)識(shí)

1.提出問題

師：同學(xué)們每人都任意圍了一個(gè)多邊形，是不是該研究自己的圖形了？只有一個(gè)圖形可以研究嗎？為什么？怎么辦？

生1：一個(gè)圖形不便于找出規(guī)律，我提議我們根據(jù)圍出的多邊形內(nèi)部釘子的顆數(shù)重新分組，可以分成內(nèi)部沒有釘子的，或有2顆、3顆、4顆……釘子的。

2.合作探索

學(xué)生小組內(nèi)操作、填表、比較、歸納。

3.交流收獲

生2：我們小組研究的是圖形內(nèi)部有2顆釘子的情況，我們得出“（外部的釘子數(shù)+內(nèi)部的釘子數(shù)）÷2=圖形的面積”，用字母表示為S=（n+2）÷2。

師：這里多邊形的面積不等于n÷2，那它和n÷2有關(guān)系嗎？同桌互相討論，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

生3：我們可以將S=（n+2）÷2=n÷2+ 1進(jìn)行計(jì)算。

生4：前面還要加上“當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)a=2時(shí)”。（師板書：a=2時(shí)，S=n÷ 2+1）

生5：我們小組研究的是圖形內(nèi)部有3顆釘子的情況，我們得出a=3時(shí)，S=n÷2+2。

生6：我們小組研究的是圖形內(nèi)部沒有釘子的情況，我們得出a=0時(shí)，S=n÷2-1。

……

思考：

在初探規(guī)律后，學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)有2顆釘子時(shí)，規(guī)律并不和圖形內(nèi)有1顆釘子的一樣。這樣激發(fā)了學(xué)生繼續(xù)探究的欲望，自主設(shè)計(jì)圖形并探索其中的規(guī)律，從而完善第一次的認(rèn)知。學(xué)生由圖形內(nèi)有1顆釘子的多邊形面積與釘子數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步探索多邊形內(nèi)有2顆釘子、3顆釘子、0顆釘子時(shí)多邊形面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系。在這次活動(dòng)中，學(xué)生利用得到的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行猜想，并根據(jù)自己的興趣自主畫圖、計(jì)算、驗(yàn)證，從而揭示釘子板上圖形的秘密，使最初的感知更加深入、更加具體，對(duì)規(guī)律本質(zhì)的認(rèn)識(shí)逐漸完善。這里，我對(duì)學(xué)生探索的問題采取開放分類研究的方式，滿足了不同學(xué)生的不同需求，最大限度地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，讓學(xué)生體驗(yàn)到探究成功的樂趣。

在這次實(shí)踐活動(dòng)中，我以圖形為紐帶，利用幾何直觀讓學(xué)生經(jīng)歷充分探索的過程，體驗(yàn)研究的方法，從而揭示多邊形面積與邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生積極主動(dòng)借助幾何直觀去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、揭示規(guī)律的能力。

（責(zé)編藍(lán)天）

G623.5

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1007-9068（2016）20-038