☉上海市七寶中學(xué) 文衛(wèi)星

出活題考能力 簡(jiǎn)約不簡(jiǎn)單
——2016年上海數(shù)學(xué)試題評(píng)析

☉上海市七寶中學(xué) 文衛(wèi)星

2016年上海高考數(shù)學(xué)試題比較平穩(wěn).正所謂“出活題考能力，簡(jiǎn)約不簡(jiǎn)單”.理科均分約101分，這樣的分?jǐn)?shù)符合正態(tài)分布，能有效區(qū)分各類(lèi)考生的實(shí)際能力.試題沒(méi)有偏題、怪題，學(xué)生考試過(guò)程中心態(tài)較好，有利于考生正常發(fā)揮，師生反映良好.

一、重視思維考查，降低技巧要求

上海今年數(shù)學(xué)試題計(jì)算量較往年明顯減小，雖然考生感覺(jué)題目相對(duì)容易，但思維容量沒(méi)有減小，不僅表現(xiàn)在解答題中，客觀題也有所體現(xiàn).

例1（2016年上海卷理13）設(shè)a，b∈R，c∈［0，2π），若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有2sin（ 3x-）=asin（bx+c），則滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)組（a，b，c）的組數(shù)為_(kāi)___.

分析：試題形式新穎，容易得到a=2，要求b，c，就要得到關(guān)于b，c的等式或方程，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解最簡(jiǎn)三角方程，這樣沒(méi)有增加運(yùn)算量，但增加了思維容量.

例2 （2016年上海卷理14）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為正八邊形A1A2…A8的中心，A（11，0）.任取不同的兩點(diǎn)Ai，Aj，點(diǎn)P滿(mǎn)足+=0，則點(diǎn)P落在第一象限的概率是________.

圖1

5 組：A4，A7；A5，A7；A6，A7；A5，A6；A5，A8，故點(diǎn)P落在第一象限的概率是.

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的定義及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，答案幾乎是可以口算，不像往年的第14題，即使會(huì)算，計(jì)算量往往較大.

例3（2016年上海卷理18）設(shè)f（x）、g（x）、h（x）是定義域?yàn)镽的三個(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）中至少有一個(gè)增函數(shù)；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（）.

A.①和②均為真命題

B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題

D.①為假命題，②為真命題

解析：這個(gè)題目的文字表述為：三個(gè)定義在R上的函數(shù)，如果每?jī)蓚€(gè)函數(shù)之和是增函數(shù)，則每個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)；如果每?jī)蓚€(gè)函數(shù)之和是周期為T(mén)的函數(shù)，則每個(gè)函數(shù)都是周期為T(mén)的函數(shù).

文字表述便于理解題意，容易知道①是錯(cuò)的，反例就是每個(gè)函數(shù)都是不減的函數(shù)，但水平部分不在同一區(qū)間內(nèi)（如圖2），這是構(gòu)造性證明；如果用分段函數(shù)解析式表示，則要用較長(zhǎng)時(shí)間，方法不同能力各異.

圖2

②是對(duì)的，證明看似容易想到但有也點(diǎn)難：

f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T）；

f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T）；

g（x）+h（x）=g（x+T）+h（x+T）.

由以上三式可得g（x）=g（x+T），所以g（x）是以T為周期的函數(shù)，同理可得f（x）、h（x）也是以T為周期的函數(shù).故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題只是考查函數(shù)單調(diào)性和周期性的定義，沒(méi)有考查函數(shù)單調(diào)性、周期性的相關(guān)運(yùn)算技巧，只有對(duì)相關(guān)概念透徹理解做起來(lái)才會(huì)得心應(yīng)手，沒(méi)有套路可尋，只有能力展示.

上海數(shù)學(xué)卷的另一個(gè)特點(diǎn)是應(yīng)用題特別長(zhǎng)，今年也不例外，第20題是一道應(yīng)用題，題目有9行，還有一個(gè)圖，咋一看挺嚇人，實(shí)際耐心讀完發(fā)現(xiàn)并不難，第（1）問(wèn)考查拋物線的定義（當(dāng)然有范圍限制），第（2）問(wèn)所求面積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)梯形面積之和，這只要把點(diǎn)M的縱坐標(biāo)代入拋物線方程求出橫坐標(biāo)即可，所涉知識(shí)點(diǎn)并不多.

這樣的試題首先是對(duì)心理素質(zhì)的考查，如果心理素質(zhì)不好，恐怕連題目都讀不完，題目中還給一個(gè)未加說(shuō)明的“面積的‘經(jīng)驗(yàn)值’”需要理解，解題首先要讀懂題目，還要分析題目中的隱含條件（本題中函數(shù)的定義域），只有這樣才能有效解題，今年上海試卷中有些題目設(shè)計(jì)較好，對(duì)閱讀理解有一定要求.

例4（2016年上海卷理21（2））雙曲線x2-=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過(guò)F2且與雙曲線交于A、B兩點(diǎn).

解析：可設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程整理得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0.

再設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），然后把各個(gè)向量的坐標(biāo)算出來(lái)直接代入已知的向量等式中，再整理成k的方程，計(jì)算量較大.

1，其中k=，則計(jì)算量更小一些.

點(diǎn)評(píng)：看似一個(gè)不難的解析幾何題，使用方法不同，繁簡(jiǎn)程度不同，思維水平高低由此可見(jiàn)，命題者可謂匠心獨(dú)運(yùn)，值得注意的是，注重思維能力考查的做法還有多處.

二、數(shù)列有點(diǎn)“虛”，重在考素養(yǎng)

不少老師認(rèn)為今年對(duì)數(shù)列的考查“不到位”，幾個(gè)試題只是涉及最簡(jiǎn)單的通項(xiàng)公式和求和公式，估計(jì)高中學(xué)生畢業(yè)若干年后這些公式仍能記得，或者說(shuō)今年在考查核心素養(yǎng)方面是一個(gè)亮點(diǎn).筆者以為這不影響思維能力的考查，與考查套模式的“能力題”相比，今年的題目更新、更活、更能選拔出思維敏捷的考生，命題難度也更大.當(dāng)然如果對(duì)數(shù)列知識(shí)考查能再更深入一些則更完美.

例5（2016年上海卷文14題）無(wú)窮數(shù)列｛an｝由k個(gè)不同的數(shù)組成，Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，則k的最大值為_(kāi)___.

解析：因?yàn)閷?duì)任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，所以a1為2或3. 若a1=2，則后依次是1，-1，0（或依次是1，0，-1，即-1和0可以互換），…，共有4個(gè)數(shù)，此時(shí)k=4；若a1=3，則后面依次是-1，0，1（或-1，1，0，即1和0可以互換），此時(shí)k=4、1 或-1，換成其他實(shí)數(shù)則不行，所以k的最大值為4.

點(diǎn)評(píng)：本題沒(méi)有考查具體的等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，表面上看只是考查數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，實(shí)際上這是一個(gè)構(gòu)造性問(wèn)題，解答需要分類(lèi)，根據(jù)第一項(xiàng)判斷后一項(xiàng)取值情況，考生還因容易忘掉0而致誤，考查思維的縝密性.解題過(guò)程中需要枚舉或構(gòu)造具體例子，平時(shí)看似不以為然，但在高考的特定環(huán)境中要迅速做對(duì)還是很不容易的.本題重在考查邏輯推理，不超綱、不囿本，是一道鮮活的考查能力的好題.

例6（2016年上海卷理11）已知無(wú)窮等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，且=S.下列條件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（）.

A.a1＞0，0.6＜q＜0.7 B.a1＜0，-0.7＜q＜-0.6

C.a1＞0，0.7＜q＜0.8 D.a1＜0，-0.8＜q＜-0.7

點(diǎn)評(píng)：本題是今年數(shù)列中數(shù)學(xué)味“最濃”的一題，涉及等比數(shù)列求和公式、|q|＜1? limqn=0，通過(guò)不等式恒成

n→∞立判斷a1＜0需要反證法思想，判斷q的具體范圍需要通過(guò)n=1，2等都細(xì)致地考查邏輯推理與思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

例7（2016年上海卷理23）若無(wú)窮數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，則稱(chēng)｛an｝具有性質(zhì)P.

（1）略；

（2）若無(wú)窮數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列｛cn｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn，判斷｛an｝是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)｛bn｝是無(wú)窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）.求證：“對(duì)任意a1，｛an｝都具有性質(zhì)P”的充要條件為“｛bn｝是常數(shù)列”.

分析：第（1）題略.解答第（2）題要發(fā)現(xiàn)a1=a5，這個(gè)臺(tái)階設(shè)的不高，但還是有考生不能發(fā)現(xiàn)或發(fā)現(xiàn)晚了一點(diǎn)，敏銳地發(fā)現(xiàn)可以利用的條件也是一種能力（獲取和利用信息的能力）.接下來(lái)要通過(guò)反例否定｛an｝不是P數(shù)列，這些都是在“肯定需要證明，否定只需一個(gè)反例”的辯證思想指導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)的.

第（3）題首先運(yùn)用分析法得到要證｛bn｝是常數(shù)列，只要證明｛an｝是常數(shù)列，只要證明存在a1，使a1=b1+sina1總成立.對(duì)此，一種想法是通過(guò)構(gòu)造設(shè)函數(shù)f（x）=x-b1和g（x）=sinx，由于f（x）與g（x）的圖像總有交點(diǎn)，說(shuō)明存在a1.另一種想法是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f（x）=x-b1-sinx，證明f（x）有零點(diǎn)，取a1為此零點(diǎn).這時(shí)只要取m∈N*，使mπ＞|b1|，從而f（mπ）=mπ-b1＞0，f（-mπ）=-mπ-b1＜0，所以f（x）一定存在零點(diǎn).

至于結(jié)論的書(shū)寫(xiě)，可以用分析法，也可以用綜合法，還可以反證法（命題組提供反證法）.作為最后一道壓軸題，本題計(jì)算量不大，但思維容量不小，突出對(duì)理性思維的考查，導(dǎo)向非常好.

文科22題第（3）問(wèn)也是運(yùn)算量不大、思維容量不小的題目，雖然載體不同，但命題思想和手段一脈相承.今年試題還有一個(gè)特點(diǎn)就是最后三個(gè)起到區(qū)分作用（壓軸題）的3個(gè)大題的部分小題，或?qū)λ季S要求較高，或有多種不同的解法，且不同解法之間難易程度不同.這既可以使各種類(lèi)型的考生得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，又能有效地區(qū)分各類(lèi)考生的能力，提高試卷的區(qū)分度.

三、一題考遍函數(shù)，思想方法網(wǎng)羅

理科第22題、文科第23題都是以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)性質(zhì).

例8 （2016年上海卷理22）a∈R，函數(shù)f（x）= log+a）.

2

（1）略；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）-log2［（a-4）x+2a-5］=0的解集中恰好有一個(gè)元素，求a的取值范圍；（3）設(shè)a＞0，若對(duì)任意t∈，1］，函數(shù)（fx）在區(qū)間［t，

t+1］上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求a的取值范圍.

分析：第（2）題關(guān)鍵是對(duì)題設(shè)“方程的解集恰好有一個(gè)元素”的理解，一般考生可以得到a=3或a=4滿(mǎn)足條件. 當(dāng)a≠3且a≠4時(shí)，去掉對(duì)數(shù)符號(hào)得方程（a-4）x2+（a-5）x+1=0，此方程有兩解，即=-1和=，這時(shí)就要檢驗(yàn)真數(shù)是否大于0，即+a＞0且+a≤0或+a≤0且+a＞ 0，解得a的范圍.

其基本道理是：若loga（fx）=logag（x）（a＞0，a≠1），則（fx）=g（x）＞0.

這些都是從方程的角度看，既有思想又有方法，也可以從形的角度，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)，或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)，但分類(lèi)討論及運(yùn)算比代數(shù)法要繁.

解答第（3）題首先要證明f（x）是單調(diào)減函數(shù).在得到f（t）-f（t+1）≤1后，可以采用分離變量、可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、可以用數(shù)形結(jié)合等方法，每種方法涉及的具體知識(shí)點(diǎn)也不同.試題入口寬，學(xué)生感到不難，而一旦動(dòng)手解題，就要面臨具體解法的選擇，有利于區(qū)分考生的能力（當(dāng)然，有些考生可能只想到一種方法，那根據(jù)其所選方法也能看出能力高低，甚至有考生想不到一種方法），能用簡(jiǎn)單方法做對(duì)說(shuō)明能力強(qiáng)，對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)理解深刻，對(duì)方法掌握全面.

點(diǎn)評(píng)：本題涉及函數(shù)單調(diào)性、解方程、解不等式、最值等知識(shí)點(diǎn)，主要數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合，主要方法有轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等，一題幾乎考遍函數(shù)中重要的思想和方法，是一道四兩撥千斤的題目.

四、幾點(diǎn)感受

（1）希望今年的“出活題考能力，簡(jiǎn)約不簡(jiǎn)單，平凡不平庸”的命題風(fēng)格能保持下去，發(fā)揮“高考指揮棒”對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)作用.這不僅是對(duì)命題者理念的考驗(yàn)，更是對(duì)其能力的考驗(yàn).高考的目的是選拔、區(qū)分各類(lèi)考生的真實(shí)水平，而有些難題大家都不會(huì)，甚至命題組的答案不少老師也看不懂，那樣的試題不可能有好的區(qū)分度.

（2）誠(chéng)如有些老師所言，今年試題對(duì)數(shù)列和解析幾何的考查還可以“更到位”一點(diǎn)，立體幾何對(duì)線面關(guān)系，尤其是空間想象能力的考查力度也可再大一些，這更能甄別資優(yōu)考生.

（3）個(gè)別試題敘述是否可以再斟酌，避免對(duì)題意產(chǎn)生歧義.比如理科第23題的“設(shè)｛bn｝是無(wú)窮數(shù)列”，命題者的本意是“｛bn｝是無(wú)窮數(shù)列”在前，是事先給定的.而有人（特別是考生）理解是｛bn｝只要是無(wú)窮數(shù)列就可以，那么對(duì)任意a1，構(gòu)造則可得an=｛a1， n為奇數(shù)，即對(duì)任意的p∈N*及q=p+2滿(mǎn)足a=a，且sina，n為偶數(shù).pq1ap+1=aq+1，即“對(duì)任意a1，｛an｝都具有性質(zhì)P”，但當(dāng)a1≠0時(shí)，｛bn｝并不是常數(shù)列，因此必要性不成立.其實(shí)，只要在｛bn｝前加上“給定”兩字就不會(huì)產(chǎn)生歧義.瑕不掩瑜，本題還是很好的試題.當(dāng)然，后一種理解是否正確，歡迎同行不吝指正.

總之，2016年上海數(shù)學(xué)試卷是一份難得的好試卷，特別是在以后文理合卷的情況下，能給普通中學(xué)和文科的學(xué)生以極大的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.如果高考數(shù)學(xué)能考出好成績(jī)，當(dāng)然也有利于學(xué)生樹(shù)立自尊心.