☉江蘇省海門(mén)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張 浩

高三數(shù)學(xué)立體幾何的復(fù)習(xí)建議和思考

☉江蘇省海門(mén)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張 浩

近幾年的高考有逐步回歸基礎(chǔ)、回歸課本、回歸本質(zhì)等的趨勢(shì).而目前這種卷子滿天飛，大量盲目訓(xùn)練、重復(fù)訓(xùn)練、題型訓(xùn)練，使師生苦不堪言的復(fù)習(xí)過(guò)程，其實(shí)是注重操作，缺失本質(zhì)、缺失思維的過(guò)程，高考過(guò)后，感到做了不少無(wú)用功，令人痛心.筆者結(jié)合立體幾何備考過(guò)程中的復(fù)習(xí)措施，談?wù)勅绾位貧w基礎(chǔ)、回歸課本、回歸本質(zhì)，期望展現(xiàn)平凡中的精彩，啟發(fā)學(xué)生走出程式，走出模仿，提高數(shù)學(xué)解題能力.

一、回歸考題，明確模型

由近幾年的高考題容易發(fā)現(xiàn)，立體幾何題型比較穩(wěn)定.因此，關(guān)注考題的類(lèi)型，是立體幾何復(fù)習(xí)的關(guān)鍵.立體幾何類(lèi)命題以考查線面平行和垂直的判斷與推理為主，一般地以選擇題或填空題的形式考查概念性的知識(shí)與判定定理、性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，以解答題的形式結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查平行與垂直的判定、性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用，以及空間想象能力和邏輯思維能力.

例1如圖1，在四棱錐ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.

圖1

（Ⅰ）證明：DE⊥平面ACD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小.

分析：（Ⅰ）先在直角梯形BCDE中求出BC，即可利用勾股定理驗(yàn)證AC⊥BC，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理將已知平面ABC⊥平面BCDE轉(zhuǎn)化為AC⊥平面BCDE，從而得到AC⊥DE，最后結(jié)合已知DE⊥DC即證得結(jié)論.（Ⅱ）方法1，根據(jù)（Ⅰ）中證的垂直關(guān)系作出二面角的平面角，然后求出其所在三角形的三邊長(zhǎng)，利用余弦定理求其值；方法2，根據(jù)（Ⅰ）中證的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及二面角的法向量，最后利用這兩個(gè)法向量的夾角表示所求的二面角即可.

解：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD＝2，得BD＝BC＝.由AC＝，AB=2，得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE.所以AC⊥DE，由DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD.

（Ⅱ）方法1：作BF⊥AD，與AD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，與AE交于點(diǎn)G，連接BG.由（Ⅰ）知，DE⊥AD，則FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角.在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而B(niǎo)D⊥AB.

由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得

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圖2

方法2：以D為原點(diǎn)，分別以射線DE，DC為x，y的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖2所示.由題意知，D（0，0，0），E（1，0，0），C（0，2，0），A（0，2，），B（1，1，0）.

設(shè)平面ADE的法向量為m= （x1，y1，z1），平面ABD的法向量為n=（x2，y2，z2），

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間位置關(guān)系證明以及求二面角.在解決空間距離與空間角問(wèn)題時(shí)，有時(shí)可以采用幾何法，有時(shí)可以采用向量法，可以結(jié)合題目的條件加以選擇.而往往采用向量法解決問(wèn)題時(shí)思路比較簡(jiǎn)單，是一種常用的方法，但是要會(huì)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.通過(guò)這道題的復(fù)習(xí)，對(duì)證明線面垂直和求二面角的大小有了明確的方法.

二、回歸基礎(chǔ)，系統(tǒng)梳理

高三一輪復(fù)習(xí)的展開(kāi)，主要是基礎(chǔ)知識(shí)的梳理，高效的一輪復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教師的不懈追求.例如某教師的上課流程如下：

環(huán)節(jié)1情景導(dǎo)入，引入復(fù)習(xí)

教師首先用多媒體課件以表格形式展示近幾年來(lái)各省市高考數(shù)學(xué)試卷中有關(guān)立體幾何中的空間角的相關(guān)試題類(lèi)型及分值，然后展示分析考試大綱中相應(yīng)的考試要求.

環(huán)節(jié)2回憶鞏固，構(gòu)建知識(shí)

多媒體課件上以問(wèn)題串的形式提問(wèn)學(xué)生并配圖演示，以幫助學(xué)生完成對(duì)本節(jié)的知識(shí)梳理.

問(wèn)題1：立體幾何中學(xué)習(xí)的異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的概念是什么？

問(wèn)題2：異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的范圍是什么？

問(wèn)題3：兩條異面直線所成的角是它們方向向量的夾角嗎？

問(wèn)題4：直線和平面所成的角是直線的方向向量和平面的法向量的夾角嗎？

問(wèn)題5：二面角是兩個(gè)平面的法向量的夾角嗎？

問(wèn)題6：如何用式子來(lái)說(shuō)明三種角與向量夾角的關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生將所求的角與向量夾角建立聯(lián)系并通過(guò)向量計(jì)算來(lái)解決立體幾何中的空間角問(wèn)題.

環(huán)節(jié)3典例剖析，考點(diǎn)突破

例2如圖3，直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.

（Ⅰ）求異面直線SA和OB所成的角的余弦值；

圖3

（Ⅱ）求OS與面SAB所成角的

正弦值；

（Ⅲ）求二面角B-AS-O的余弦值.

教師分析并在黑板上板書(shū)解題過(guò)程，示范立體幾何中空間角問(wèn)題的常規(guī)解法和解題規(guī)范步驟，規(guī)范學(xué)生的解題步驟和過(guò)程.

環(huán)節(jié)4合作交流，互動(dòng)探究

（1）自主練習(xí)

如圖4，已知長(zhǎng)方體AC1中，棱AB= BC=1，棱BB1=2，點(diǎn)E是CC1的中點(diǎn).

（Ⅰ）求BE和A1C所成角的正弦值；

圖4

（Ⅱ）求ED與平面A1B1C所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角E-BD-C的余弦值.

學(xué)生練習(xí)，利用多媒體投影儀投影部分學(xué)生的解題過(guò)程，進(jìn)一步規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程.

（2）變式提升（學(xué)生自主編制試題）

學(xué)生練習(xí)后，在提前將學(xué)生分組的前提下，以練習(xí)中的長(zhǎng)方體為背景，由一組編制試題（三類(lèi)空間角的問(wèn)題），另一組解答.因?yàn)樵诰毩?xí)環(huán)節(jié)已經(jīng)建好坐標(biāo)系，找好了各點(diǎn)的坐標(biāo).因此時(shí)間是允許的.這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐和合作交流的能力，真正實(shí)現(xiàn)“知識(shí)的深化”和“能力的活化”.

環(huán)節(jié)5完整體系，思維升華

問(wèn)題7：通過(guò)學(xué)習(xí)，體會(huì)向量法求空間角的一般步驟.

問(wèn)題8：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，你有什么體會(huì)？（引導(dǎo)學(xué)生分析、綜合、提升）

（1）空間問(wèn)題平面化：立體幾何平面化與空間向量平面化；

（2）立體幾何向量化：解題的關(guān)鍵是找出直線的方向向量與平面的法向量，通過(guò)兩條射線所成的角解決所求角的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為平面角的計(jì)算；

（3）向量問(wèn)題坐標(biāo)化：通過(guò)找點(diǎn)、向量的坐標(biāo)的運(yùn)算將平面角用坐標(biāo)法求出.

本課例中的幾個(gè)環(huán)節(jié)通過(guò)問(wèn)題串的形式給出概念和公式給出基礎(chǔ)知識(shí)，情形正如章建躍博士所言：“大量數(shù)學(xué)教師在課堂上沒(méi)有抓住數(shù)學(xué)概念的核心進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生經(jīng)常在沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進(jìn)行大運(yùn)動(dòng)量的解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，教學(xué)活動(dòng)不得要領(lǐng).學(xué)生花費(fèi)大量時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，完成了無(wú)數(shù)次解題訓(xùn)練，但他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍非常脆弱.”在數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，以呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)為主，幫助學(xué)生從整體上真正理解概念，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，完成對(duì)知識(shí)的重組，逐個(gè)擊破知識(shí)點(diǎn).

三、回歸課本，追溯本源

在立體幾何復(fù)習(xí)中，如能很好地抓住課本上的一些基本、典型的關(guān)系，既可簡(jiǎn)化求解過(guò)程，提高復(fù)習(xí)效率，又可培養(yǎng)全面深刻、靈活多變的思維能力.

問(wèn)題：在Rt△ABC中，兩直角邊分別為a，b，設(shè)h為斜邊上的高，則=+.類(lèi)比并論證：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，且長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)棱錐底面上的高為h，則a，b，c，h之間有關(guān)_______.

課本習(xí)題：S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，SH⊥平面ABC于H.求證H是△ABC的垂心.

解析：如圖5，作SH⊥平面ABC，垂足為H，連結(jié)AH并延長(zhǎng)交BC于G，連結(jié)SG.由習(xí)題的證明過(guò)程可知，BC⊥平面SAG，BC⊥SG.設(shè)SG的長(zhǎng)為x，則在Rt△CSB中

圖5

立體幾何的一個(gè)重要作用是培養(yǎng)空間想象能力，向量引入計(jì)算和證明，很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，使問(wèn)題的解決靈活多樣，但課本反映的基本空間關(guān)系不可丟.高三的復(fù)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生利用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技巧逐步掌握解題過(guò)程的一般規(guī)律，學(xué)習(xí)分析方法，提高分析能力，切不可變成模仿訓(xùn)練，重復(fù)訓(xùn)練.

總之，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握必須依靠典型的問(wèn)題來(lái)體現(xiàn)，因此在高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要精選例題，應(yīng)精選那些最能體現(xiàn)本質(zhì)的思想方法的例題和練習(xí)，用它們來(lái)支撐和驗(yàn)證本質(zhì)的思想方法和通性通法確實(shí)是最有效的解題策略.

另外，我們提倡講授式教學(xué)和探究式教學(xué)的有效整合.我們不能“滿堂灌”，也不能將“講授式”拒于課堂之外，應(yīng)根據(jù)不同問(wèn)題的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法.該教師講授的，教者要滔滔不絕；該學(xué)生探究的，教師要積極創(chuàng)設(shè)情境，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，讓學(xué)生真正參與、親身經(jīng)歷教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程.