☉江蘇省蘇州第十中學(xué)校 毛東良

立足起始課教學(xué)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——對(duì)數(shù)概念教學(xué)的實(shí)錄與反思

☉江蘇省蘇州第十中學(xué)校 毛東良

一、背景

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從通俗的角度來講，就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)排除或忘掉后剩下的東西，能從數(shù)學(xué)的角度看問題，有條理地進(jìn)行理性思維、嚴(yán)密求證、邏輯推理的意識(shí)和能力.從專業(yè)的角度講，就是主動(dòng)探尋并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；熟練地運(yùn)用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想.本文試著從教學(xué)過程的維度，通過對(duì)數(shù)概念這節(jié)起始課，思考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).該課是筆者參加2015蘇州大市評(píng)優(yōu)課所開設(shè)的一節(jié)公開課.

二、教材解讀

“對(duì)數(shù)的概念”是蘇教版教材必修1“對(duì)數(shù)函數(shù)”的起始課，是前面指數(shù)概念和指數(shù)函數(shù)的回顧、深化和延續(xù)，同時(shí)又是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ).指數(shù)運(yùn)算是已知底數(shù)和指數(shù)求冪值，而對(duì)數(shù)則是已知底數(shù)和冪值反過來求指數(shù)，對(duì)數(shù)既是一種全新的運(yùn)算，又起到承上啟下的作用.

三、教學(xué)過程

（一）概念的生成在情境中引發(fā)

情景1計(jì)算：

（1）16×256=_______；

（2）256×4096=______；

（3）4096×32768=______.

師：請(qǐng)大家以最快的速度完成上面3個(gè)計(jì)算.

生1：第（1）問我發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，如圖1，

16×256=24×28=24+8.后面的數(shù)字太大還在計(jì)算中.

師：很棒，有沒有辦法快速處理（2），（3）這類大數(shù)據(jù)的運(yùn)算？（受到了剛才的啟發(fā)，學(xué)生很快有了思路）.

生2：是不是都可以化成2的多少次方來處理呢？（教師ppt上引入圖1，快速解決（2），（3））

圖1

師：誰能概括一下這種算法的優(yōu)點(diǎn)？

生3：這種計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)就是把復(fù)雜的乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算.

師：實(shí)際上二千多年前阿基米德在還沒有指數(shù)運(yùn)算法則的情況下就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，但可惜沒有繼續(xù)探究下去，也沒有在實(shí)際生活中得以運(yùn)用，失去了對(duì)數(shù)破土而出的機(jī)會(huì).

（二）概念的感悟在觀察中發(fā)現(xiàn)

情景2計(jì)算：299792.458×31536000=1光年

299792.458→光在真空中的速度（千米/秒）

×31536000→一年的秒數(shù)

1 光年→一個(gè)天文單位

能否利用剛才的運(yùn)算處理這個(gè)大數(shù)據(jù)運(yùn)算？回到表格中…

問題：31536究竟等于2的多少次方？

生4：根據(jù)y=2x與y=31536的圖像，精確值肯定存在，由表格知在14與15之間，但求不出.

師：可見這一數(shù)表雖然好但不夠用，無法找到滿足方程2x=31536的x準(zhǔn)確值.早在16世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾德，就發(fā)現(xiàn)了這種神奇的計(jì)算方法，但他也遇到同樣的問題.許多人為了制作一張更為精確的表格而奉獻(xiàn)了自己畢生的精力.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：通過經(jīng)歷16，17世紀(jì)大數(shù)據(jù)的運(yùn)算難題，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的重大作用和引進(jìn)對(duì)數(shù)的必要性，對(duì)數(shù)和指數(shù)的聯(lián)系通過表格得到了初步體現(xiàn).同時(shí)通過豐富的情景和動(dòng)人的歷史故事激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造欲，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.在發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的過程中，同時(shí)也涉及到了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了鋪墊.

（三）概念的構(gòu)建在類比中揭示

師：回顧初中數(shù)學(xué)，為了解方程a3=2引入了新的符號(hào)根式“”，方程的解就用a=表示.類似地，請(qǐng)大家思考：如何得到方程2x=31536的解呢？

生5：也引進(jìn)一個(gè)符號(hào)來表示這個(gè)數(shù)，而且含有2，31536這兩個(gè)數(shù).

師：不錯(cuò)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾首創(chuàng)“l(fā)og”與2，31536組成的整體log231536來表示一個(gè)2的多少次冪等于31536的數(shù)，這樣的數(shù)就稱為對(duì)數(shù).引導(dǎo)學(xué)生將其推廣到一般情形：

師：板書：若ab=N（a＞0，a≠1），則logaN=b（a＞0，a≠1）.

寫法：格式四線三格，如圖3.

圖3

讀法：以a為底，N的對(duì)數(shù).注意不是“l(fā)og”以a為底，N的對(duì)數(shù)（.請(qǐng)同學(xué)一起來讀一下x=log0.850.5）.

師：對(duì)數(shù)式logaN=b中a和N有什么限制呢？

生6：可以從指數(shù)式來研究對(duì)數(shù)式：一個(gè)關(guān)系，兩種表示.

引導(dǎo)學(xué)生得出a＞0，a≠1和N＞0.（教師板書）

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)數(shù)符號(hào)是難點(diǎn)，注意書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，強(qiáng)化對(duì)數(shù)符號(hào)的認(rèn)識(shí)和理解.明確指數(shù)式和對(duì)數(shù)式中a，b，N是相同的，理解指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互關(guān)系，互化也體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化這個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.

（四）概念的深化在互動(dòng)中建立

活動(dòng)1：每位同學(xué)書寫四個(gè)對(duì)數(shù)式，寫完后同桌交換檢查、糾正.

活動(dòng)2：將同桌書寫的四個(gè)對(duì)數(shù)式改寫為指數(shù)式后，再互相檢查、糾正（效果相當(dāng)不錯(cuò)）.

活動(dòng)3：將下列對(duì)數(shù)式改寫為指數(shù)式：（1）log10a=-1.699.（2）loge1=0（e=2.7182818284…）.（學(xué)生板演）

師：常用對(duì)數(shù)log10a=lga.納皮爾（Napier）的對(duì)數(shù)在愛丁堡發(fā)表以后，布立格斯（Briggs，1561～1630）根據(jù)他在牛津大學(xué)講授納皮爾對(duì)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，提出了他的改進(jìn)意見：建議將對(duì)數(shù)改良為以10為底的對(duì)數(shù)最為方便實(shí)用.布立格斯與荷蘭數(shù)學(xué)家佛拉格（Vlacq）共同完成了1 至100000的以10為底的14位的對(duì)數(shù)表，這就有了常用對(duì)數(shù).

自然對(duì)數(shù)logea=lna（e=2.7182818284…），很多反映自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型都包含e，如放射性元素的衰變公式、牛頓的冷卻定律，還有化學(xué)、物理和建筑學(xué)等自然學(xué)科，所以稱為自然對(duì)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：三個(gè)學(xué)生活動(dòng)加深對(duì)數(shù)概念的理解.歷史背景的介紹，讓學(xué)生明白“常用對(duì)數(shù)”和“自然對(duì)數(shù)”背后曲折的故事，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)文化的傳承精神.

問題1求下列各式的值：（1）log28；（2）log927.

教師巡視學(xué)生答題情況，投影交流學(xué)生的解法.

生7：由23=8，得到log28=3.

生8：設(shè)log28=x，則2x=8=23，所以x=3.

師：設(shè)x的目的是什么？

生8：將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，從而解決問題（.1）中容易得到23=8，故不需要設(shè)x；（2）問中不容易得出相應(yīng)的指數(shù)式，可通過設(shè)x將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式的可能性更大.設(shè)log927=x，由定義知，9x=27，即32x=33，得x=，即log27=.

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師：在對(duì)數(shù)式不熟練時(shí)可先設(shè)x轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，確定x值，即用對(duì)數(shù)的定義去解決問題.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生在應(yīng)用的過程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)概念的本質(zhì)，加深對(duì)對(duì)數(shù)概念的理解，掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化方法，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力.

師：同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)每次不管哪個(gè)方法你都要回到指數(shù)的形式很麻煩，下面我們來看看對(duì)數(shù)的運(yùn)算，我們能不能從中發(fā)現(xiàn)一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，方便運(yùn)算.

問題2求對(duì)數(shù)的值：（1）log31；（2）log33；（3）lne；（4）log1；（5）lg1；（6）lg10；（7）ln1；（8）log0.50.5.

（以上問題解答由學(xué)生板演）

師：從問題2的結(jié)果你有什么發(fā)現(xiàn)？

生9：（1），（4），（5），（7）的真數(shù)均為1，可得loga1=0；（2），（3），（6），（8）真數(shù)和底數(shù)均一樣，可得logaa=1.

師：能證明上述2個(gè)歸納得到的結(jié)論嗎？

生10：通過指數(shù)式可證明.

問題3 求對(duì)數(shù)的值：（1）log55-2；（2）log335；（3）2log23；（4）7log70.6.

生11：由（1），（2）發(fā)現(xiàn)logaab=b；（3），（4）不太會(huì)處理.

生12：設(shè)log23=x，則2x=3，消掉x后發(fā)現(xiàn)2log23=3.同理7log70.6=0.6.

師：很好，大家能從上面的解法中猜出alogaN=N的值嗎？如何證明？生齊答：N.

生13：由指數(shù)式ab=N，得對(duì)數(shù)式b=logaN，可代掉N，得到logaab=b；而代掉b，得到alogaN=N.

（師生掌聲認(rèn)同，教師將4個(gè)結(jié)論板書）

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生討論交流，從例題、練習(xí)中歸納、猜想、證明得到對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)思想方法.

（五）收獲的提升在總結(jié)中升華

師：誰來小結(jié)一下我們今天數(shù)學(xué)課的收獲？

生14：我們了解了對(duì)數(shù)的誕生，學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的定義，以及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的互化.

師：對(duì)數(shù)從思想萌芽到誕生經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的200多年，通過剛才介紹的故事，同學(xué)們能受到哪些啟發(fā)？

生15：人類最初為了解決繁難的大數(shù)運(yùn)算不斷尋求突破，從而有了對(duì)數(shù)思想的萌芽和對(duì)數(shù)的誕生，同時(shí)困難也迎刃而解，真是思路決定出路，沒有創(chuàng)新就無法突破.

生16：納皮爾堅(jiān)持對(duì)數(shù)的研究多年，這需要怎樣堅(jiān)韌不拔的意志和信念.假如我能為了我的興趣和愛好如此投入，那該會(huì)有怎樣的成就呢？

生17：布里格斯為了共同的愛好去拜訪納皮爾，才有了他們的思想碰撞，使對(duì)數(shù)得到改進(jìn)和完善.可見人類的交流多么重要，閉目塞聽、閉門造車只會(huì)讓人類的文明止步不前.

師：今天和大家沿著歷史的足跡，探索了對(duì)數(shù)的含義，完成了前人用了兩千年的時(shí)間探索完成的對(duì)數(shù)的概念，同時(shí)也完善了我們的運(yùn)算知識(shí)體系，從中感受到了數(shù)學(xué)的玄妙.

四、教學(xué)反思

（一）情景教學(xué)，揭示概念教學(xué)規(guī)律

對(duì)數(shù)的發(fā)展史告訴我們，對(duì)數(shù)思想的起因源自實(shí)際需要.對(duì)數(shù)概念的產(chǎn)生從阿基米德、舒開、斯蒂費(fèi)爾到納皮爾《奇妙的對(duì)數(shù)表的說明》的問世，人類思維經(jīng)歷了一個(gè)由具體形象到形式抽象發(fā)展的漫長(zhǎng)過程.就如伊夫斯所言：“在向?qū)W生講授一門學(xué)問時(shí)，應(yīng)當(dāng)按照這門學(xué)問發(fā)展的順序來進(jìn)行.”讓學(xué)生親歷概念形成過程；數(shù)學(xué)家對(duì)于該概念的探究活動(dòng)，感知對(duì)數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)歷程；理解科學(xué)發(fā)現(xiàn)的艱難曲折的過程；體悟數(shù)學(xué)的人文精神，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的成功喜悅感.

（二）類比歸納，破解概念教學(xué)難點(diǎn)

本課的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)數(shù)的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).對(duì)數(shù)的定義采用了類比方法，類比方法是幾種邏輯推理中最富有創(chuàng)造性的，科學(xué)史上很多重大發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，往往發(fā)端于類比，類比被譽(yù)為科學(xué)活動(dòng)中的“偉大引路人”.開普勒說：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在數(shù)學(xué)中最不可忽視.”

（三）合作探究，拓展概念教學(xué)深度

高中數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”過程.不必將各種概念定理灌輸給學(xué)生，

而應(yīng)創(chuàng)造適當(dāng)?shù)臈l件，讓學(xué)生加強(qiáng)反思同時(shí)通過自身的實(shí)踐活動(dòng)來主動(dòng)獲取知識(shí).