王福謙（長治學(xué)院電子信息與物理系，山西長治046011）

外圓內(nèi)正六邊形同軸線中TEM波的場結(jié)構(gòu)及其特性阻抗

王福謙
（長治學(xué)院電子信息與物理系，山西長治046011）

利用數(shù)值保角變換，給出外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線內(nèi)的TEM波的分布規(guī)律，繪制出其橫截面上的場結(jié)構(gòu)圖，并計(jì)算出其特性阻抗。研究結(jié)論對于計(jì)算該傳輸線的衰減常數(shù)、了解其功率容量、考慮功率耦合及設(shè)計(jì)有關(guān)的有源器件均有一定的參考價(jià)值。

外圓內(nèi)正六邊形傳輸線；數(shù)值保角變換；TEM波；電磁場結(jié)構(gòu)；特性阻抗

0　引 言

隨著微波理論和技術(shù)的迅速發(fā)展，對新型傳輸線的研究提出了更高的要求。一系列新型的微波過渡部件、微波濾波器和新型定向耦合器的研究，是建立在對新型傳輸線的理論分析基礎(chǔ)上的。因此，分析外圓內(nèi)正六邊形同軸線具有一定的理論價(jià)值和實(shí)用意義。對于復(fù)雜截面同軸線，由于其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，要分析其場分布和各種特性參數(shù)，一般不能用常規(guī)解析法直接求解。本文擬利用數(shù)值保角變換法研究外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線內(nèi)TEM波的分布規(guī)律，繪制出其場結(jié)構(gòu)圖，并給出高精度的特性阻抗計(jì)算公式。

1　外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線橫截面的變換

將z平面上邊長為a的正六邊形的外部變換為w平面上單位圓的外部的變換函數(shù)［1］：

w=1.08651

圖1為外圓內(nèi)正六邊形同軸線的橫截面，其內(nèi)、外均為金屬導(dǎo)體，邊長和半徑分別為a和b，則由式（1）可實(shí)現(xiàn)該傳輸線的橫截面的變換，內(nèi)正六邊形變換為單位圓，外圓變換為位于之間的具有與正六邊形相同對稱性的閉合曲線［見圖2中的閉合曲線，該曲線由式（1）通過MATLAB軟件繪制］，而r1、r2及其幾何平均半徑的數(shù)值如下［1］：

圖1　變換前的外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線的橫截面

經(jīng)上述數(shù)值保角變換后，z平面上的邊長為a的正六邊形和半徑為b的圓，就映射為w平面上的單位圓和位于半徑分別為r1、r2之間的具有與正六邊形相同對稱性的閉合曲線。由于在w平面上傳輸線內(nèi)導(dǎo)體的橫截面的形狀為圓，外導(dǎo)體可近似看作半徑為的圓（見圖2），其內(nèi)部電磁場在該截面上的分布近似呈軸對稱性，故在w平面上可近似地按圓同軸傳輸線的情形來討論電磁場分布規(guī)律。

圖2　變換后的外圓內(nèi)正六邊形圓同軸傳輸線的橫截面

2　TEM波的電場和磁場的分布

外圓內(nèi)正六邊形同軸線中的TEM波的求解，可由靜態(tài)場在相同邊界條件下的解，得到其電場在此傳輸線橫截面上的分布，乘以波動(dòng)因子e-jβz得到電場的解，再由麥克斯韋方程獲得其磁場的解［2］。據(jù)此，在圓同軸線內(nèi)電場分布表達(dá)式的基礎(chǔ)上，由數(shù)值保角變換可得外圓內(nèi)正六邊形同軸線中TEM波的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的分布：

式中：V0為外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間電壓的幅值；a和b分別為其內(nèi)、外導(dǎo)體的邊長和半徑；β為沿傳播方向ez上的相位常數(shù)，對于TEM波，波數(shù)為工作頻率；ε、μ為傳輸線所填充介質(zhì)的電磁參量，當(dāng)傳輸線內(nèi)部為空氣時(shí)，介質(zhì)的電磁參量取ε0和μ0）；ex、ey為外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線橫截面上沿橫、縱坐標(biāo)軸方向的單位矢；式（5）、式（6）為外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線中

TEM波的電場與磁場分布的近似表達(dá)式。在得到該傳輸線電磁場的解析解（E，H）之后，由公式P=（式中的積分在傳輸線的橫截面上進(jìn)行）可計(jì)算出傳輸線上的傳輸功率，當(dāng)其中的電場強(qiáng)度最大值取不發(fā)生電擊穿的最大值時(shí)，所得到的傳輸功率值即為該傳輸線的功率容量；知道傳輸線中的電磁場的解析解之后，可以根據(jù)電磁場的分布情況，在此傳輸線上的恰當(dāng)位置、選擇恰當(dāng)?shù)鸟詈辖Y(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)該傳輸線與其他電磁結(jié)構(gòu)之間的能量耦合；或在該傳輸線中的恰當(dāng)位置接入有源器件，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)所需的功能。

圖3為利用MATLAB軟件所繪制出的外圓內(nèi)正六邊形傳輸線橫截面上TEM波場結(jié)構(gòu)圖（其中a=2 mm、b=6 mm）。由于其內(nèi)導(dǎo)體棱角上出現(xiàn)的電荷角分布效應(yīng)，內(nèi)導(dǎo)體表面附近的電場分布情況比較復(fù)雜。從圖3可以看出，傳輸線內(nèi)導(dǎo)體表面附近以外的電場在此傳輸線橫截面上的分布呈現(xiàn)出中心對稱，作出的圖與預(yù)期結(jié)果（電場線與磁感線及導(dǎo)體表面均垂直）相符。圖4為由HFSS軟件仿真的外圓內(nèi)正六邊形傳輸線橫截面上某一時(shí)刻TEM波的場結(jié)構(gòu)圖（其中a=2 mm、b=6 mm），將其場線分布與圖3比較可以看出，MATLAB軟件的數(shù)值模擬結(jié)果，與HFSS軟件的結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果一致。這說明本文中研究外圓內(nèi)正六邊形傳輸線內(nèi)TEM波場結(jié)構(gòu)的方法正確，結(jié)論可靠。

圖3　外圓內(nèi)正六邊形傳輸線內(nèi)TEM模的場結(jié)構(gòu)

圖4　外圓內(nèi)正六邊形傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖5和圖6為通過HFSS軟件仿真出的外圓內(nèi)正六邊形同軸線內(nèi)TEM波的三維電磁場結(jié)構(gòu)圖（其中a=2 mm、b=6 mm），場分布形象直觀，便于對場結(jié)構(gòu)的整體把握。在考慮功率耦合及設(shè)計(jì)有源器件時(shí)，也可參考傳輸線TEM波的場結(jié)構(gòu)圖，如上所述，在傳輸線上選取恰當(dāng)位置，以實(shí)現(xiàn)該傳輸線與其他電磁結(jié)構(gòu)之間的能量耦合或接入有源器件。由圖3～圖6及式（5）、式（6）可以看出，在傳輸線內(nèi)部，愈靠近內(nèi)導(dǎo)體表面，電磁場愈強(qiáng).因此，內(nèi)導(dǎo)體的表面電流密度較外導(dǎo)體內(nèi)表面的表面電流密度大。

圖5　外圓內(nèi)正六邊形傳輸線內(nèi)TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖6　外圓內(nèi)正六邊形傳輸線內(nèi)TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

所以外圓內(nèi)正六邊形傳輸線的熱損耗主要發(fā)生在截面尺寸較小的內(nèi)導(dǎo)體柱上。

3　特性阻抗

經(jīng)變換式（1）和式（4），外圓內(nèi)正六邊形同軸線的橫截面已映射為半徑分別為1和r-的兩近似同心圓，由于映射前后傳輸線單位長度的電容量保持不變，這樣就可由內(nèi)、外半徑分別為1和r-的同軸傳輸線的電容值，通過公式方便地求出此傳輸線的特性阻抗的近似值。據(jù)此，本文給出外圓內(nèi)正六邊形同軸線特性阻抗的計(jì)算公式如下：

式中：ε、μ為傳輸線所填充介質(zhì)的電磁參量，當(dāng)傳輸線內(nèi)部為空氣時(shí)，介質(zhì)的電磁參量取ε0和μ0；a 和b分別為外圓內(nèi)正六邊形同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體的邊長和半徑。

需要說明的是，由于電荷的角效應(yīng)，內(nèi)導(dǎo)體棱角處電荷密度大，而每邊中點(diǎn)處的電荷密度小。對變換后的圖2而言，內(nèi)圓柱導(dǎo)體與無電荷角效應(yīng)的外切圓弧之間的電容，要比其與內(nèi)切圓弧之間的電容要大。所以，對于用內(nèi)切圓和外切圓的邊界尺寸取幾何平均來“逼近”變換后的多邊形外導(dǎo)體邊界，由于交替出現(xiàn)了電容增大和電容減小的情況，故對計(jì)算總平均電容來說，電荷角效應(yīng)的影響很小。因此，由式（7）計(jì)算出的外圓內(nèi)正六邊形同軸線特性阻抗值的近似值，具有較高的精確度。表1中分別列出了本文的計(jì)算方法與多極理論及矩量法所得的結(jié)果（介質(zhì)為空氣），其中R為外導(dǎo)體半徑，r為內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)接圓的半徑。通過比較可以看出，本文的計(jì)算結(jié)果與多極理論的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)接近，相對誤差的最大值為7‰，最小值為2.7‰，平均相對誤差為3.9‰。表1中的計(jì)算結(jié)果也與文獻(xiàn)［3-6］給出的數(shù)據(jù)幾乎一致，相對差值均在2‰以內(nèi)。由此也可佐證本文所給出的研究方法的正確性。文獻(xiàn)［7］所給出的矩量法的計(jì)算結(jié)果稍有誤差。

式（7）為外圓內(nèi)正六邊形同軸線特性阻抗的解析計(jì)算式。通過保角變換法計(jì)算復(fù)雜截面?zhèn)鬏斁€的特性阻抗，公式推導(dǎo)過程簡單，物理意義明確，精確度很高，可方便地計(jì)算任意尺寸的外圓內(nèi)正六邊形同軸線的特性阻抗。復(fù)雜截面?zhèn)鬏斁€的特性阻抗也可用多極理論或矩量法計(jì)算，但多極理論準(zhǔn)解析計(jì)算規(guī)則需要針對不同情形確定不同的內(nèi)極、外極和極的次數(shù)等，原理相對復(fù)雜；而矩量法需對計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散化處理，離散網(wǎng)格尺寸大小是求解精確性的關(guān)鍵，一般而言，網(wǎng)格越小越精確，但由于減小網(wǎng)格尺寸勢必造成未知量數(shù)目的增加，使得存儲(chǔ)量和計(jì)算量大幅增加，因此矩量法計(jì)算特性傳輸線特性阻抗的精度受計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制，此即文獻(xiàn)［7］所給出的用矩量法計(jì)算外圓內(nèi)正六邊形同軸線特性阻的數(shù)值，與其他方法相比較稍有偏差的原因。

表1　外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線的特性阻抗

4　結(jié)束語

計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實(shí)驗(yàn)研究和理論分析之外的第三種研究手段。本文將理論分析與計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬及場結(jié)構(gòu)仿真相結(jié)合，對外圓內(nèi)正六邊形同軸傳輸線進(jìn)行了研究，得到了該傳輸線內(nèi)的TEM波的近似解析解，利用軟件MATLAB 和HFSS繪制出了其場結(jié)構(gòu)圖，并給出了該傳輸線特性阻抗的計(jì)算公式。本文研究方法的物理意義明確、分析過程簡單，所得結(jié)論對于了解傳輸線的功率容量、計(jì)算衰減常數(shù)、考慮功率耦合及設(shè)計(jì)有關(guān)的有源器件等都是不可缺少的，對傳輸線的設(shè)計(jì)與應(yīng)用亦具有一定的理論意義。

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The Field Structures of the TEM Wave in a Coaxial TransmissionLine With Circular-outer-Conductor and Regular Hexagon-inner-Conductor and Its Characteristic Impedance

WANG Fu-qian
（DePartment of Electronic Information and Physics，Changzhi University，Changzhi046011，China）

The distribution of the TEM wave in a coaxial transmission line with circular-outer-conductor and regularhexagon-inner-conductor is gotby using numerical conformalmaPPing，themaPof structureof electromagnetic field on its cross section is Plotted，furthermore，its characteristic imPedance is calculated.This research result to calculate the decay constantof the transm ission line，realize its Power caPability，consider its Power couPling and design the related active device has the certain reference value.

a coaxial transmission linewith circular-outer-conductor and regular-hexagon-inner-conductor；numerical conformalmaPPing；TEM wave；structure of electromagnetic field；characteristic imPedance

TM248.3

A

1672-6901（2016）02-0029-04

2015-05-05

山西省自然科學(xué)基金（2012011028-1）資助；山西省 2015大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練資助（2015432）

王福謙（1957—），男，教授.

作者地址：山西長治市城北東街73號［046011］.