潘樂(lè)飛，劉新學(xué)，李邦杰，楊　濤，姚占朝（　第二炮兵工程大學(xué)，西安　7005；　9667部隊(duì)，福建永安　66000；　966部隊(duì)，河南欒川　47500）

擺動(dòng)式突防對(duì)比例導(dǎo)引彈道的影響分析及仿真*

潘樂(lè)飛1，劉新學(xué)1，李邦杰1，楊濤2，姚占朝3
（1第二炮兵工程大學(xué)，西安710025；296167部隊(duì)，福建永安366000；396263部隊(duì)，河南欒川471500）

為提高彈道機(jī)動(dòng)的有效性或合理設(shè)計(jì)攔截制導(dǎo)律，需要定性分析突防彈與攔截彈間的法向過(guò)載關(guān)系、視線角速度變化規(guī)律、攔截彈道的穩(wěn)定性等問(wèn)題。對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行合理簡(jiǎn)化后，推導(dǎo)了由于突防彈機(jī)動(dòng)引起的攔截彈比例導(dǎo)引彈道的視線角速度及需用法向加速度的解析公式；在考慮攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間延遲時(shí)，分析了比例導(dǎo)引彈道的穩(wěn)定性條件；針對(duì)突防彈進(jìn)行正弦機(jī)動(dòng)的彈道模型，進(jìn)行了攔截仿真，驗(yàn)證了解析公式的合理性。

彈道機(jī)動(dòng)；比例導(dǎo)引；彈道穩(wěn)定；正弦機(jī)動(dòng)

0　引言

擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防可以最大化攔截彈的末端脫靶量或提前耗盡攔截彈的機(jī)動(dòng)能量，因此可以有效提高突防彈的生存概率。國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者對(duì)擺動(dòng)式突防策略進(jìn)行了相關(guān)研究。Zarchan［1-2］等基于發(fā)展導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的角度，推導(dǎo)得到了階躍及正弦機(jī)動(dòng)條件下攔截彈的脫靶量公式，得到了攔截彈脫靶量的均方根；崔靜、姜玉憲［3］等從突防效果及工程實(shí)現(xiàn)方法等方面研究了擺動(dòng)式突防策略的有效性；魏鵬鑫［4］等站在攻防雙方的立場(chǎng)，研究了攻防雙方的機(jī)動(dòng)過(guò)載關(guān)系；顧文錦［5］等研究了反艦導(dǎo)彈末端機(jī)動(dòng)式不同對(duì)突防效果的影響。

文中針對(duì)文獻(xiàn)［6］的滑翔彈側(cè)向機(jī)動(dòng)模型及典型的比例導(dǎo)引攔截律，分析了突防彈機(jī)動(dòng)與攔截彈視線角速度及需用法向加速度的關(guān)系，并考慮攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間延遲對(duì)攔截過(guò)程及終端脫靶量的影響，最后給出了仿真驗(yàn)證。

1　突防彈側(cè)向機(jī)動(dòng)彈道描述

擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)彈道可以有多種形式，文中采用基于正弦規(guī)律的機(jī)動(dòng)方法（見(jiàn)圖1所示）。以x軸方向的位移為自變量，則側(cè)向機(jī)動(dòng)函數(shù)式可表示為：式中：z0為初始值；ω為機(jī)動(dòng)頻率；Lz為機(jī)動(dòng)幅值；ω0為初始相位角；x為突防彈當(dāng)前位置在x軸方向上的分量。

圖1　擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防示意圖

文中令Lz和ω均為常值，令 ω0為0。則由式（1）得側(cè)向機(jī)動(dòng)速度、加速度分別為：

側(cè)向擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)主要是為了提高突防能力，同時(shí)需兼顧能量消耗影響，因此機(jī)動(dòng)幅度不可能太大。為此可假設(shè)速度矢量偏離xoy平面的角度為小量，則：

式中：v為突防彈速度大??；D為突防彈所受阻力大小。

令突防彈完成側(cè)向擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)的橫向過(guò)載為nz，綜合以上各式得：

式中g(shù)0為海平面處引力加速度。

除給定機(jī)動(dòng)幅度Lz和機(jī)動(dòng)頻率ω外，還可采用給定范圍內(nèi)的機(jī)動(dòng)周期數(shù)m及一個(gè)周期內(nèi)沿x軸方向的機(jī)動(dòng)距離Ax來(lái)描述飛行器機(jī)動(dòng)特性。若機(jī)動(dòng)范圍為［0，xf］，則有：

2　攔截彈比例導(dǎo)引律分析

2.1比例導(dǎo)引基本公式

或

式中：K、KR是比例系數(shù)是導(dǎo)彈和目標(biāo)的接近速度。

導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系見(jiàn)圖2所示。在慣性坐標(biāo)系內(nèi)，可表示為：

式中：R為攔截彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離；λ為目標(biāo)視線角；下標(biāo)M、T分別表示攔截彈和突防彈。

2.2目標(biāo)視線角的通解

圖2　比例導(dǎo)引相對(duì)關(guān)系示意圖

即在有效導(dǎo)航比N＞2時(shí)，視線角速度是衰減的。且有當(dāng)t=0時(shí)，視線角速度為最大值；當(dāng)t=T0時(shí)，視線角速度為零。也就是說(shuō)若N＞2，在攔截彈與目標(biāo)遭遇時(shí)刻，初始視線角速度誤差最終可全部克服。

由式（12）和式（13）可知：

2）在一般情況下，攔截彈的需用加速度aMy和突防彈法向加速度

3）攔截彈需用法向加速度aMy的值不僅取決于突防彈法向加速度的大小，而且還與攔截彈、突防彈的相對(duì)角位置和有效導(dǎo)航比有關(guān)。有效導(dǎo)航比N大時(shí)，攔截彈需用法向加速度aMy的最大值可小些。

3.2制導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性對(duì)導(dǎo)引彈道的影響

3.1節(jié)是基于攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)無(wú)滯后的理想條件下得到的解析結(jié)果，事實(shí)上由于導(dǎo)引頭及自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)力學(xué)滯后等因素，制導(dǎo)系統(tǒng)必然存在時(shí)間延遲。

3.2.1攔截彈系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)為無(wú)慣性系統(tǒng)

若制導(dǎo)系統(tǒng)為無(wú)慣性環(huán)節(jié)，則控制方程為式（8）。將式（8）代入彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（9），經(jīng)整理得特征方程為：

根據(jù)古爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)可知，由于ts＞0，則彈道穩(wěn)定的充要條件為N-2＞0。即當(dāng)攔截彈系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是無(wú)慣性時(shí)，只要有效導(dǎo)航比大于2，則比例導(dǎo)引彈道是穩(wěn)定的。

3.2.2攔截彈動(dòng)力學(xué)等效成一階慣性系統(tǒng)

比例導(dǎo)引控制方程（8）可改寫(xiě)為：

其中，τ為時(shí)間常數(shù)。

將控制方程（15）代入相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（9），并忽略較小的項(xiàng)，可近似得到該條件下的特征方程為：

根據(jù)古爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，得彈道穩(wěn)定的充要條件為：

即，導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)為一階慣性系統(tǒng)時(shí)，比例導(dǎo)引彈道穩(wěn)定的條件為：

1）有效導(dǎo)航比N大于2。

2）待飛時(shí)間T0要大于導(dǎo)彈系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)慣性時(shí)間常數(shù)的3倍。若慣性時(shí)間常數(shù)τ為0.5 s，則比例導(dǎo)引彈道大約在命中前1.5 s就要開(kāi)始失穩(wěn)了。

4　仿真分析

文中基于Matlab Simulation仿真平臺(tái)，在地面坐標(biāo)系內(nèi)建立突防彈與攔截彈的數(shù)學(xué)模型，對(duì)攔截彈的比例導(dǎo)引彈道進(jìn)行了仿真討論。

假設(shè)攔截彈與突防彈的速度大小為恒值。仿真起始數(shù)據(jù)為：

3）攔截彈導(dǎo)引方法采用式（15），令 KR=4/ 2 500。

4）目標(biāo)彈機(jī)動(dòng)方案采用式（1），機(jī)動(dòng)幅值Lz及機(jī)動(dòng)頻率ω為恒定值。若令機(jī)動(dòng)周期m=10，則根據(jù)式（6）得：

4.1制導(dǎo)系統(tǒng)無(wú)時(shí)間延遲

令制導(dǎo)方程（15）中的時(shí)間常數(shù)τ=0。通過(guò)仿真，可得以下結(jié)論：

1）由圖3可知，當(dāng)假設(shè)攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)為理想的無(wú)時(shí)間延遲環(huán)節(jié)時(shí)，攔截脫靶量可以逼近零值。該結(jié)果與式（14）的結(jié)論一致，即當(dāng)不考慮攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間延遲時(shí)，只要有效導(dǎo)航比大于2，攔截彈導(dǎo)引彈道是穩(wěn)定的，必然會(huì)命中目標(biāo)。

2）由圖3～圖5可知，不論是攔截彈的位移、速度還是加速度，其機(jī)動(dòng)頻率都與突防彈的頻率接近。

3）由圖5可知，攔截彈需用法向加速度aMz的幅值由t0時(shí)刻開(kāi)始逐漸增大，至遭遇時(shí)刻達(dá)到最大；且攔截彈aMz的值一般都小于突防彈的機(jī)動(dòng)加速度aTz，只是在遭遇前的極小時(shí)間段內(nèi)攔截彈aMz值會(huì)瞬間增大并超過(guò)突防彈。該仿真結(jié)果與3.1節(jié)的結(jié)論1）是一致的，即由于突防彈機(jī)動(dòng)使得攔截彈視線角速度 ˙λ及需用法向加速度值都隨時(shí)間遞增，且在攔截遭遇時(shí)刻達(dá)到最大值。

4）由圖5可知，攔截彈需用法向加速度aMz的正負(fù)號(hào)與突防彈法向加速度aTz的正負(fù)并不一致。這是由于突防彈作側(cè)向正弦擺動(dòng)式突防而導(dǎo)致θT與λ（見(jiàn)圖6）都作了周期性的變化，從而使得（θT-λ）及（θM-λ）也有了周期性變化。即此時(shí)不能再假設(shè)（θT-λ）及（θM-λ）為常值。因此仿真結(jié)果與3.1節(jié)的結(jié)論2）不再一致。

4.2制導(dǎo)系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)

令制導(dǎo)方程（15）的時(shí)間常數(shù)τ=0.5 s，其它仿真數(shù)據(jù)同4.1節(jié)。通過(guò)仿真，可得以下結(jié)論：

1）由圖3可知，當(dāng)考慮攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，最終的攔截脫靶量不再為零，也即必然存在一個(gè)非零的穩(wěn)態(tài)脫靶量。

2）由圖3～圖5可知，不論是攔截彈的位移、速度還是加速度，其機(jī)動(dòng)頻率都與突防彈的頻率接近，但其相位會(huì)滯后于突防彈的機(jī)動(dòng)曲線。

圖3　突防彈與攔截彈在oxz平面內(nèi)的位移

圖4　突防彈與攔截彈在oz方向的速度

圖5　突防彈與攔截彈在z方向的加速度變化曲線

3）由圖5可知，攔截彈需用法向加速度aMz的幅值由t0時(shí)刻開(kāi)始逐漸增大，至遭遇時(shí)刻達(dá)到最大；攔截彈的需用加速度aMz的值一般都小于突防彈的機(jī)動(dòng)加速度aTz，在接近遭遇時(shí)刻的一小段時(shí)間內(nèi)攔截彈aMz會(huì)增大并超過(guò)突防彈aTz。該特點(diǎn)與不考慮制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間延遲的結(jié)論類似。根據(jù)式（17）可知，當(dāng)待飛時(shí)間小于3τ=1.5 s時(shí)，攔截彈比例導(dǎo)引彈道開(kāi)始失穩(wěn)，即aTz開(kāi)始迅速增大，但彈目距離并未趨近于零。

圖6　彈目視線方位角變化曲線

5　結(jié)論

文中在對(duì)突防彈與攔截彈的運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化后推導(dǎo)并分析了突防彈進(jìn)行彈道機(jī)動(dòng)時(shí) ˙θT對(duì)攔截彈視線角速度 ˙λ及需用法向加速度aMy的解析關(guān)系式。采用文獻(xiàn)［6］的滑翔彈側(cè)向機(jī)動(dòng)模型對(duì)解析關(guān)系式進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，解析關(guān)系式能在一定程度上反映攻防雙方參數(shù)的變化規(guī)律，可以為機(jī)動(dòng)彈道設(shè)計(jì)及攔截彈制導(dǎo)律設(shè)計(jì)提供理論參考。

［1］ZARCHAN Paul.Proportional navigation andweaving targets［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，1995，18（5）：969-974.

［2］YANUSHEVSKY Rafael.Analysis of optimal weaving frequency of maneuvering targets［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2004，41（3）：477-479.

［3］姜玉憲，崔靜.導(dǎo)彈擺動(dòng)式突防策略的有效性［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，28（2）：133-136.

［4］魏鵬鑫，荊武興，高長(zhǎng)生.攻防對(duì)抗機(jī)動(dòng)過(guò)載關(guān)系分析［J］.宇航學(xué)報(bào)，2013，34（2）：179-185.

［5］顧文錦，趙紅超，王鳳蓮.反艦導(dǎo)彈末端機(jī)動(dòng)的突防效果研究［J］.宇航學(xué)報(bào)，2005，26（6）：758-763.

［6］謝愈，劉魯華，湯國(guó)建，等.高超聲速滑翔飛行器擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防彈道設(shè)計(jì)［J］.航空學(xué)報(bào)，2011，32（12）：2174-2181.

［7］趙善友.防空導(dǎo)彈武器尋的制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)［M］.北京：中國(guó)宇航出版社，2005.

Simulation of Proportional Navigation for Weaving Maneuver Penetration

PAN Lefei1，LIU Xinxue1，LI Bangjie1，YANG Tao2，YAO Zhanchao3

（1The Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China；2No.96167 Unit，F(xiàn)ujian Yong’an 366000，China；3 No.96263 Unit，Henan Luanchuan 471500，China）

In order to improve maneuver trajectory or design intercept guidance law effectively，qualitative analysis on pursuit and evasion should be launched including the relationship of normal overload，line-of-sight（LOS）angular speed variation trend，and intercept trajectory stability.Based on the simplified engage model，analytic formulas of the LOS angle velocity and the need normal acceleration of the pursuing missile were presented.Considering guidance system time delay，the steady conditions of the proportional navigation trajectory were obtained.The simulation on the lateral sinusoidal maneuver was performed，which proved rationality of the analytic formulas.

maneuver trajectory；proportional navigation；steady condition；sinusoidal maneuver

V448

A

10.15892/j.cnki.djzdxb.2016.01.006

2015-01-05

潘樂(lè)飛（1979-），男，河北冀州人，講師，博士研究生，研究方向：飛行動(dòng)力學(xué)與制導(dǎo)。