周　鑫　許允斗　姚建濤　鄭魁敬　趙永生

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，066004

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5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床彈性動力學(xué)分析

周鑫1,2許允斗1,2姚建濤1,2鄭魁敬1,2趙永生1,2

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，066004

結(jié)合有限元法和子結(jié)構(gòu)法建立了5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的彈性動力學(xué)模型。首先，將系統(tǒng)劃分為不同的子結(jié)構(gòu)，根據(jù)空間柔性梁理論求出單元動力學(xué)方程，根據(jù)關(guān)節(jié)特點將各個梁單元組裝成各個驅(qū)動分支；根據(jù)分支與動平臺的運動學(xué)/動力學(xué)約束，將各個分支進行裝配，從而得到系統(tǒng)動力學(xué)方程。以5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床作為算例，求出其動平臺中心的動態(tài)響應(yīng)特性。通過比較5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床及5-UPS/PRPU非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺的動態(tài)響應(yīng)，可以得到結(jié)論：冗余驅(qū)動可以明顯改善該機床彈性動力學(xué)特性，從而減小因彈性變形引起的誤差。研究結(jié)果為結(jié)構(gòu)設(shè)計人員進行結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化提供可靠的依據(jù)。

并聯(lián)機床；冗余驅(qū)動； 彈性動力學(xué)；動態(tài)特性比較

0　引言

并聯(lián)機器人具有剛度高、承載能力強以及模塊化程度高[1-3]等特點，廣泛應(yīng)用于航空航天、國防軍事等領(lǐng)域。然而，由于并聯(lián)機器人的工作空間小、容易產(chǎn)生奇異位型等缺點，在實際生產(chǎn)中往往通過引入冗余驅(qū)動的概念去解決這些問題。

高速、輕型化是并聯(lián)機器人發(fā)展的主要趨勢。然而，當(dāng)輕型化的機器人在重載且高速的環(huán)境下工作時，往往會由于各個分支的彈性變形影響其運動及動力學(xué)性能，從而降低機器人的精度。因此,有必要對并聯(lián)機器人進行彈性動力學(xué)分析，并通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化提高其動力學(xué)特性。Liu等[4]通過考慮連桿的變形，分析了3-RRS并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)特性。胡俊峰等[5]提出了一種簡單而精確的彈性動力學(xué)建模方法，并通過實例進行了驗證。文獻(xiàn)[6-9]分別針對不同的機構(gòu)建立了彈性動力學(xué)模型，并且進行了相應(yīng)的動力學(xué)分析。陳修龍等[10]基于機構(gòu)的彈性動力學(xué)模型提出了一種優(yōu)化方法。Cammarata等[11]提出了一種約束優(yōu)化方法，該方法改善了3T1R并聯(lián)機器人的彈性動力學(xué)性能；Alberto等[12]采用一種新的重力補償方法，分析了四桿機構(gòu)的彈性動力學(xué)特性；Zhang等[13]以3-PRS為例，通過建立其彈性動力學(xué)模型提出了一種能夠分析其關(guān)節(jié)約束反力的方法。文獻(xiàn)[14-16]分別從結(jié)構(gòu)、理論方法以及控制的角度對3-PRR 柔性并聯(lián)機器人進行了深入的分析。綜上所述，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多針對非冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)進行彈性動力學(xué)分析，而對于冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的分析并不多。Zhao等[17]比較了6-PSS與8-PSS冗余驅(qū)動并聯(lián)平臺的彈性動力學(xué)特性。除此之外，鮮有文獻(xiàn)對冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的彈性動力學(xué)進行研究，對于通過將主動副代替被動副從而實現(xiàn)驅(qū)動冗余機構(gòu)的相關(guān)研究更是鮮有報道。

本文對5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的彈性動力學(xué)性能進行了分析。首先通過結(jié)合子結(jié)構(gòu)法和有限單元法，建立了空間單元的彈性動力學(xué)模型；然后根據(jù)各個關(guān)節(jié)的運動特性，將單元動力學(xué)模型進行組裝，并根據(jù)機構(gòu)的運動學(xué)/動力學(xué)約束，得到系統(tǒng)總體的彈性動力學(xué)模型；最后以相應(yīng)的5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床為算例，通過與相應(yīng)的5-UPS/PRPU非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移進行比較，證明冗余驅(qū)動對機床性能的改善。

1　動力學(xué)建模

5-UPS/PRPU五自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機床如圖1所示，它由定平臺、動平臺以及6條驅(qū)動分支等組成。機床的加工運動可以通過5條結(jié)構(gòu)相同的UPS驅(qū)動分支及PRPU分支(冗余分支)的移動副共同實現(xiàn)。各個移動副的運動主要通過滾珠絲杠/螺母實現(xiàn)。此外，沿動平臺中心的法線方向的轉(zhuǎn)動被PRPU分支所約束，因此，PRPU分支也可以稱為約束分支。R、U、S、P分別代表轉(zhuǎn)動副、虎克鉸、球副以及移動副。由于機床動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)運動的自由度數(shù)目是5，而驅(qū)動數(shù)目為6，故機床表示為5-UPS/PRPU五自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機床。

圖1　5-UPS/PRPU機床模型結(jié)構(gòu)圖

機床結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。對于該冗余驅(qū)動五自由度并聯(lián)機床，由于機床動平臺以及定平臺剛度很大，故忽略其彈性變形，在此假設(shè)其為剛形體；由于滑塊剛度很大，同樣將其考慮成剛體，忽略其彈性變形。因此，在本文分析過程中考慮5個UPS驅(qū)動分支的彈性變形；另外，將PRPU分支的RPU分支部分視為彈性體。

圖2　5-UPS/PRPU機床結(jié)構(gòu)簡圖

1.1單元動力學(xué)方程

根據(jù)機床分支實際結(jié)構(gòu)，將空間柔性梁單元模型等效為圓柱形截面，如圖3所示。該空間兩單元兩端坐標(biāo)分別表示為δ1,δ2,δ3和δ10,δ11,δ12，δ4,δ5,δ6和δ13,δ14,δ15，δ7,δ8,δ9和δ16,δ17,δ18，即該梁單元的彈性位移、彈性轉(zhuǎn)角以及曲率。單元E′處的彈性位移以及彈性轉(zhuǎn)角可以表示為

(1)

式中，NT(x)為空間梁單元的位移形函數(shù)；δ為梁單元的廣義坐標(biāo)，δ=[δ1δ2…δ18]。

圖3　空間柔性梁單元模型

將空間梁單元的動能表示為

(2)

式中，L、ρ、A、IP分別為梁單元的長度、密度、截面面積以及慣性矩。

將空間梁單元的勢能表示為

(3)

式中，E、G、Iy、Iz分別為梁單元的拉壓彈性模量、剪切彈性模量以及對y軸和z軸的主慣性矩。

將式(2)、式(3)分別代入以下拉格朗日方程：

(4)

可以得到空間梁單元的動力學(xué)方程：

(5)

其中，Me、Ke分別為單元質(zhì)量矩陣及單元剛度矩陣；Fe表示單元所受外力，包括梁單元實際受到的載荷、與其他單元的相互作用力以及其慣性力。1.2分支及動平臺的動力學(xué)方程[18]

首先分別將UPS分支以及PRPU分支等效為懸臂梁。對于PRPU分支，則將R0點考慮為固定端，故其彈性位移及轉(zhuǎn)角均為0；對于P0點，由于該點(移動副)鏈接的兩個單元分屬不同的構(gòu)件，故應(yīng)當(dāng)設(shè)置不同的彈性位移；對于U0處(虎克鉸)可以等效成兩個匯交不共面的轉(zhuǎn)動副，所以，U0處對應(yīng)的兩個曲率也為0。對于UPS分支，同樣將Ui(i=1,2,…,5)點考慮為懸臂梁的固定端，那么其彈性位移及轉(zhuǎn)角均為零；由于Pi點連接兩個不同的構(gòu)件，故也設(shè)置不同的彈性位移；對應(yīng)Si處為球鉸，因此，沿三個方向的曲率也為零。各個分支的系統(tǒng)坐標(biāo)系設(shè)置如圖4所示。

對于PRPU分支，如果假設(shè)構(gòu)件R0P0與坐標(biāo)系R0xyz中的y軸夾角為θ01；對于各UPS分支，構(gòu)件RiPi中的y、z軸夾角為θi2、θi3(i=1,2,…,5)，那么，PRPU分支的局部坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系A(chǔ)XYZ的旋轉(zhuǎn)變換矩陣即可表示為

(6)

UPS分支的局部坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系A(chǔ)XYZ的旋轉(zhuǎn)變換矩陣可以表示為

(7)

可以根據(jù)分支局部坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣將空間梁單元組裝成支鏈，并且完成相應(yīng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。那么，機床各個分支的動力學(xué)方程可以表示為

(8)

U0=[u1u2…u22]T

Ui=[ui1ui2…ui21]Ti=1,2,…,5

(a)PRPU分支在參考坐標(biāo)下的廣義坐標(biāo)

(b)UPS分支在參考坐標(biāo)下的廣義坐標(biāo)圖4　分支在參考坐標(biāo)系下的廣義坐標(biāo)

其中，Mi、Ki、Fi分別為分支的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及分支所受的外載荷向量。U表示由各個分支在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)所組成的向量。

1.3動平臺動力學(xué)方程

根據(jù)前文的假設(shè)，由于動平臺的剛度很大，故考慮成剛體，則動平臺與各個驅(qū)動分支連接結(jié)點不是獨立的。因此，假設(shè)動平臺與各個驅(qū)動分支連接結(jié)點一致，且各驅(qū)動分支對動平臺的力與作用在動平臺的外力相平衡，由此可以分別得到系統(tǒng)的運動學(xué)約束方程及其動力學(xué)方程。

根據(jù)對動平臺的動力學(xué)分析作為系統(tǒng)的動力學(xué)約束，有

(9)

1.4系統(tǒng)動力學(xué)方程的裝配

將分支系統(tǒng)中的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣分解成以下形式：

通過將各個分支動力學(xué)方程(式(8))與動平臺動力學(xué)方程(式(9))結(jié)合，再結(jié)合文獻(xiàn)[19]中的運動約束方程即可得到5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床整體彈性動力學(xué)方程：

(10)

U=[U0U1…U5u1u2…u6]T

C=λ1M+λ2K

M=

式中，M、C、K分別為系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣；F為系統(tǒng)所受到的外力的合力；λ1、λ2分別為系統(tǒng)的剛度阻尼及其質(zhì)量阻尼的系數(shù)。

構(gòu)造冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的方法有三種：①將被動運動副替換為主動運動副，即關(guān)節(jié)式的冗余驅(qū)動；②支鏈?zhǔn)降娜哂囹?qū)動，即通過添加一條或多條驅(qū)動支鏈從而使機構(gòu)的實際驅(qū)動鏈數(shù)目超過其運動所需的支鏈數(shù)目；③以上兩種方法的綜合。5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床屬于第一種類型，即通過添加冗余電機從而構(gòu)造出冗余驅(qū)動。值得注意的是,冗余電機的添加，使得整個系統(tǒng)具有6個驅(qū)動輸入。理論上而言，機床的任意位姿都對應(yīng)著無窮多組解。因此，在確定各個分支的驅(qū)動力時，允許根據(jù)不同的優(yōu)化目標(biāo)通過采用不同的優(yōu)化算法優(yōu)化機床分支的驅(qū)動力?？紤]到實際的加工問題，本文采用文獻(xiàn)[20]中的優(yōu)化方法，根據(jù)達(dá)朗伯原理求解冗余分支的驅(qū)動力，從而以使冗余分支的大滑塊能夠更好地跟隨動平臺運動為優(yōu)化目標(biāo)。另外，對于非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的驅(qū)動力，則可根據(jù)拉格朗日方程直接求出。機床剛體動力學(xué)的部分不再贅述。

2　動態(tài)響應(yīng)分析

2.1機床動態(tài)響應(yīng)特性分析

為了分析系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性，令5-UPS/PRPU五自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的動平臺中心的運動軌跡為

(11)

(12)

可以根據(jù)式(10)求出系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性。機床的基本尺寸及結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1～表3。

表1　機床基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　UPS 分支基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

表3　PRPU 分支基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

動平臺的質(zhì)量為45 kg, 密度為 7800 kg/m3, 剪切彈性模量為79 GPa, 拉壓彈性模量為210 GPa。

為了比較機床在冗余驅(qū)動與非冗余驅(qū)動的動態(tài)響應(yīng)特性，分別計算了5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床與其相應(yīng)的5-UPS/PRPU非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移以及對應(yīng)的剛性位移。如圖5～圖10所示，實線部分表示冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移，虛線部分表示非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床動平臺中心的彈性位移。

圖5　沿x軸方向的線位移

圖6　沿y軸方向的線位移

圖7　沿z軸方向的線位移

圖8　沿x軸方向的角位移

圖9　沿y軸方向的角位移

圖10　沿z軸方向的角位移

比較分析圖5～圖10可知冗余驅(qū)動對機床整體動態(tài)響應(yīng)的影響情況。對于冗余驅(qū)動并聯(lián)機床，由分支變形引起平臺中心在x、y、z方向的線/角位移的最大誤差值分別為-0.0189 mm、0.0219 mm、0.1008 mm; -0.1507°、 0.1361°、0.0064°。而對于非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床，各個方向的最大誤差值分別為-0.021 mm、0.0236 mm、0.1114 mm；-0.1581°、0.1403°、0.0068°。由此可見，無論是對于冗余驅(qū)動還是非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床，最大移動誤差均沿z方向，轉(zhuǎn)動方向的最大誤差值均沿x方向。除此之外，可以看出該冗余驅(qū)動并聯(lián)機床在x、y、z三個方向的移動誤差及x、y方向的轉(zhuǎn)動誤差均小于其非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床，且最大移動誤差減小了0.0106 mm, 最大轉(zhuǎn)動誤差減小了0.042°。因而可以得出冗余驅(qū)動可以改善機床的動態(tài)響應(yīng)特性的結(jié)論。

需要說明的是，由于各個方向的實際位移均以某一數(shù)值為中心往復(fù)波動，說明其動平臺中心點由于各個驅(qū)動分支變形所引起的彈性位移是以某一點為中心的彈性振動。

2.2仿真驗證

該冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的固有頻率由下式得到：

det(-ω2M+K)=0

(13)

圖11　冗余驅(qū)動并聯(lián)機床各階固有頻率仿真結(jié)果

通過觀察式(13)不難發(fā)現(xiàn)，該機床的整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均與機床的位姿相關(guān)，因此，計算了機床在不同位姿下的固有頻率，并通過有限元軟件中的模態(tài)分析進行驗證。圖11所示為機床在初始位姿時各階固有頻率在有限元仿真軟件中的計算結(jié)果，比較分析可知，本文理論模型所得結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的變化趨勢一致，可以在一定程度上證明本文模型的有效性。

3　結(jié)論

(1)本文結(jié)合有限單元法與子結(jié)構(gòu)法推導(dǎo)了5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的彈性動力學(xué)模型。

(2)比較了5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動并聯(lián)機床與其非冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的動態(tài)響應(yīng)特性。

(3)冗余驅(qū)動可以在一定程度上改善冗余驅(qū)動并聯(lián)機床的動態(tài)響應(yīng)特性。此外，可以采用本文的方法對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化；通過理論分析找到機床誤差最小的位置，從而進行軌跡規(guī)劃，提高機床加工精度。

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(編輯陳勇)

Elastodynamics Analysis of a 5-UPS/PRPU Redundantly Actuated Parallel Machine Tool

Zhou Xin1,2Xu Yundou1,2Yao Jiantao1,2Zheng Kuijing1,2Zhao Yongsheng1,2

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of National Education,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

An elastodynamics model of the 5-UPS/PRPU redundantly actuated PMT was derived by combining the finite element model and substructure synthesis techniques herein. Firstly, the overall system was divided into different substructures. According to the theory of spatial beam element, the dynamics equation of the spatial beam element was derived, and then assembling into different driving limbs; according to the dynamic constraints and kinematic constraints among the moving platform and each driving limbs, the dynamics equation of the overall system might be obtained by assembling the dynamics equation of the driving limbs. The 5-UPS/PRPU redundantly actuated PMT was set as an example to illustrate the derivation of the dynamic response of the moving platform. At last, by comparing the dynamic response of the redundantly actuated PMT and its non-redundant PMT, it can be concluded that: the elastodynamics performance of the PMT may be improved by the actuation redundancy, so that the errors caused by the driving limb deformations can be reduced as well. The research provides a theoretical reference of the structure design and optimization for the designers.

parallel machine tool(PMT); actuation redundancy; elastodynamics; dynamic performance comparison

2015-11-06

國家自然科學(xué)基金資助項目(51275439)；燕山大學(xué)青年教師自主研究計劃資助項目(13LGA001)

TP394.1；TH691.9

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.09.001

周鑫,男,1988年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向為并聯(lián)機器人理論及其應(yīng)用。許允斗,男,1985年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院講師。姚建濤,男,1980年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院副教授。鄭魁敬,男,1971年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院副教授。趙永生(通信作者),男,1962年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。