唐　穎，張永祥，王　昊，劉　宇

基于PSO-AGA的水文頻率參數(shù)優(yōu)化算法

唐穎1，2，張永祥1，2，王昊1，2，劉宇1，2

（1.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京100124；2.北京工業(yè)大學(xué)水質(zhì)科學(xué)與水環(huán)境恢復(fù)工程北京市重點實驗室，北京100124）

為了尋求水文頻率參數(shù)最優(yōu)值，進(jìn)而得到精度更高的水文特征值，提出一種基于粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法與自適應(yīng)遺傳算法（adaptive genetic algorithm，AGA）的水文頻率參數(shù)優(yōu)化算法.該算法基于離差平方和最小準(zhǔn)則、離差絕對值和最小準(zhǔn)則及相對離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則，構(gòu)建水文頻率參數(shù)優(yōu)化模型，在粒子群算法中引入自適應(yīng)遺傳算子，將遺傳算法的全局搜索能力強(qiáng)與粒子群算法的收斂速度快有效結(jié)合，并對交叉、變異概率進(jìn)行自適應(yīng)改進(jìn)，形成一種自適應(yīng)混合算法，用于對模型求解，得到最佳水文頻率統(tǒng)計參數(shù).以北京市氣象中心降雨資料為例，將本文算法與其他常規(guī)方法比較，結(jié)果表明:本文算法獲得的參數(shù)值在擬合精度和適線效果上要優(yōu)于常規(guī)方法，為水文頻率分析領(lǐng)域決策提供了參考依據(jù).

水文頻率參數(shù)；粒子群算法；遺傳算法；適線

水文設(shè)計值是雨水設(shè)計流量、城市排水系統(tǒng)設(shè)計與規(guī)劃的基本依據(jù)之一，可以通過現(xiàn)有水文資料進(jìn)行水文頻率分析推求，其精度的大小直接影響到城市排水工程的投資和安全.水文頻率分析主要包括理論頻率分布模型的選擇和曲線統(tǒng)計參數(shù)的估計［1-2］.

按照中國相關(guān)規(guī)范規(guī)定:目前中國廣泛應(yīng)用的理論頻率分布模型是皮爾遜芋型分布模型，參數(shù)估計方法常用的有:矩法、概率權(quán)重矩法、權(quán)函數(shù)法和適線法等.矩法估計所得的頻率曲線總是系統(tǒng)偏小，其中Cs偏小尤為明顯；概率權(quán)重矩法統(tǒng)計的參數(shù)也往往偏小，在高重現(xiàn)期更為明顯；權(quán)函數(shù)僅適用于連序系列，限制了使用范圍；適線法是中國用于水文頻率參數(shù)統(tǒng)計的主要方法，分為目估適線法和優(yōu)化適線法.目估適線法是通過目測來選配一條與點據(jù)擬合較佳的曲線，這種方法具有一定的盲目性，參數(shù)的精度受個人經(jīng)驗影響較大；優(yōu)化適線法是在一定的適線準(zhǔn)則下，通過優(yōu)化算法使參數(shù)最優(yōu)，這種方法可以避免適線的任意性，具有較好的適線效果［3-4］.

近年來，遺傳算法和粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法因其在群體演化優(yōu)化方面上的優(yōu)良表現(xiàn)，經(jīng)常應(yīng)用于水文頻率分析中，對于解決水文頻率分析問題有不錯的效果.但這一類算法又存在著各自的局限性，遺傳算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，但搜索速度慢，粒子群優(yōu)化算法雖然收斂速度快，但容易陷入局部最優(yōu)，可以看出2種算法具有很強(qiáng)的互補(bǔ)性，2種算法相結(jié)合得到的混合算法要優(yōu)于單一的算法，在文獻(xiàn)［5］中已得到證明.本文綜合2種算法的優(yōu)點，提出一種粒子群算法與自適應(yīng)遺傳算法（adaptive genetic algorithm，AGA）的混合算法，并應(yīng)用于水文頻率參數(shù)的優(yōu)化中，按照不同適線準(zhǔn)則，進(jìn)行優(yōu)化適線研究，得到最佳水文頻率統(tǒng)計參數(shù).

1　水文頻率參數(shù)模型的構(gòu)建

1.1目標(biāo)函數(shù)的建立

1.1.1水文頻率適線準(zhǔn)則

依據(jù)《水利水電工程設(shè)計洪水計算手冊》，目前中國設(shè)計水文頻率適線準(zhǔn)則有:離差平方和最小準(zhǔn)則、離差絕對值和最小準(zhǔn)則以及相對離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則.

1）離差平方和最小準(zhǔn)則

式中:Cv為離差系數(shù)；Cs為偏差系數(shù)；x為均值；xi為樣本系列值；Pi為頻率；n為系列長度；φ為離均系數(shù)，是Pi與Cs的函數(shù).

2）離差絕對值和最小準(zhǔn)則

3）相對離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則

1.1.2離均系數(shù)φ的計算

1）皮爾遜芋（P-芋）型分布模型

P-芋型分布的概率分布方程為

因此，P-芋型概率分布的確定取決于參數(shù)Cv、Cs以及的取值.

φ標(biāo)準(zhǔn)化的形式為

將式（5）～（8）代入式（4）得

則

由式（11）可得

將式（12）代入式（10）得

即

求解式（14）得

式中:gaminv為不完全伽馬函數(shù)的逆函數(shù)；norminv為正態(tài)累積分布的逆函數(shù).

綜上所述，模型的目標(biāo)函數(shù)分別為fL、fA和fW，函數(shù)的變量為、Cv和Cs.

1.2模型的約束范圍

在適線時，對于變量x、Cv和Cs一般先采用矩法估計出變量的初始近似值、Cv0和Cs0，然后在計算過程中對其進(jìn)行調(diào)整.通常情況下，x的調(diào)整幅度一般在5%以下，不宜超過10%，Cv的調(diào)整幅度為15% ～30%，Cv/Cs的范圍一般為［2，6］［3］.

因此，模型的約束條件為

2　粒子群與自適應(yīng)遺傳混合算法

粒子群算法是依據(jù)每個粒子獨(dú)有的記憶功能，根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和搜索經(jīng)驗來控制種群進(jìn)化速度和方向，快速收斂于最優(yōu)解，但這種機(jī)制可能導(dǎo)致算法早熟陷入局部最優(yōu)［6-7］.遺傳算法由于應(yīng)用了優(yōu)勝劣汰的種群選擇機(jī)制及其交叉變異的遺傳操作，具有良好的全局搜索能力，但涉及大量計算，導(dǎo)致搜索速度較慢［8］.可以看出單一進(jìn)化算法僅靠自身的開發(fā)操作不能得到有效的利用，通過算法間的互補(bǔ)可以提高求解的精度和效率.

本文將2種算法結(jié)合運(yùn)用到水文頻率分析中，得到一種新的統(tǒng)計參數(shù)混合優(yōu)化算法.該算法采用十進(jìn)制編碼方式，將遺傳算法中的選擇、交叉、變異嵌入到粒子群算法中，在進(jìn)化前期采用輪盤賭選擇法與精英保留策略相結(jié)合，提高個體多樣性，通過對交叉變異概率動態(tài)自適應(yīng)調(diào)整，改善算法的收斂性，后期將遺傳算法的變異算子運(yùn)用到粒子群速度進(jìn)化公式，通過個體離迄今最優(yōu)解的遠(yuǎn)近來調(diào)整變異的幅度和方向，避免了傳統(tǒng)遺傳變異操作的盲目性［9-10］.

2.1選擇算子與精英保留策略

本文采用輪盤賭選擇法進(jìn)行選擇［11］.該方法根據(jù)個體被復(fù)制的概率與累積概率之間的關(guān)系來決定其后代遺傳的可能性，選擇操作為

式中:i為粒子編號；n為粒子總數(shù)；V為粒子的適應(yīng)度；P為單個粒子被復(fù)制的概率；Q為單個粒子被復(fù)制的累積概率；U為單個粒子的十進(jìn)制編碼.由式（17）（18）可以看出個體適應(yīng)度越大的越容易被選中，使種群其他粒子不斷被較優(yōu)粒子所更新.

在選擇完成后，對當(dāng)代種群中最優(yōu)的一個粒子進(jìn)行精英保留，使其不參與之后的交叉、變異過程，這樣可以使種群的質(zhì)量得到保證［12］.

2.2粒子的交叉與變異

遺傳算法中，交叉操作是影響全局搜索能力的關(guān)鍵所在.交叉概率（Pc）越大，新個體產(chǎn)生的速度就越快，會導(dǎo)致遺傳有效模式遭到破壞，Pc越小，算法收斂的速度越慢，會影響進(jìn)化的進(jìn)程，Pc應(yīng)隨計算過程而逐漸減小，最后趨于某一穩(wěn)定值，這樣可以避免算法難以收斂.變異操作主要是維持種群的多樣性，防止出現(xiàn)早熟，變異概率（Pm）較小會引起群體的多樣性減少，較大會導(dǎo)致變異的盲目性和隨機(jī)性增大［12-13］.

本文采用動態(tài)調(diào)整交叉、變異概率的方法，使其隨著個體的適應(yīng)度變化進(jìn)行自動調(diào)整［14］，調(diào)整公式為

式中:favg為種群平均適應(yīng)度；fmax為種群最大適應(yīng)度；f′為要交叉的2個個體中較大的適應(yīng)度值；Pc1= 0.9，Pc2=0.6，Pm1=0.1，Pm2=0.01.

粒子交叉時，采用算術(shù)交叉方式，交叉公式為

粒子變異時，采用粒子群的速度位置更新公式與遺傳變異相結(jié)合，重構(gòu)粒子群變異算子，讓粒子的局部最優(yōu)解和種群的全局最優(yōu)解以及粒子進(jìn)化的速度來決定變異的幅度和方向［15］，變異公式為

式中:wstart=0.9；wend=0.4；T為總迭代次數(shù)；t為當(dāng)前迭代次數(shù).

2.3混合優(yōu)化算法步驟

綜上所述，混合優(yōu)化算法具體步驟如下:

1）確定目標(biāo)函數(shù)、約束范圍以及初始化粒子群體.由于混合優(yōu)化算法是求極大最優(yōu)解，因此根據(jù)式（1）～（3）將目標(biāo)函數(shù)變換為和，根據(jù)式（16）確定約束范圍，設(shè)置群體規(guī)模n，根據(jù)約束范圍初始化并隨機(jī)生成初代群體，設(shè)置進(jìn)化代數(shù)T，學(xué)習(xí)因子c1、c2.

2）適應(yīng)度評價和輪盤選擇.計算粒子的適應(yīng)度、復(fù)制概率P和累積概率Q，按照輪盤選擇法進(jìn)行選擇.

3）精英保留.計算單個粒子的歷史最優(yōu)解和群體的全局最優(yōu)解，復(fù)制一個全局最優(yōu)粒子個體并保留，不參與步驟4）和5）過程.

4）粒子交叉.將群體按每2個粒子隨機(jī)分成一組，并為每組分配一個（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)r，按照式（20）計算每組的交叉概率Pc，如果r＜Pc，則該組按照式（22）進(jìn)行交叉操作，并判斷交叉后的粒子是否超出約束范圍，若超出，則將粒子重置到范圍邊緣.

5）粒子變異.重新計算每個粒子的適應(yīng)度，按照式（21）計算粒子變異概率Pm，然后為每個粒子分配（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)r，若r＜Pm，則該粒子按照式（23）（24）進(jìn)行變異操作，并判斷變異后的粒子是否超出約束范圍，若超出，則將粒子重置到范圍邊緣.

6）重新計算粒子適應(yīng)度.將步驟3）中精英保留的粒子替換掉當(dāng)前適應(yīng)度最差的粒子.

7）判斷是否滿足終止條件.如果是，則計算完畢；如果否，則返回步驟2）.

3　實例研究

以北京市氣象中心提供的72年實測降雨資料為例，根據(jù)年最大值法采樣要求，每年選取5、10、15、20、30、45、60、90、120、15、180、240、360、720、1 440 min，共15個降雨歷時的最大降雨量，72年共有1 080個樣本組成降雨序列，然后分別按照歷時對降雨序列不分年次從大到小排列，計算每個歷時的暴雨強(qiáng)度，以此作為頻率分析的基礎(chǔ)資料，從而構(gòu)建水文頻率參數(shù)優(yōu)化模型.分別運(yùn)用矩法、概率權(quán)重矩法、權(quán)函數(shù)法和目估適線法以及本文提出的混合優(yōu)化算法在不同適線準(zhǔn)則下對模型求解，其中混合優(yōu)化算法中設(shè)置種群規(guī)模為200個，迭代100次后，從中選擇優(yōu)化效果最好的一組統(tǒng)計參數(shù)（，Cv，Cs）作為計算結(jié)果，不同方法的參數(shù)估計結(jié)果如表1所示.征值由大到小排列的序號），依據(jù)式（1）～（3）求出不同準(zhǔn)則下的目標(biāo)函數(shù)值，如表2～4所示.

表1　不同方法的參數(shù)估計結(jié)果對比Table 1　Comparison of estimated results on different methods

表2　離差平方和最小準(zhǔn)則下不同方法目標(biāo)函數(shù)值對比Table 2　Comparison of different objective function values under the rule of OLS method

表3　離差絕對值和最小準(zhǔn)則下不同方法目標(biāo)函數(shù)值對比Table 3　Comparison of different objective function values under the rule of ABS method

表4　相對離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則下不同方法目標(biāo)函數(shù)計算結(jié)果對比Table 4　Comparison of different objective function values under the rule of WLS method

由表2～4可以看出在離差平方和最小準(zhǔn)則、離差絕對值和最小準(zhǔn)則及相對離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則下，本文提出的混合優(yōu)化算法得到的目標(biāo)函數(shù)值最小，優(yōu)化結(jié)果均優(yōu)于其他常規(guī)方法，同時《水利水電工程設(shè)計洪水計算規(guī)范》中規(guī)定:、Cv采用矩法進(jìn)行估計，并且的調(diào)整幅度不超過10%，Cv的調(diào)整幅度為15%～30%，Cv/Cs的值為2～6，由混合算法優(yōu)化得到的參數(shù)結(jié)果均滿足上述規(guī)定，符合實際，能夠得到更為合理的水文頻率統(tǒng)計參數(shù).

4　結(jié)論

1）提出一種融合粒子群與自適應(yīng)遺傳的混合算法，該算法將粒子群算法與遺傳算法有效結(jié)合，同時引入自適應(yīng)交叉、變異概率，使交叉、變異伴隨迭代過程進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，避免了算法陷入早熟.

2）針對水文頻率參數(shù)在約束條件下適線準(zhǔn)則最小化的優(yōu)化問題，將混合算法應(yīng)用到統(tǒng)計參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計中，構(gòu)建了水文頻率參數(shù)優(yōu)化模型，通過對模型求解得出3種適線準(zhǔn)則下的最佳統(tǒng)計參數(shù).

3）以北京市水文降雨資料為例，將本文算法與常規(guī)算法進(jìn)行對比，結(jié)果表明本文算法比常規(guī)算法計算結(jié)果更優(yōu)，能更有效地估計水文頻率統(tǒng)計參數(shù)，為水文頻率分析領(lǐng)域提供參考和依據(jù).

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（責(zé)任編輯呂小紅）

Optimization Algorithm of Hydrologic Frequency Parameters Based on PSO-AGA

TANG Ying1，2，ZHANG Yongxiang1，2，WANG Hao1，2，LIU Yu1，2
（1.College of Architecture and Civil Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China；2.Key Laboratory of Beijing for Water Quality Science and Water Environment Recovery Engineering，Beijing University of Technology Beijing 100124，China）

To seek the optimal value for hydrological frequency parameters，and then to obtain a higher precision of hydrological characteristics value，an optimization algorithm of hydrologic frequency parameter based on particle swarm optimization（PSO）and adaptive genetic algorithm（AGA）was proposed.Based on the rule of minimum sum of squared residuals，the rule of the least sum of deviation absolute value and the rule of relative deviation minimum sum of squared residuals，the algorithm was constructed which was applied to hydrological frequency parameter optimization model.Adaptive genetic operators in particle swarm optimization algorithm was introduced，by combining the global search ability of genetic algorithm with quicker convergence rate of particle swarm algorithm effectively，and adaptively，and the crossover and mutation probability was improved，thereby a set of adaptive hybrid algorithm was formed，the optimum parameters of the hydrologic frequency was obtained through the model.By using a municipal meteorological center of rainfall data as an example，the algorithm was compared with other conventional methods in this paper.Results show that the fitting precision and fitness effect of the parameter estimation using the algorithm are superior to conventional methods，and the algorithm providesreference for hydrologic frequency analysis field.

hydrological frequency parameter；particle swarm optimization algorithm；genetic algorithm；curve-fitting

TU 992.1

A

0254-0037（2016）06-0953-08

10.11936/bjutxb2015090011

2015-09-07

國家科技支撐計劃資助項目（2011BAC12B00）

唐穎（1988—），女，博士研究生，主要從事水資源管理方面的研究，E-mail:sugar881201@163.com