趙　磊，羅小紅，李本文

(1.遼寧石油化工大學石油天然氣工程學院，遼寧撫順113001;

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二維輻射磁流體方腔流動與傳熱混合加強邊界控制

趙磊1，羅小紅2，李本文3

(1.遼寧石油化工大學石油天然氣工程學院，遼寧撫順113001;

2.東北大學材料電磁過程研究教育部重點實驗室，沈陽110819;

3.大連理工大學能源與動力學院，遼寧大連116024)

本文研究二維直角坐標下方腔內輻射磁流體流動與傳熱的邊界控制.以速度和溫度一階導數的L2范數作為混合衡量函數，設計一個邊界反饋控制器,它能使混合衡量函數最大、使控制消耗和測量消耗最小.具體方法如下：首先，界定由動能和內能組成的能量函數；計算能量函數的時間導數，得出能量函數時間變化率與混合衡量函數的關系；給出由能量函數和混合衡量函數構成的性能指標上界；得到使性能指標最小的邊界反饋控制器.然后，將溫度邊界反饋控制器作為溫度邊界條件，引入邊界條件，通過配置點譜方法求解輻射傳遞方程，計算得到輻射源項和壁面熱流.接下來，求解能量方程計算出溫度場的狀態(tài)變化，結合二步法以及譜投影算法，求解出壓力狀態(tài)變化.代入前面的結果，求解動量方程可以得到速度場的變化.最后，通過輻射磁流體力學計算程序驗證了溫度邊界反饋控制器的有效性.

磁流體；方腔流；配置點譜方法；邊界反饋；混合加強

磁流體力學在許多應用領域都有應用(如，磁流體加速裝置、磁流體發(fā)電、空間天氣預報、光電信息、航空和航天以及天體物理等).輻射磁流體是在磁場的作用下導電的高溫流體(如電解液和等離子體等)，輻射磁流體流動的研究已經成為磁流體力學的一個重要組成部分.

上世紀中期，環(huán)磁機(Tokamak)的發(fā)明以及在諸多工業(yè)新技術(如電磁連鑄、電磁泵、電弧加熱器、磁流體發(fā)電、電磁推進等)中的開發(fā)，不僅促進了磁流體力學[1]的發(fā)展，同時也促進了磁流體控制技術[2,3]的發(fā)展.以在電磁連鑄應用方面為例，由于熔融金屬是良好的導電體，在電磁場的作用下產生感應電流，感應電流和磁場的相互作用產生洛倫茲力，利用洛倫茲力就可以對熔融金屬進行非接觸式攪拌、傳輸和形狀控制，以達到非接觸控制的目的.同時，電磁場還具有能量的高密度性和清潔性，優(yōu)越的響應性和可控性，能量利用率高以及易于自動化控制等特點.最典型的是磁流體在金屬材料制備領域的應用，甚至發(fā)展成獨立的材料電磁過程(Electromagnetic process of materials,EPM)研究領域.

磁流體控制領域的成果主要是通過湍流控制實現電磁流體(弱導電流體如：鹽水)減阻.傳統(tǒng)的制動器設計分為下面兩類：(1)磁場施加在平行流動方向；(2)磁場施加在垂直于流動方向.電磁流體制動器采用開環(huán)策略，或者是全開或者是在任意時刻暫停，許多成果表明無論是磁場施加平行于[4]流動方向還是垂直于[5]流動方向，反饋控制都比開環(huán)控制提供更高的效率，并且節(jié)省控制能量.Aamo[6]在2003年和Schuster等人[7,8]在2008年先后研究了磁流體在二維管道流的流動控制，在壁面垂直上通過壓力和感應磁場強度來加強內部磁流體的混合.Baker等人[9]在2002基于線性化和模型降階方法的分布參數控制方法設計了精確控制實現對電磁流體的減阻.

雖然反饋控制在磁流體流動控制中取得了很多成果，但是采用壁面加熱/冷卻來反饋控制內部流場和溫度場的設計方法還沒有成果發(fā)表.基于這種思想，本文通過壁面的加熱棒，冷卻水管和熱電偶實現對磁流體方腔流動和傳熱的加強.本文考慮方腔流，內部是參與性高溫磁流體，在上下壁面施加與重力反向的磁場.加熱棒和熱電偶嵌入在左右壁面，以實現主動邊界反饋控制.本文采用配置點譜方法來模擬控制效果.

1　物理模型

本文研究的物理模型為一方腔，方腔內充滿輻射參與性、黏性、不可壓縮且導電的磁流體.方腔為封閉腔體，具有恒溫的左右豎直壁面和絕熱的上下壁面.其中，初始設置右壁面為高溫Th，左壁面低溫Tc.所有的壁面均為不透明的漫射壁面，且滿足無滑移邊界條件.磁場豎直向下施加，強度保持恒定.

2　控制方程

首先，假定在較小磁雷諾數下，感應磁場是可以忽略的.因此，描述參與性MHD流動與傳熱的方程包含連續(xù)性方程、動量守恒方程和能量守恒方程.通過對控制方程式進行變換，可以得到如下無量綱化控制方程.

(1)

(Vsinφcosφ-Usin2φ)

(2)

(Usinφcosφ-Vcos2φ)

(3)

(4)

(5)

3　邊界條件

所有的表面均滿足無滑移邊界條件，左右表面為恒溫壁面，上下壁面為絕熱壁面，因此邊界條件可以寫為

左壁面：U=0，V=0，θlif=-0.5

右壁面：U=0，V=0，θrig=0.5

上，下壁面：U=0，V=0，

|nw·Ω′|dΩ′

(6)

在求解輻射換熱時，假定所有壁面黑度相同，且為不透明漫反射壁面，因此壁面上的輻射邊界條件為

|nw·Ω′|dΩ′

(7)

對流和輻射熱流密度的無量綱形式：

(8)

(9)

局部導熱、輻射和總努賽爾數NuC，NuR和NuT的定義如下：

(10)

(11)

NuT=NuC+NuR

(12)

(13)

4　能量分析，控制器設計及其最優(yōu)化

定義動能和內能組成的能量函數，由于本文考慮穩(wěn)恒磁場，因此磁場能不在分析范圍.

+k2(θ2)dXdY

(14)

其中， k1和k2是任意常數.

對E(V,θ)做時間的導數

(15)

把方程(2)至(4)代入式(15)

(16a)

(16b)

(16c)

(17)

其中，

(Vsinφcosφ-Usin2φ)]UdXdY+

下標X和Y表示對X和Y方向求偏導數.應用Young氏不等式(a1>0，a2>0，a3>0)來確定g(V,θ)的上界

(18)

(19)

(20)

(21)

則

(22)

其中,b1，b2，b3，b4為代入邊界解出的常數.

定義：性能指標[7,10]

(23)

其中，

h(V,θ)=2Prm(V,θ)- g(V,θ)

(24)

則性能指標(23)可以改寫為

(25)

當最后兩項的積分等于零時，性能指標J(θW)最大.因此，控制器(26)和(27)是最優(yōu)的.

(26)

(27)

控制器表達式(26)和(27)的目的是用最小的溫度獲得最大的混合衡量函數m(V,θ)的值.同樣增大不是無止境的.很明顯，式(22)給出了g(V,θ)的上界.同時，在式(24)中，可以看出不提高m(V,θ)無法使h(V,θ)增大，給出如式(23)形式的性能指標是有意義的.

根據測量邊界區(qū)域流體的溫度可以計算出控制器的數值，這樣通過加熱棒對邊界進行加熱，從而對四周壁面溫度進行控制，使m(V,θ)的值增加，實現對方腔內流體加強混合.

5　數值驗證

采用配置點譜方法對輻射磁流體流動和傳熱過程進行模擬.盡管之前已經存在輻射磁流體方腔流動的模擬的研究成果[11～13]，但是在邊界上施加主動控制，使方腔內的參與性磁流體混合加強的研究還沒有發(fā)表.

驗證控制方程求解的正確性：本文與Han[14]研究的物理模型進行比較，物理參數選用如下.

φ=π/2，Gr=2.0×106，Pr=0.733，Ha=100，Pl=0.02，ω=0.

圖1　流線圖(a,c)和等溫線圖(b,d)的比較

圖2　未施加邊界反饋控制的流線圖

圖3　未施加邊界反饋控制的等溫線圖

圖4　邊界反饋控制后的流線圖

圖5　邊界反饋控制前的等溫線圖

6　結果分析

當沒有引入邊界控制時，流線圖和等溫線圖如圖1中所示，第一列為本文結果，第二列是Han的結果，無論是溫度場還是流場都吻合得很好.證明在沒有引入邊界控制時，計算輻射傳遞方程，能量方程，動量方程的正確性.同時，比較了不同光學厚度τ對流場和溫度場的影響.對比圖1中(a)和(c)可以發(fā)現中流場強度隨光學厚度增加而增加，這意味著磁場對流體的抑制作用隨光學厚度的增加其強度逐漸減弱；對比圖1中(b)和(d)中的溫度梯度隨光學厚度增加而減小，模擬結果表明從熱壁面發(fā)射的輻射能更難于達到其他壁面，而更多的熱輻射能被中間的磁流體所吸收.

7　結　論

對二維輻射磁流體方腔流動與傳熱過程進行邊界反饋控制的研究，加強了內部流體的混合.采用逆最優(yōu)方法，得到邊界控制的表達式.利用配置點譜方法，計算出穩(wěn)態(tài)時橫縱坐標的速度.根據反饋控制表達式，得出了邊界反饋控制的準確數值，施加在壁面.最后，用配置點譜方法耦合求解連續(xù)方程，動量方程，能量方程，輻射傳遞方程來模擬控制效果.結果表明：通過施加邊界反饋控制，流場變化梯度增大，溫度場趨于均勻，證明本文提出的方法正確有效.發(fā)現流場強度隨光學厚度增加而增加，溫度梯度隨光學厚度增加而減??；隨散射反照率的增加，方腔內磁流體的流動強度和流線結構變化都很小，尤其是冷壁面附近的主要漩渦結構和強度均沒有變化；隨散射反照率增加，流體溫度有下降的趨勢.

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Mixing enhancement in 2D radiation magnetohydrodynamic cavity flow by boundary feedback control

Zhao Lei1,Luo Xiaohong2,Li Benwen3

(1.School of Petrochemical Engineering,Liaoning Shihua University,Fushun,113001,China;2.Key Laboratory of Electromagnetic Processing of Materials(Ministry of Education),Northeastern University,Shenyang 110819,China;3.School of Energy and Power Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

A nonlinear boundary feedback control law is proposed for mixing enhancement in a 2D radiation magnetohydrodynamic(R-MHD)cavity flow.Using the L2-norm of first-order spatial derivatives of velocity and temperature field as a measure of mixing.A feedback control law that maximizes the measure and minimizes the control and sensing efforts are designed for 2D cavity flow.Firstly,choosing the energy function as the combination of the kinetic and internal energy of the flow,we can compute the time derivative of energy function and provide a relationship between the time derivative of energy function and the measure of mixing.We give an upper bound on a performance cost index which is the function of energy function and mixing measure function.The control law is obtained to maximize the value of cost function,with minimal control and sensing effort.Secondly,applying the control law as the boundary condition,we can obtain the radiative source term and radiative wall heat fluxed by solving the radiation transfer equation.Make use of the value of radiative source term to obtain the temperature field by solving the energy equation.Pressure field can be obtained by two-step method and improved projection scheme.After that,we obtain the velocity field by solving the momentum equation.Finally,the controller effectiveness is demonstrated by a R-MHD code.

MHD; cavity flow; collocation spectral method; boundary feedback; mixing enhancement

10.14186/j.cnki.1671-6620.2016.02.007

TK 323

A

1671-6620(2016)02-0112-06