張 永 強(qiáng)

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

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具有不確定執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型

張 永 強(qiáng)

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

假定在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，利用保險(xiǎn)精算的方法，研究了執(zhí)行價(jià)格受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，得到了具有不確定執(zhí)行價(jià)格受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式.

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；不確定執(zhí)行價(jià)格；期權(quán)定價(jià)

在數(shù)理金融學(xué)中，期權(quán)定價(jià)理論相當(dāng)重要.自從Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式被提出后，這一公式便被廣泛應(yīng)用于金融市場(chǎng)的定價(jià)分析中.不少學(xué)者在此基礎(chǔ)上對(duì)定價(jià)模型做出了許多改進(jìn)[1-4]，但這些改進(jìn)與傳統(tǒng)公式都是在假定執(zhí)行價(jià)格為常數(shù)基礎(chǔ)之上的；文獻(xiàn)[5-8]給出了不確定執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)定價(jià)模型，但它們都假定執(zhí)行價(jià)格是受布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的；因此，本文在此基礎(chǔ)上，將執(zhí)行價(jià)格的不確定性推廣至受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，給出了股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格都受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型.

1　預(yù)備知識(shí)

設(shè)BH1(t)和BH2(t)均為定義在概率空間(Ω,F,Ft,P)上關(guān)于Ft適應(yīng)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，這里Ft為由(BH1(u),BH2(u),0≤u≤t)生成的σ域流，BH1(t)和BH2(t)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)-1≤ρ≤1，則存在獨(dú)立于BH2(t)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BH(t)，使得下式成立[9]

股票價(jià)格滿(mǎn)足

dS(t)=S(t)(μ(t)dt+σ(t)dBH1(t))

(1)

其中:BH1(t)為布朗運(yùn)動(dòng)，μ(t)為預(yù)期收益率，σ(t)為波動(dòng)率，為了計(jì)算方便，假設(shè)μ(t)=μ，σ(t)=σ為常數(shù)，即

dS(t)=S(t)(μdt+σdBH1(t))

(2)

所以有

(3)

假設(shè)K(t)為時(shí)刻t的執(zhí)行價(jià)格，則期權(quán)在時(shí)刻T以執(zhí)行價(jià)格K(T)執(zhí)行，假定在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，K(t)滿(mǎn)足隨機(jī)微分方程

dK(t)=K(t)(αdt+βdBH2(t))

所以有

(4)

其:中α，β為常數(shù)此時(shí)，歐式看漲期權(quán)的到期收益為

(5)

2　定價(jià)模型

定理：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)都受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)時(shí)，歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型為

(6)

其中

所以

由S(T)>K(T)得：

令，

d2=d1+σρTH2

EQ(S(T)IS(T)>K(T))=

同理可得：

EQ(K(T)I{S(T)>K(T)}=

Ct=e-r(T-t)EQ((S(T)-K(T))+)=

e-r(T-t)EQ((S(T)-K(T))IS(T)>K(T)})=

e-r(T-t)EQ(S(T)IS(T)>K(T)})-

e-r(T-t)EQ(K(T)IS(T)>K(T)})=

3　推　論

1) 當(dāng)ρ=1時(shí)，上式定價(jià)公式表示股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)受同一分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型.

2) 當(dāng)H1=0.5，H2=0.5，H=0.5時(shí)，上式定價(jià)公式表示股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)同時(shí)受布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型.

3) 當(dāng)ρ=1，H1=0.5，H2=0.5，H=0.5時(shí)，上式定價(jià)公式表示股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)受同一布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型.

4) 當(dāng)H2=0.5時(shí)，式(6)定價(jià)公式表示股票價(jià)格受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)、執(zhí)行價(jià)受布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型.

4　結(jié)　語(yǔ)

本文將不確定執(zhí)行價(jià)格用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)驅(qū)動(dòng)，建立了風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下不確定執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型，對(duì)不確定執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)定價(jià)具有重要意義.

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European call option pricing model with the implementation of price uncertainty

ZHANG Yong-qiang

(School of Science, Xi'an Polytechnic University, Xi'an 710048, China)

Thispaperassumedtherisk-neutralconditions,usingactuarialmethodstostudytheimplementationofthepricethatthepricingissuefractionalBrownianmotiondrivenEuropeancalloption.TheEuropeancalloptionpricingformulaofuncertainexercisepricedrivenbyfractionalBrownianmotionwasobtained.

fractionalBrownianmotion;uncertainexerciseprice;optionpricing

2015-12-02.

張永強(qiáng)(1989-)，男，碩士，研究方向：金融數(shù)學(xué).

F830

A

1672-0946(2016)04-0489-03