呂　佳,任芳玲,喬克林

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安　716000)

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艾拉姆咖分布參數(shù)的EB單側(cè)檢驗(yàn)

呂佳,任芳玲,喬克林

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安716000)

艾拉姆咖分布在武器裝備的維修理論中具有重要作用。在獨(dú)立同分布條件下研究了艾拉姆咖分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯檢驗(yàn)問題。在對(duì)貝葉斯檢驗(yàn)函數(shù)的臨界點(diǎn)的特定要求下構(gòu)造了分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯檢驗(yàn)函數(shù),給出了其漸近最優(yōu)性的證明；在合適的條件下得出了收斂速度,并給出了一個(gè)滿足條件的例子。

艾拉姆咖分布;單側(cè)檢驗(yàn);經(jīng)驗(yàn)貝葉斯;檢驗(yàn)函數(shù)

艾拉姆咖分布的應(yīng)用常見于武器裝備維修理論中,它是俄羅斯在研究武器裝備的維修時(shí)間時(shí)引入的。國內(nèi)對(duì)這類分布統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行研究的文獻(xiàn)相對(duì)較少。文獻(xiàn)[1]中首先對(duì)艾拉姆咖分布的性質(zhì)進(jìn)行了初步分析,其次在全樣本場(chǎng)合下運(yùn)用極大似然法對(duì)分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)并通過實(shí)例驗(yàn)證這種分布的可行性和實(shí)用性。文獻(xiàn)[2]中研究了艾拉姆咖分布的小樣本區(qū)間估計(jì)和檢驗(yàn)問題,并運(yùn)用實(shí)例指出在對(duì)裝備維修工時(shí)的估計(jì)中用艾拉姆咖分布進(jìn)行估計(jì)的精度比用指數(shù)分布高。文獻(xiàn)[3]中在定數(shù)截尾樣本下研究參數(shù)的極大似然估計(jì)并在全樣本場(chǎng)合下給出參數(shù)的精確區(qū)間估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì)。龍兵[4-7]從貝葉斯統(tǒng)計(jì)的角度對(duì)該分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,得出了參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)的方法。

經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法直接利用樣本信息,這樣的經(jīng)典推斷大多不考慮所作的推斷將被應(yīng)用的領(lǐng)域。而貝葉斯分析將先驗(yàn)信息正式地納入統(tǒng)計(jì)學(xué)中并探索如何利用這種信息。譬如田玉柱等[8]研究了混合雙參數(shù)指數(shù)分布的貝葉斯估計(jì)問題,表明貝葉斯方法對(duì)該分布的參數(shù)估計(jì)是有效的。貝葉斯方法可以在實(shí)踐中檢驗(yàn)正確性,并不斷地完善。雖然,很多實(shí)踐證明這些先驗(yàn)信息可以幫助做出更好統(tǒng)計(jì)推斷,但是先驗(yàn)的尋找和確定并不是一件容易的事情。20世紀(jì)50年代,以羅賓斯[9]為代表,提出了經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法,它是一種用邊際分布來確定先驗(yàn)的貝葉斯方法。通俗地說,經(jīng)驗(yàn)貝葉斯(Empirical Bayes)是利用已有數(shù)據(jù)來估計(jì)先驗(yàn)的某些性質(zhì)的方法。經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法把貝葉斯方法和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法相結(jié)合,顯示出了其特有的優(yōu)越性。以下將主要采用經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法來研究艾拉姆咖分布的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)問題,這是現(xiàn)有文獻(xiàn)中不曾有過的嘗試。

1　艾拉姆咖分布參數(shù)的貝葉斯檢驗(yàn)函數(shù)

考慮參數(shù)λ的單側(cè)檢驗(yàn)問題:H0∶λ≤λ0VsH1∶λ>λ0。

令δ(x)=P{接受H0|x}表示判決函數(shù),則在先驗(yàn)分布為G(λ)時(shí)δ(x)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)為

(1)

設(shè)

則有

(2)

由柯西不等式可知

由式(1)知貝葉斯判決函數(shù)為

δG(x)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)為

(3)

由于先驗(yàn)分布G(λ)是未知的,這就使得貝葉斯檢驗(yàn)函數(shù)在實(shí)際中無法應(yīng)用,因此要用經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法來解決。

2　構(gòu)造艾拉姆咖分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯檢驗(yàn)函數(shù)

設(shè)X1,X2,…,Xn,X是獨(dú)立同分布的樣本序列,X1,X2,…,Xn為歷史樣本；X為當(dāng)前樣本,它們共同的概率密度為f(x)。令Fk,β表示一族密度函數(shù),其k階導(dǎo)數(shù)存在并連續(xù)(k≥2,為非負(fù)整數(shù)),且絕對(duì)值不超過β?，F(xiàn)做如下假設(shè):

f(i)(x)(i=0,1)核密度估計(jì)為

(4)

現(xiàn)構(gòu)造λ的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯檢驗(yàn)函數(shù)如下:

δn(x)的全面貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)為

(5)

其中:En表示對(duì)X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布求期望。

3　經(jīng)驗(yàn)貝葉斯檢驗(yàn)函數(shù)的漸近最優(yōu)性和收斂速度

引理1設(shè)RG、Rn分別由式(3)、式(5)定義,則

證明由引理1,令:Qn(x)=|h(x)|P(|hn(x)-h(x)|≥|h(x)|),可知Qn(x)≤|h(x)|。

由式(2)可知

由控制收斂定理得

證明由于

(6)

其中:c,c0,c1…用來表示任意正的常數(shù)。

若x∈(0,B1],有δG(x)=δn(x)=1；若x∈[B2,),有δG(x)=δn(x)=0,則

En[δn(x)]-δG(x)=0,

所以J1=J4=0 。

若x∈(B1,bG],有δG(x)=1,En[δn(x)]=P(hn(x)≤0),則有

同理可得

由第2類廣義積分的比較判別法可知

4　定理的應(yīng)用

條件(ⅰ)成立。假定核函數(shù)所對(duì)應(yīng)的條件(ⅱ)成立,則兩個(gè)定理的條件全部滿足,兩個(gè)結(jié)論成立。

[1]呂會(huì)強(qiáng),高連華,陳春良.Эрланга分布及其在保障性數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào),2002,16(3):51-55.

[2]潘高田,王保恒,陳春良,等.艾拉姆咖(Эрланга)分布小樣本區(qū)間估計(jì)和檢驗(yàn)問題研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2009,28(3):468-472.

[3]顧蓓青,王蓉華,徐曉嶺.艾拉姆咖分布的統(tǒng)計(jì)分析[C]//中國機(jī)械工程學(xué)會(huì)可靠性工程分會(huì)、柴油機(jī)增壓技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室.2011年全國機(jī)械行業(yè)可靠性技術(shù)學(xué)術(shù)交流會(huì)暨第四屆可靠性工程分會(huì)第三次全體委員大會(huì)論文集.北京:中國機(jī)械出版社,2011.

[4]龍兵.艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計(jì)及檢驗(yàn)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(7):104-109.

[5]龍兵.艾拉姆咖分布均值比的Bayes估計(jì)及檢驗(yàn)[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2013,39(4):154-157.

[6]龍兵.不同損失函數(shù)下艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計(jì)——全樣本情形[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,30(5):96-100.

[7]龍兵.不同先驗(yàn)分布下艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(4):186-192.

[8]田玉柱,安樂,陳平.混合雙參數(shù)指數(shù)分布的貝葉斯估計(jì)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2008,20(3):16-19.

[9]Robbins H.The Empirical Bayes Approach to Statistical Decision Problems[J].Ann Math Statist,1964,35:1-20.

[10]John M V,Van Ryzin J.Convergence Rates in Empirical Bayes Two-action Problems:Ⅱ Continuous Case[J].Ann Math Statist,1972,43:934-947.

EB One-tailed Test of Эрланга Distribution Parameters

Lv Jia,Ren Fangling,Qiao Kelin

(College of Mathematics and Computer Science,Yan'an University,Yan'an 716000,China)

Эрланга distribution plays an important role in the maintenance theory of weaponry.This paper studies the empirical bayesian testing problem of Эрланга distribution parameters under the independent identically distributed(IID) conditions.It constructs the empirical bayesian testing function of distribution parameter under the specific requirement of Bayesian inspection function's critical point,giving the proof of its asymptotic optimality;It obtains the rate of convergence under appropriate conditions,and gives an example that meets the condition.

Эрланга distribution;One-sided test;Empirical Bayes;Test function

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.04.001.

2016-02-14;

2016-04-13.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471007)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(15JK1822).

呂佳(1982-)，男，陜西咸陽人，碩士，講師，研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)推斷.E-mail:yadxjia@163.com.

O211

A

1004-0366(2016)04-0001-06

引用格式:Lv Jia,Ren Fangling,Qiao Kelin.EB One-tailed Test of Эрланга Distribution Parameters[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(4):1-5,12.[呂佳,任芳玲,喬克林.艾拉姆咖分布參數(shù)的EB單側(cè)檢驗(yàn)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(4):1-5,12.]