王　成

(①北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124；②濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022)

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基于嚙合接觸分析下的斜齒輪齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)的計(jì)算*

王成①②

(①北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124；②濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022)

根據(jù)Xu推導(dǎo)出的齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)計(jì)算公式，利用斜齒輪副嚙合接觸分析的相關(guān)結(jié)果，對(duì)斜齒輪齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)進(jìn)行計(jì)算。首先，通過(guò)斜齒輪副輪齒接觸分析和承載接觸分析，得到齒面嚙合點(diǎn)的法向載荷、傳動(dòng)誤差、接觸點(diǎn)位置和接觸線長(zhǎng)度。其次，將法向載荷帶入赫茲公式得到最大接觸應(yīng)力。將傳動(dòng)誤差帶入齒面嚙合點(diǎn)速度計(jì)算公式，最終得到齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度和卷吸速度。最后，將所有參數(shù)帶入齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)計(jì)算公式，得到一對(duì)斜齒輪輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合齒面接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)。以一對(duì)斜齒輪傳動(dòng)為例，利用上述方法計(jì)算得到齒面接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)，與Xu得出的結(jié)論進(jìn)行對(duì)照，結(jié)果合理。

斜齒輪；滑動(dòng)摩擦因數(shù)；嚙合接觸分析

齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)是齒面摩擦特性研究的重要內(nèi)容。準(zhǔn)確計(jì)算嚙合齒面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)，對(duì)于減少齒輪嚙合摩擦損失、增大輪齒承載能力和改善齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)性能等方面具有重要意義。

齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)的計(jì)算方法分為以彈流潤(rùn)滑理論為基礎(chǔ)和以齒面摩擦特性試驗(yàn)為基礎(chǔ)2類(lèi)[1]。通常對(duì)于齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)的處理，一種是用平均滑動(dòng)摩擦因數(shù)代替齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)[2-5]。而據(jù)試驗(yàn)結(jié)果表明，齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)與齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度、卷吸速度、潤(rùn)滑油粘度、載荷、曲率半徑和表面粗糙度等有關(guān)。第二種來(lái)自于試驗(yàn)公式，顯然他們比第一種方法更加準(zhǔn)確，但這些公式均取自于特定的試驗(yàn)環(huán)境，如潤(rùn)滑類(lèi)型、溫度、速度、載荷和表面粗糙度等，而這些可能與使用者的實(shí)際計(jì)算環(huán)境存在差異。第三種是對(duì)試驗(yàn)公式的改進(jìn)，使它們應(yīng)用范圍更廣。但這些公式假定輪齒承受理想載荷，沒(méi)有考慮齒輪修形、支撐變形等情況。此外，有些公式存在較多問(wèn)題[6-7]。例如，齒輪在節(jié)點(diǎn)附近嚙合時(shí)，其滑動(dòng)速度趨向0，即接近純滾動(dòng)。這時(shí)，滑動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)該接近于0。而利用這些公式得到的結(jié)果往往過(guò)大。

Xu[8-9]根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的非牛頓熱彈性潤(rùn)滑理論，推導(dǎo)出彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下的直齒輪和斜齒輪齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)計(jì)算公式，與相關(guān)的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)照，能很好的符合。Xu得出的相關(guān)結(jié)論包括：(1)目前的滑動(dòng)摩擦因數(shù)計(jì)算公式得出的結(jié)果一般較大；(2)齒輪在節(jié)線附近嚙合時(shí)，滑動(dòng)摩擦因數(shù)接近于0；(3)齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度和卷吸速度之比的絕對(duì)值越小，滑動(dòng)摩擦因數(shù)越小。

Xu所推導(dǎo)的公式如下，

(1)

(2)

式中：μ為滑動(dòng)摩擦因數(shù)；SR為齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度Vs和卷吸速度Ve之比，SR=vs/ve，r為齒面嚙合點(diǎn)的綜合曲率半徑，r=r1r2/(r1+r2)，r1和r2為兩齒輪齒面嚙合點(diǎn)的曲率半徑；Ph為最大接觸應(yīng)力；v0為潤(rùn)滑油的動(dòng)力粘度，cPs；s為微粗糙度，μm；bi為與齒輪潤(rùn)滑油相關(guān)的常數(shù)，文獻(xiàn)[8-9]中采用一種常用的齒輪潤(rùn)滑油(75W90)，bi(i=1, 2, …, 9)=(-8.92，1.03,1.04，-0.35,2.81，-0.10,0.75，-0.39,0.62)。

Kolivand[10]在此基礎(chǔ)上，對(duì)弧齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪的齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)進(jìn)行了計(jì)算。

Xu和Kolivand在計(jì)算齒面接觸點(diǎn)滑動(dòng)速度和卷吸速度時(shí)，僅考慮了齒輪嚙合的幾何關(guān)系，未考慮承載傳動(dòng)誤差的存在，而承載傳動(dòng)誤差是表征受載情況下被動(dòng)輪實(shí)際轉(zhuǎn)角偏離理論轉(zhuǎn)角的數(shù)值。因此，本文利用Litvin[11-12]的齒輪嚙合接觸分析理論，基于Xu推導(dǎo)出的齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)計(jì)算公式，對(duì)斜齒輪齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)進(jìn)行精確計(jì)算，其計(jì)算流程見(jiàn)圖1。

1　斜齒輪副幾何接觸分析(tooth contact analysis-TCA)和承載接觸分析(loaded Tooth contact analysis-LTCA)

1.1斜齒輪副幾何接觸分析TCA

圖2為一對(duì)斜齒輪副嚙合的坐標(biāo)關(guān)系，當(dāng)一對(duì)齒輪接觸時(shí)，兩齒面的接觸點(diǎn)有公共位置矢量和公共法線矢量。即，斜齒輪副的幾何接觸分析可用下式表示：

(3)

第二個(gè)矢量方程是由單位矢量組成，因此，式(3)包括5個(gè)方程。該方程中有6個(gè)參數(shù)，以小輪轉(zhuǎn)角φ1為已知量，按一定步長(zhǎng)賦值，可以得到另外5個(gè)參數(shù)值。齒輪邊緣接觸的求解方法類(lèi)似，只是參數(shù)變?yōu)榱?個(gè)，同樣以小輪轉(zhuǎn)角φ1為已知量，按一定步長(zhǎng)賦值，可以得到另外4個(gè)參數(shù)值。斜齒輪TCA的求解具體可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]，通過(guò)TCA的求解，可得到齒面嚙合路徑和接觸印痕。圖3為某斜齒輪副通過(guò)TCA計(jì)算后得到的齒面嚙合路徑和接觸印痕。

1.2斜齒輪副承載接觸分析LTCA

斜齒輪副在受載時(shí)，瞬時(shí)接觸點(diǎn)變?yōu)闄E圓，而橢圓長(zhǎng)軸遠(yuǎn)大于短軸，因此承載接觸分析放在長(zhǎng)軸上進(jìn)行。根據(jù)輪齒受載前后的變形關(guān)系，斜齒輪副的承載接觸分析可用下式表示：

(4)

其中：Xj(j=1,2,…,2n+1)為人工變量，[X]=[X1,X2, …,X2n]T；[λ]為主、被動(dòng)輪接觸橢圓長(zhǎng)軸離散點(diǎn)處的柔度矩陣；[F]為離散點(diǎn)載荷；[d]為嚙合點(diǎn)處變形后的法向齒面間隙；F為總法向載荷；[w]為嚙合點(diǎn)處初始法向齒面間隙；[Z]為輪齒變形后的法向位移。

利用有限元柔度矩陣的非線性規(guī)劃法可以對(duì)方程(4)進(jìn)行求解[13]，通過(guò)LTCA的求解，可得到齒面載荷分布和承載傳動(dòng)誤差。圖4和圖5為某斜齒輪副通過(guò)LTCA計(jì)算后得到的齒面載荷分布和承載傳動(dòng)誤差。

1.3齒面嚙合點(diǎn)法向載荷的計(jì)算

根據(jù)LTCA的計(jì)算結(jié)果，可以求得一對(duì)輪齒從嚙入到嚙出任意嚙合位置接觸點(diǎn)i上的法向載荷Fi(圖6)，其可表示為[5]：

(5)

其中：n為接觸點(diǎn)i處橢圓長(zhǎng)軸離散點(diǎn)j的個(gè)數(shù)，pj為離散點(diǎn)所受的法向載荷。

1.4接觸位置接觸線長(zhǎng)度的計(jì)算

根據(jù)離散點(diǎn)的法向載荷可以得到該接觸位置接觸線的長(zhǎng)度。以圖6為例，如果計(jì)算得到的p1=0，p2>0，pn>0，則實(shí)際接觸線的長(zhǎng)度為離散點(diǎn)p2和pn之間的距離。

2　齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)計(jì)算公式中相關(guān)參數(shù)的計(jì)算

2.1齒面嚙合點(diǎn)滑動(dòng)速度和卷吸速度的計(jì)算

Sheng[14]利用齒輪嚙合的幾何關(guān)系得到齒面接觸點(diǎn)的滑動(dòng)速度和卷吸速度。在此基礎(chǔ)上，我們考慮傳動(dòng)誤差的影響，以此計(jì)算被動(dòng)輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角值。

在圖7中，輪1為主動(dòng)輪，輪2為從動(dòng)輪。輪1和輪2在嚙合點(diǎn)i處的齒面切向速度V1(i)、V2(i)為

v1(i)=ω1ri1sin(αi1)

(6)

v2(i)=ω2(i)ri2sin(αi2)

(7)

(8)

式中：ω1為輪1的角速度；ω2(i)為輪2在嚙合位置i處的角速度；Δω(i)為嚙合位置i處的承載傳動(dòng)角速度誤差；Z1、Z2分別為輪1、輪2的齒數(shù)；αi1、αi2分別為輪1、輪2車(chē)嚙合點(diǎn)i的壓力角，αik=arccos(rbk/rik)，k=1、2(1為輪1、2為輪2)；rb1、rb2為輪1、輪2的基圓半徑；ri1、ri2為輪1、輪2上嚙合點(diǎn)i至回轉(zhuǎn)中心o1、o2的距離。

通過(guò)LTCA可得到輪1和輪2嚙合接觸點(diǎn)的角度誤差，為將其轉(zhuǎn)化為角速度誤差，涉及到的時(shí)間計(jì)算如下：

(9)

式中：t表示輪1轉(zhuǎn)過(guò)相鄰瞬時(shí)接觸點(diǎn)所需的時(shí)間；N是一對(duì)斜齒輪輪齒從嚙入到嚙出齒面瞬時(shí)接觸位置(點(diǎn))的個(gè)數(shù)；Δφi是主、從動(dòng)輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的角度誤差。

輪1和輪2齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度Vs(i)為：

vs(i)=v1(i)-v2(i)

(10)

輪1和輪2齒面嚙合點(diǎn)的卷吸速度Ve(i)為：

(11)

隨著嚙合位置的變化，αi1和αi2不斷變化，在節(jié)點(diǎn)上，αi1=αi2，其滑動(dòng)速度趨向0(若不考慮傳動(dòng)誤差，則滑動(dòng)速度為0)，即接近純滾動(dòng)。

2.2最大接觸應(yīng)力的計(jì)算

最大接觸應(yīng)力Ph可近似地用赫茲公式來(lái)表示：

(12)

式中：W′為沿齒面接觸線單位長(zhǎng)度上的平均載荷，W′=F/l，l為接觸線的長(zhǎng)度(即LTCA中所求得的橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度)；F為接觸點(diǎn)(橢圓長(zhǎng)軸)的法向載荷；r為齒面接觸點(diǎn)的綜合曲率半徑；E′為等效楊氏模量值。

(13)

在齒輪設(shè)計(jì)中引入的彈性系數(shù)ZE，

(14)

將式(13)和(14)代入式(12)，得

(15)

3　算例

以一對(duì)斜齒輪傳動(dòng)為例，這對(duì)斜齒輪的參數(shù)見(jiàn)表1。齒輪的材料均為鑄鋼，彈性系數(shù)ZE=188.0。齒輪潤(rùn)滑油的參數(shù)見(jiàn)表2。

表1斜齒輪傳動(dòng)的參數(shù)

齒輪參數(shù)小齒輪大齒輪齒數(shù)z2041法面模數(shù)mn/mm2.5法面壓力角αn/(°)20螺旋角β/(°)20齒寬B/mm30旋向右旋左旋小輪轉(zhuǎn)速/(r/min)30大輪轉(zhuǎn)矩/(N·m)200

表2齒輪潤(rùn)滑油的參數(shù)(測(cè)量溫度100 ℃)

參數(shù)測(cè)量值密度ρ/(kg/L)0.78運(yùn)動(dòng)粘度υ/cSt14.31

運(yùn)動(dòng)粘度υ的國(guó)際單位是m2/s，動(dòng)力粘度v0的國(guó)際單位是Pa·s。文中所給單位為非國(guó)際單位，它們之間的關(guān)系如下，

1 Pa·s=1 N·s/m2=103cPs

(16)

1 cSt=1 mm2/s

(17)

因此，齒輪油的動(dòng)力粘度v0為，

v0=ρv=0.78/10-3×(14.31×10-6)×103=11.2cPs

(18)

斜齒輪副TCA和LTCA的計(jì)算結(jié)果分別見(jiàn)圖3、4、5和表3。將它們分別帶入式(3)～(18)，得到式(1)和式(2)中的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)而得到一對(duì)斜齒輪輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合齒面接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)以及滑動(dòng)摩擦因數(shù)與齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度和卷吸速度之比SR的關(guān)系(圖8和圖9)。

從圖8和圖9中可以看出：(1)齒面接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)較小，符合文獻(xiàn)[8-9]中的相關(guān)結(jié)論。(2)齒輪節(jié)點(diǎn)附近滑動(dòng)摩擦因數(shù)接近于0，這符合齒輪在節(jié)點(diǎn)附近嚙合，其滑動(dòng)速度趨向0，即接近純滾動(dòng)。這時(shí)，滑動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)該接近于0的結(jié)論。(3)齒面嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度和卷吸速度之比的絕對(duì)值越小，滑動(dòng)摩擦因數(shù)越小，這符合文獻(xiàn)[8-9]中的相關(guān)結(jié)論。

4　結(jié)語(yǔ)

利用斜齒輪副輪齒接觸分析TCA和承載接觸分析LTCA的相關(guān)結(jié)果，計(jì)算得到齒面嚙合點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力、滑動(dòng)速度、卷吸速度、接觸線長(zhǎng)度和綜合曲率半徑等相關(guān)參數(shù)。帶入Xu推導(dǎo)的齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)計(jì)算公式中，得到一對(duì)斜齒輪輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合齒面接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)。以一對(duì)斜齒輪傳動(dòng)為例，利用上述方法計(jì)算得到齒面接觸點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)，結(jié)果表明合理。嚙合齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算，對(duì)于減少齒輪嚙合摩擦損失、增大輪齒承載能力和改善齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)性能等方面具有重要意義。

表3斜齒輪副TCA和LTCA的計(jì)算結(jié)果

位置結(jié)果δ?/(”)r/mml/mmF/N138.5125.100238.8525.3700338.8325.694.78130436.0726.14.75568537.9226.67.151575638.5126.69.542523738.8526.614.333468838.8326.614.3333861936.0726.614.3335841037.9226.611.9425771138.5126.69.5416281238.8526.864.776841338.8327.482.3841611436.0728.17001537.9228.9300

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(編輯孫德茂)

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Calculation of sliding friction coefficients of helical gears based on the contact analysis

WANG Cheng①②

(①College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology,Beijing 100124, CHN; ②School of Mechanical Engineering, University of Jinan, Jinan 250022, CHN)

According to the sliding friction coefficient formula proposed by Xu, the sliding friction coefficients of tooth surface are calculated based on the effects of meshing contact analysis of helical gears. Firstly, the normal forces, the transmission errors, the position of contact points and the length of contact line are obtained from tooth contact analysis (TCA) and loaded tooth contact analysis (LTCA) of helical gears. Secondly, the normal forces are substituted into the Hertz formula, the maximum contact stresses are calculated. The transmission errors are substituted into the calculation formula of speed, the sliding velocity and rolling velocity of contact points on tooth surface are calculated. Finally, all parameters are substituted into the formula of sliding friction coefficient, the sliding friction coefficient from gear-into gear-out are obtained. Illustrated by an example of a pair of helical gears, the sliding friction coefficients of contact points are obtained by the above methods. Compared with the conclusion obtained by Xu, the effects are reasonable.

helical gears; sliding friction coefficient; meshing contact analysis

TH132

A

王成，男，1977生，在職博士后，講師，主要從事機(jī)械傳動(dòng)等方面的研究。

2015-07-21)

160310

*國(guó)家自然科學(xué)基金(51475210)；山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金(BS2011ZZ002)； 中國(guó)博士后科學(xué)基金(2014M550577)；北京市博士后工作經(jīng)費(fèi)(2014ZZ-27)