王競進(jìn)
?
思維訓(xùn)練營/中考鏈接
CHU ZHONG SHENG SHI JIE
例析格點(diǎn)圖形背景下的銳角三角函數(shù)
王競進(jìn)
問題如圖1,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,則∠ABC的正切值是().
圖1
圖2
【分析】本題是2015年山西省的一道中考試題,以格點(diǎn)為問題背景構(gòu)造一個銳角,考查同學(xué)們對銳角三角函數(shù)概念的理解、掌握和靈活應(yīng)用.由于題中給出了點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C,因此先不考慮取其它點(diǎn),而是利用現(xiàn)成的點(diǎn),嘗試連接AC,從圖形的直觀性上初步判斷∠BAC可能是直角,再用勾股定理及其逆定理進(jìn)行驗(yàn)證,最后根據(jù)正切的定義計算即可.
【解答】如圖2,連接AC.
由勾股定理得:
AB2=22+22=8,AB=
AC2=12+12=2,AC=
BC2=12+32=10,
∴AB2+AC2=8+2=10=BC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°,
因此,本題應(yīng)該選D.
【感悟】要求以格點(diǎn)為背景的銳角三角函數(shù)值,我們?nèi)匀灰鶕?jù)銳角三角函數(shù)的概念,使所求的銳角化歸到直角三角形中加以解答.有的銳角可以直接放到一個直角三角形中,有的銳角需通過構(gòu)造一個直角三角形,使其成為這個直角三角形的一個銳角,也有的銳角借助與其所在的三角形全等或相似的三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化,成為另一個直角三角形的一個銳角,再加以解答.現(xiàn)再舉幾例供大家學(xué)習(xí)、參考,以期同學(xué)們形成良好的解題策略.
例1如圖3,將∠AOB放置在5×5的正方形網(wǎng)格中,則tan∠AOB的值是().
圖3
圖4
【點(diǎn)評】本題中設(shè)置的∠AOB沒有放到一個三角形中,解答時要能夠抓住角的一邊所在的特殊位置構(gòu)造直角三角形,并應(yīng)用正切概念求得結(jié)果.
例3(2015·樂山)如圖5,已知△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,則cosA的值為().
圖5
圖6
【解析】設(shè)圖5中的小正方形的邊長為1,因而這是一個5×5的正方形網(wǎng)格,線段AC為其中3×3的正方形網(wǎng)格的對角線,設(shè)其過1×1的正方形網(wǎng)格的一個頂點(diǎn)D(如圖6),連接BD,則BD又是其中另一個1×1的正方形網(wǎng)格的對角線,所以∠BDC=90°,則∠ADB= 90°,且AD=,AB=,所以cosA==.因此,本題應(yīng)該選D.
【點(diǎn)評】本題中的∠A原來是在一個鈍角三角形中,借助于網(wǎng)格和角的一邊所在的特殊位置,將這個非直角三角形中的銳角進(jìn)行巧妙構(gòu)造,使其成為圖形中一個直角三角形的銳角,最終求得結(jié)果.
例4如圖7,A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處,若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′,則tanB′的值為().
圖7
【點(diǎn)評】本題能夠巧妙地應(yīng)用圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì),將一般圖形中的待求角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為與網(wǎng)格具有密切聯(lián)系的特殊位置的圖形.
例5如圖8,△ABC的各個頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上,則sinA的值為().
圖8
圖9
【解析】設(shè)這個網(wǎng)格為4×4的正方形網(wǎng)格.乍一看,銳角∠A不在直角三角形中,且邊AC、AB所在的位置都不是特殊的位置,仔細(xì)觀察知道AC為1×2的矩形網(wǎng)格的對角線,則延長AC一定交2×4的矩形網(wǎng)格于點(diǎn)E,連接BE(如圖9),則AE=,BE=,AB=5,∴AE2+BE2=AB2,∴△ABE是直角三角形,∴sinA==,因此,本題應(yīng)該選A.
【點(diǎn)評】本題解答是經(jīng)歷了構(gòu)造以∠A為內(nèi)角的直角三角形的過程,體現(xiàn)了根據(jù)圖形位置特征進(jìn)行探索,對構(gòu)造圖形是一個直角三角形作出猜想,進(jìn)而應(yīng)用勾股定理進(jìn)行驗(yàn)證的思維過程.當(dāng)然,本題還可以借助于圖形中的△ADE∽△EFB來說明△ABE是直角三角形.親愛的同學(xué),你也想到了嗎?可以嘗試自己完成思路.
例6如圖10,在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,AB、CD相交于點(diǎn)P,則tan∠APD的值是_______.
圖10
圖11
【點(diǎn)評】本題難點(diǎn)在于能夠應(yīng)用圖形中隱含的線段平行的位置關(guān)系,使待求的角進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化到直角三角形中加以解答.
小試身手
1.正方形網(wǎng)格中,∠AOB如圖12放置,則cos∠AOB的值為().
圖12
2.如圖13,方格紙中的每個小正方形都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).△ABC的頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上,則cosA=_______.
圖13
參考答案
(作者單位:江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū))