楊樹(shù)艷

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三角形中有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題的解題策略

楊樹(shù)艷

數(shù)學(xué)是思維的體操，聯(lián)想是一種非常重要的思維品質(zhì)，善于聯(lián)想是尋求解決問(wèn)題的重要方法.當(dāng)你遇到三角形中有關(guān)中點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，你會(huì)產(chǎn)生哪些聯(lián)想呢？但愿本文能給你帶來(lái)一定的啟示.

一、遇到等腰三角形底邊上的中點(diǎn)聯(lián)想到“三線合一”

例1 如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN等于（）.

圖1

【分析】連接AM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM⊥BC，根據(jù)勾股定理求得AM的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得MN的長(zhǎng).

解：連接AM，∵AB=AC，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，

∴AM⊥CM，BM=CM（三線合一），

∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，根據(jù)勾股定理得：

二、遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)聯(lián)想到“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”

例2（2015·宿遷）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).若CD=5，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)______.

圖2

【分析】已知CD是Rt△ABC斜邊AB的中線，那么AB=2CD.EF是△ABC的中位線，則EF應(yīng)等于AB的一半.

解：∵△ABC是直角三角形，

CD是斜邊上的中線，

∴AB=2CD=2×5=10，

∵EF是△ABC的中位線，

三、遇到三角形中兩邊的中點(diǎn)，聯(lián)想“三角形的中位線定理”

例3（2015·無(wú)錫）已知：如圖3，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=6，則AC的長(zhǎng)等于_______.

圖3

解：過(guò)D點(diǎn)作DF∥BE，

∵AD是△ABC的中線，AD⊥BE，

∴F為EC中點(diǎn)，AD⊥DF.

∵AD=BE=6，

∵BE是△ABC的角平分線，AD⊥BE，

∴△ABG≌△DBG，

∴G、E分別為AD、AF的中點(diǎn).

例4（2015·巴中）如圖4，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分別為△ABC的中線和角平分線，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接DH，則線段DH的長(zhǎng)為_(kāi)______.

圖4

【分析】首先證明△ACF是等腰三角形，則AF=AC=3，HF=CH，則DH是△BCF的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解.

解：∵AE為△ABC的角平分線，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，

∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，又AD為△ABC的中線，

∵AB=5，

∴BF=AB-AF=5-3=2，

∴DH=1.故答案為：1.

四、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線截得線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）

例5 如圖5（甲），在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn).

（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；

圖5

（2）將圖5（甲）中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對(duì)角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一直線上，得圖5（乙）原問(wèn)題中的其他條件不變. （1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明.

【分析】（1）延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)P，由AM= EM，可證△ADM≌△EPM，得DM=PM，根據(jù)△DFP是直角三角形即可解題；

（2）延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N，連接FN、DF，易證∠DAM=∠NEM，可證△ADM≌△ENM，得EN=AD，DM=MN，可證CD=EN，即可證明△CDF≌△ENF，得DF=NF，即可解題.

解：（1）MF⊥DM，MF=DM.

證明如下：

延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)P，

∵正方形ABCD和正方形FCGE，

∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP，

∠CFE=90°.

∴△DFP是直角三角形.

∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，∴AM=EM.

在△ADM和△EPM中，

∴△ADM≌△EPM（ASA），

∴DM=PM，∴M是DP的中點(diǎn)，

∵FD=CF-CD=CF-AD=EF-PE=PF，

∴△DFP是等腰直角三角形，

∴FM⊥DM.

（2）結(jié)論依舊成立，證明如下：

延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N，連接FN、DF，

∵CE是正方形CFEG的對(duì)角線，

∴∠FCN=∠CEF=45°，

∵∠DCE=90°，∴∠DCF=45°，

∵AD∥BC，∴∠DAM=∠NEM，

在△ADM和△ENM中，

∴△ADM≌△ENM（ASA），

∴EN=AD，DM=MN，

∵AD=CD，∴CD=EN，

在△CDF和△ENF，

∴△CDF≌△ENF（SAS），

∴DF=NF，∠DFC=∠NFE，

又∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°，

∴△DFN是等腰直角三角形，

∴DM=FM，DM⊥FM.

會(huì)學(xué)比學(xué)會(huì)更重要，方法比知識(shí)更重要.要解決三角形中有關(guān)中點(diǎn)的問(wèn)題就必須學(xué)會(huì)聯(lián)想，通過(guò)作輔助線創(chuàng)造條件，運(yùn)用等腰三角形底邊中線、直角三角形斜邊中線、三角形中位線的性質(zhì)或倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形等與中點(diǎn)有關(guān)的策略解決問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué)）