張?zhí)雇ǎê幽夏翗I(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)院　信息與電子工程學(xué)院，河南　鄭州　450044）

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含有對(duì)數(shù)項(xiàng)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

張?zhí)雇?br/>（河南牧業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，河南鄭州450044）

利用自然對(duì)數(shù)函數(shù)的特征，構(gòu)造了一個(gè)含有對(duì)數(shù)項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)含有3個(gè)參數(shù)、1個(gè)對(duì)數(shù)形式和2個(gè)乘積形式的非線性項(xiàng)，對(duì)該系統(tǒng)的一些動(dòng)力學(xué)特性，如耗散性、平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)性分析，結(jié)果表明新的對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的敏感性，揭示了系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。

對(duì)數(shù)；混沌；Maltab仿真；動(dòng)力學(xué)分析

1963年，美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茨［1］在研究氣象學(xué)的基礎(chǔ)上提出了混沌理論，自此學(xué)者對(duì)混沌理論產(chǎn)生了極大的興趣。半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，混沌理論的研究和應(yīng)用已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、信息學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注，并成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，并相繼提出了許多新的混沌系統(tǒng)如chen系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)、LU系統(tǒng)等［2-4］。近年來(lái)，研究學(xué)者又開(kāi)始嘗試構(gòu)造不同類型的混沌系統(tǒng)，如指數(shù)混沌系統(tǒng)、分階數(shù)混沌系統(tǒng)、對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)等，進(jìn)一步豐富了混沌的動(dòng)力學(xué)理論。該文在LU混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)新的具有自然對(duì)數(shù)函數(shù)形式非線性項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，通過(guò)理論推導(dǎo)、matlab仿真、系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖分析了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

1　對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)

該文研究構(gòu)造的對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式（1）中，x、y、z為系統(tǒng)變量，a、b、c為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)a= 28、b=20、c=30時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)典型的混沌吸引子如圖1所示。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，可得系統(tǒng)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)為L(zhǎng)E1=2.772、LE2=0.000、LE3=-12.783，而且系統(tǒng)的維數(shù)是分?jǐn)?shù)，因此該系統(tǒng)具有混沌特性。

2　基本動(dòng)力學(xué)分析

2.1耗散性

由于系統(tǒng)的散度為：

圖1　混沌系統(tǒng)吸引子相圖

2.2平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

為求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，令系統(tǒng)（1）各式右邊等于0，即：

求得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為：

在平衡點(diǎn)s0=（0，0，1）處對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，求得Jacobian矩陣為：

由其特征方程|λI-J=0|可得：

特征值為：

為了使所有的特征值實(shí)部為負(fù)，則c＞0、a＞b，根據(jù)線性系統(tǒng)理論可知此時(shí)平衡點(diǎn)s0是漸進(jìn)穩(wěn)定的。反之，則可判定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。同理，可判定平衡點(diǎn)s1、s2的穩(wěn)定性。

2.3Lyapunov指數(shù)（LE）譜與分岔圖

非線性動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)主要是由系統(tǒng)參數(shù)決定的，為了分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，下面從系統(tǒng)3個(gè)方向的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖來(lái)討論其影響。

①固定參數(shù)b=20、c=30，改變參數(shù)a，a∈［25，40］。

當(dāng)a在［25，40］范圍內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)LE譜如圖2所示，當(dāng)a∈［25，26）時(shí)，系統(tǒng)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)為：LE1=0，LE2＜0，LE3＜0，此時(shí)系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)a∈［26，40］時(shí)，除個(gè)別點(diǎn)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)LE1=0，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)，其他點(diǎn)處的Lyapunov指數(shù)為：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系統(tǒng)處在混沌狀態(tài)。當(dāng)a∈［25，40］變化時(shí)，關(guān)于x的分岔圖如圖3所示，從分岔圖上也能分析出以上所得結(jié)果。

②固定參數(shù)a=28，c=30，改變參數(shù)b，b∈［10，25］。

當(dāng)b在［10，25］區(qū)間變化時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖4所示，當(dāng)b∈［10，13.2］或［22.2，25］時(shí)，系統(tǒng)的最大LE1=0，此時(shí)系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)b∈（13.2，22.2）時(shí)，除極個(gè)別點(diǎn)的最大LE1=0，系統(tǒng)為周期狀態(tài)，其他點(diǎn)處的Lyapunov指數(shù)為：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，由圖5所示的關(guān)于x的分岔圖中也能得出相同的判斷。

圖2　a變化時(shí)系統(tǒng)的LE譜

圖3　a變化時(shí)x的分岔圖

圖5　b變化時(shí)x的分岔圖

③固定參數(shù)a=28，b=20，改變參數(shù)c，c∈［20，60］。

當(dāng)c在［20，60］變化時(shí)，圖6為系統(tǒng)的LE譜圖，當(dāng)c∈［20，56］時(shí)，除個(gè)別點(diǎn)的最大LE1=0，系統(tǒng)為周期的，其他點(diǎn)處的最大LE1均大于0，系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，當(dāng)c∈（56，60］時(shí)，系統(tǒng)最大LE1=0，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)，由圖7所示的關(guān)于x的分岔圖中也能得出相同的結(jié)論。

圖6　c變化時(shí)系統(tǒng)LE譜

3　結(jié)語(yǔ)

該文研究了一個(gè)新的含有對(duì)數(shù)項(xiàng)的三維自治混沌系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)值仿真、平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等幾個(gè)方面，對(duì)系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，證實(shí)了系統(tǒng)具有豐富的混沌特性，其結(jié)果進(jìn)一步拓展了混沌理論及其應(yīng)用的研究領(lǐng)域。

［1］Lorenz EN.Deterministic nonperodic flow［J］.Journal of the Atmospheric Sciences，1963（2）：130-141.

［2］Chen GR，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999（7）：1465-1466.

［3］Liu C X，Liu T，Liu L.A New Chaotic Attractor［J］. Chaos，Solitons and Fractals，2004（5）：1031-1038.

［4］王震，孫衛(wèi).T混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與同步及電路仿真［J］.物理學(xué)報(bào)，2013（2）：20511.

Dynamic Analysis of a Chaotic System with Logarithmic Terms

Zhang Tantong
（School of Information and Electronic Engineering，Henan Animal Husbandry Economic College，Zhengzhou Henan 450044）

making use of the characteristic of the natural logarithmic function，the construct containing a logarithmic term of chaotic system.The system contains three parameters，a logarithmic form and two product form of the nonlinear term and the dynamical properties of the system，such as dissipation，equilibrium and stability of the system analysis.The results show that new logarithm chaos system to system parameter sensitivity，reveals the system with complex dynamic characteristics.

logarithm；chaos；Maltab simulation；dynamic analysis

O415.5

A

1003-5168（2016）04-0035-03

2016-03-08

張?zhí)雇ǎ?983-），男，碩士，助教，研究方向：非線性電路與智能信息處理。