周元清

摘 要： 思考對于一個人來說是非常重要的，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心，解題是展示數(shù)學(xué)思維的最佳平臺。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思考 教學(xué)過程 方法 反思

大發(fā)明家愛迪生說：“不下決心培養(yǎng)思考習(xí)慣的人，便失去了生活中最大的樂趣?！彼倪@句話充分說明了思考在一個人的生活中占著非常重要的地位。一個人在生活中離不開學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)必然要學(xué)會思考。數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，是一個人獲取思維過程的重要學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)中就是要幫助學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識、形成數(shù)學(xué)技能，也就是讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式對日常生活中的現(xiàn)象進(jìn)行觀察、思考、分析，從而解決實(shí)際的問題，培養(yǎng)學(xué)生思考的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所以數(shù)學(xué)教師應(yīng)該也必須把數(shù)學(xué)思維作為教學(xué)的核心，通過解題這一過程提高分析能力，最終提高思考的深度。

一、在課堂教學(xué)中始終貫穿數(shù)學(xué)思維

1.注重教學(xué)過程，讓學(xué)生在探究知識的過程中得到思考

現(xiàn)代教育心理學(xué)研究指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不僅是一個接受知識的過程，而且是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程。這個過程，一方面是暴露學(xué)生產(chǎn)生各種疑問、困難、障礙和矛盾的過程，另一方面是展示學(xué)生發(fā)展聰明才智、形成獨(dú)特個性與創(chuàng)新成果的過程。

例如：在教學(xué)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)這一節(jié)零點(diǎn)存在性判斷中，筆者先在黑板上畫一條直線，叫一個學(xué)生一只手拿著細(xì)繩一端，另一只手拿著細(xì)繩一端，在黑板上移動兩點(diǎn)，讓學(xué)生觀察，在什么情況下這條細(xì)繩和直線會有交點(diǎn)？學(xué)生通過觀察會發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)、位于直線兩側(cè)時一定有交點(diǎn)，在同側(cè)時不一定有交點(diǎn)。如圖4剪斷細(xì)繩呢？引導(dǎo)學(xué)生思考細(xì)繩可看做什么？學(xué)生能夠回答是函數(shù)的圖像且不能間斷。那兩個點(diǎn)在直線的兩側(cè)又如何從函數(shù)的角度體現(xiàn)？學(xué)生再通過思考、討論會得出兩函數(shù)值的積小于零。最后和學(xué)生一起總結(jié)出函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

圖1？搖？搖？搖 ？搖圖2？搖？搖？搖？搖 圖3？搖？搖？搖？搖 圖4？搖？搖？搖？搖

在這里，筆者從學(xué)生已有的知識出發(fā)，通過提問讓學(xué)生在探究中進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，通過總結(jié)結(jié)論讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)中的收獲與喜悅。在這一過程中，學(xué)生進(jìn)行思考的意識和能力得到了有效培養(yǎng)和深刻訓(xùn)練。因此，教師在教學(xué)過程中要與學(xué)生充分地探究知識的形成過程，把知識講清講透。

2.注重概念教學(xué)，讓學(xué)生在接受知識的過程中得到思維訓(xùn)練

百度百科中對“數(shù)學(xué)概念”是這樣定義的：“人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式?！睌?shù)學(xué)是由概念、命題等內(nèi)容組成的知識體系，是一門以抽象思維為主的學(xué)科，而概念又是這種思維的基本單位，是組成數(shù)學(xué)的細(xì)胞，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的核心。如果脫離了數(shù)學(xué)概念，便無法進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，也無法構(gòu)成數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)是教學(xué)的重要組成部分。

例如：在橢圓概念教學(xué)中，筆者先問學(xué)生你能舉出一些橢圓的圖形嗎？有的學(xué)生會舉出橄欖球、雞蛋的例子，反問學(xué)生：球是圓嗎？然后通過一些橢圓圖案的展示，讓學(xué)生感知橢圓是一個平面圖形。接著再問學(xué)生：如何畫橢圓這個圖形？筆者用課件展示，一塊木板上釘著兩個釘子，釘子上固定一根細(xì)繩，用鉛筆繃緊細(xì)繩在木板上不停地畫出一個橢圓。引導(dǎo)讓學(xué)生思考：在這一過程中兩個釘子固定可以看做什么？可以看做是兩個定點(diǎn)。細(xì)線的長度是否發(fā)生改變？沒有改變。和圓比較沒有改變叫什么？定長。于是和學(xué)生一起總結(jié)橢圓定義：平面上，到兩個定點(diǎn)距離之和為定值（大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓，兩個定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)之間的距離稱為橢圓的焦距。

接著再給學(xué)生提出：（1）為什么這個常數(shù)要大于|F■F■|？（2）若小于或等于|F■F■|？結(jié)合圖形利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析：若常數(shù)小于|F■F■|則無軌跡，常數(shù)等于|F■F■|就是線段F■F■。

這樣通過概念的教學(xué)促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展，加強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想、方法的正確理解，提高了學(xué)生表達(dá)交流意識和探索精神的培養(yǎng)。

二、加強(qiáng)解題指導(dǎo)，提高學(xué)生解題分析能力，促進(jìn)思維發(fā)展

1.加強(qiáng)對解題過程的監(jiān)控，追根溯源找到解題思路

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在解題中提出要加強(qiáng)解題過程的控制，即在解題過程中，對如何入手，如何策劃，如何構(gòu)思，如何選擇，如何組織，如何猜想，如何修正等做出基本計(jì)劃和安排。對學(xué)習(xí)情景中的各種信息做出準(zhǔn)確的知覺和分類，調(diào)動頭腦中已有的相關(guān)知識，對有效信息做出迅速選擇，以恰當(dāng)?shù)姆绞浇M織信息，選擇解決問題的策略，安排學(xué)習(xí)步驟，控制自己的思維方向。關(guān)注解題的過程性和層次性，有意識地控制自己的解題節(jié)奏，對整個解題過程做到“心中有數(shù)”，明確地意識到自己所采取的每個解題步驟的意圖。

本題從如何構(gòu)思而言即解題的源頭就是要把已知給出的函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解題；從如何選擇、如何組織角度就是運(yùn)用三角的公式：兩角和與差的正弦公式、二倍角的正余弦公式，三角函數(shù)的周期公式及單調(diào)性知識進(jìn)行解題。

2.加強(qiáng)常規(guī)常法指導(dǎo)，順其自然地解題

學(xué)生在每次限時的考試中，首先從大腦中提取的解題思路與解題方法應(yīng)該是平常很普遍又很重要的。在考試中雖有些問題的一些解法比較簡單，但對于學(xué)生不容易想到，再好的方法也是空的。教師在平常的教學(xué)中要多講解常規(guī)方法，引導(dǎo)學(xué)生分析，講清如何解決這個問題，并且講透為什么這樣解。如果學(xué)生通過老師這樣不斷訓(xùn)練與歸納，那么他們在解題中也就能做到自信面對。

解法3：前面解法同2，把4a+b+6=0，-3a+5b-6=0兩方程相加得：a+6b=0，將方程中的a、b分別用x、y替代得x+6y=0即為所求。

顯然法1、2都是待定系數(shù)法為常規(guī)常法，學(xué)生比較容易想到也易于掌握。而法3化定元為變元，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中設(shè)而不求的思想，對于一般的學(xué)生不容易理解、理會，只能讓學(xué)有余力的學(xué)生接受。通過常規(guī)常法的學(xué)習(xí)，既要讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)并不是非常抽象的學(xué)科，又要讓學(xué)生感悟到學(xué)好數(shù)學(xué)最關(guān)鍵的是要有清晰的思路，就是順著已知的條件來思考，把已知的條件化成數(shù)學(xué)的等式來求解，而不在于什么奇思妙想。

3.加強(qiáng)解題后反思，提高解題分析能力

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的中核心部分，通過解題可以檢驗(yàn)學(xué)生對所學(xué)知識掌握的程度，對知識的應(yīng)用能力、遷移能力，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟都可以得到很好的反饋。很多學(xué)生會解題，但缺乏對解題過程的反思，停留在就題解題層面，不能做到解一題而通一類題，導(dǎo)致解題質(zhì)量不高。這樣教師若能在解題后引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，將對他以后的解題帶來很大的幫助。

如：已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，且f（1+x）=f（1-x），若f（1）=5，求f（2017）的值。本題的背景是抽象函數(shù)，不能由具體的解析式求函數(shù)值，可利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解。事實(shí)上，由f（1+x）=f（1-x），得f（x+2）=f（-x），又f（-x）+f（x）=0，得f（-x）=-f（x），于是f（x+2）=-f（x），從而f（x+4）=f（x），故f（x）是R上周期為4的奇函數(shù)，則有f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=5。解完后，馬上讓學(xué)生回顧本題運(yùn)用了什么知識解題？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想與方法？本題還可以如何設(shè)問？對f（x+1）=f（1-x）可變?yōu)閒（a+x）=f（a-x）？

通過這些問題的思考，引導(dǎo)學(xué)生反思解題的過程，拓寬解題的視野，推廣解題的結(jié)論。波利亞說：“通過回顧所完成的解答，通過重新檢查考慮和重新檢查這個結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們的解題能力。”讓學(xué)生反思解題的過程，使學(xué)生的知識發(fā)生同化和順應(yīng)，對提高學(xué)生將現(xiàn)有知識遷移到新的問題中有著非常積極的作用。

總之，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征是思考，在教學(xué)中利用問題情境、問題探究、概念教學(xué)等途徑，給學(xué)生提供思考的平臺，積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考。通過解題這一環(huán)節(jié)的指導(dǎo)，讓學(xué)生的思維在實(shí)踐中得到訓(xùn)練，不僅提高了學(xué)生解題分析能力，而且讓學(xué)生的思維得到了進(jìn)一步升華。

參考文獻(xiàn)：

[1]毛錫榮.數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會思考.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.

[2]朱卓君.在反思中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.