王秀紅, 毛興鵬, 張乃通

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209;3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于降維稀疏重構(gòu)的相干信源二維DOA估計(jì)方法

王秀紅1,2, 毛興鵬1,3, 張乃通1

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209;3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心, 黑龍江 哈爾濱 150001)

直接將壓縮感知(compressed sensing,CS)思想應(yīng)用到相干信源二維波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)中會帶來高計(jì)算復(fù)雜度的問題。為了解決這一問題,提出了一種基于降維稀疏重構(gòu)的二維DOA估計(jì)方法,該方法利用特殊陣列結(jié)構(gòu)將二維冗余字典構(gòu)建問題轉(zhuǎn)化為一維冗余字典的構(gòu)建,同時提出了一種基于子字典空間譜重構(gòu)的配對算法,從而在極大降低算法計(jì)算復(fù)雜度的同時,提高了配對成功概率。仿真結(jié)果表明,該方法對相干信源具有接近于克拉美羅下界(Cramér-Rao lower bound, CRLB)的估計(jì)性能,即使是在低信噪比、少快拍數(shù)和小角度間隔的情況下,仍有良好的估計(jì)性能。

波達(dá)方向; 二維波達(dá)方向估計(jì); 相干信源; 降維稀疏重構(gòu); 冗余子字典

0　引　言

近年來高精度、高分辨率的波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)方法得到了快速的發(fā)展并且成功應(yīng)用于雷達(dá)、聲納和無線通信等領(lǐng)域[1]。這些方法絕大多數(shù)都是針對多信源的一維方向(比如方位角)估計(jì)。但是在很多應(yīng)用中目標(biāo)到達(dá)角卻具有二維特性(比如方位角和俯仰角),因此二維DOA估計(jì)方法得到了廣泛的關(guān)注和深入的研究[2-13]。

經(jīng)典的子空間類方法已經(jīng)成功地應(yīng)用到了二維DOA估計(jì)中[4-5],比如二維多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法[4]和二維旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號參數(shù)(estimate signal parameter via rotational invariance technique,ESPRIT)算法[5]等,雖然該類方法具有高分辨率、高估計(jì)精度等優(yōu)點(diǎn),但它們的應(yīng)用前提也較為苛刻,比如要求大量的快拍數(shù)、信源之間的獨(dú)立性、噪聲為不相關(guān)的白噪聲等。很多實(shí)際應(yīng)用環(huán)境都無法滿足上述條件,這使得很多基于子空間類的估計(jì)方法因性能嚴(yán)重下降而失效。因此,在各種復(fù)雜的環(huán)境和復(fù)雜電磁干擾的背景下,如何抑制強(qiáng)相關(guān)甚至相干信源的影響并且快速估計(jì)出目標(biāo)信源的二維DOA角度,是一個具有重要的實(shí)際應(yīng)用價值的課題方向。在這方面國內(nèi)外的學(xué)者已經(jīng)取得了一定的研究進(jìn)展[6-21]。文獻(xiàn)[7]采用了前后向空間平滑(forward backward spatial smoothing, FBSS)[6]技術(shù)對信號去相干,而后利用二維ESPRIT 算法進(jìn)行角度估計(jì);文獻(xiàn)[8-9]通過對接收數(shù)據(jù)的互協(xié)方差矩陣重構(gòu)實(shí)現(xiàn)解相干,重建信號子空間后采用ESPRIT等算法估計(jì)目標(biāo)DOA;文獻(xiàn)[10]在三維垂直陣列上利用波達(dá)方向矩陣法實(shí)現(xiàn)解相干,并將二維DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為3個一維DOA估計(jì)問題進(jìn)行處理;文獻(xiàn)[11]通過對接收數(shù)據(jù)構(gòu)建成Toeplitz結(jié)構(gòu)的矩陣實(shí)現(xiàn)了信源的解相干;文獻(xiàn)[12]通過將接收數(shù)據(jù)的四階累積量構(gòu)建成Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)信源的解相干;文獻(xiàn)[13]提出利用斜投影的方法將相干信源和非相干信源分離,從而實(shí)現(xiàn)所有信源的二維角度估計(jì)。

近年來發(fā)展起來的壓縮感知(compressed sensing,CS)技術(shù)也已經(jīng)成功應(yīng)用到了DOA估計(jì)中[14-19]。該類方法由于不需要利用接收數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性,因而無需任何預(yù)處理即可對相干信源實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì);同時由于不需要進(jìn)行特征分解和空間平滑技術(shù),并且可單快拍處理,所以具有低計(jì)算復(fù)雜度的優(yōu)點(diǎn);因此,該類方法具有重要的實(shí)用價值和廣泛的應(yīng)用前景。目前基于CS的DOA估計(jì)方法主要應(yīng)用于均勻線陣[14-15],也即一維DOA估計(jì)中。而針對面陣的二維CS DOA估計(jì)目前文獻(xiàn)較少,其主要原因之一就是CS方法中需要構(gòu)建的二維角度冗余字典長度過長,使得算法的復(fù)雜度太高,難以實(shí)現(xiàn),從而無法直接將其應(yīng)用于二維DOA估計(jì)中。為了解決這個問題,文獻(xiàn)[16]利用L型陣列的特殊結(jié)構(gòu),提出了一種空間角度稀疏表示的方法,將二維DOA角度解耦并轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€一維DOA估計(jì)的問題,但是該方法的配對算法在信源功率相近甚至相等時將會失效。文獻(xiàn)[17]對接收數(shù)據(jù)的互相關(guān)矩陣進(jìn)行稀疏表示來實(shí)現(xiàn)二維角度估計(jì),但是無法實(shí)現(xiàn)對相干信源的估計(jì)。

為了解決相干信源二維CS DOA估計(jì)的低復(fù)雜度問題,本文提出了一種基于降維稀疏重構(gòu)(reduction dimension sparse reconstruction,RDSR)的DOA估計(jì)方法。該方法利用十字型陣列結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將二維DOA角度冗余字典的構(gòu)建轉(zhuǎn)化為兩個一維的角度冗余字典的構(gòu)建,從而大大降低算法的計(jì)算復(fù)雜度,并且提出了基于冗余子字典的二維空間譜重構(gòu)的配對方案,從而克服了文獻(xiàn)[16]配對算法的缺陷。

因此,本文方法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在以下幾個方面:①無需空間平滑等預(yù)處理即可實(shí)現(xiàn)相干信源的估計(jì);②通過降維處理將二維問題轉(zhuǎn)化為兩個一維問題并行處理,大大降低算法復(fù)雜度和運(yùn)行時間;③該方法對快拍數(shù)目要求不高,即使單快拍數(shù)據(jù)也可以完成二維DOA估計(jì)。

1　數(shù)學(xué)模型

1.1系統(tǒng)模型

考慮有K個遠(yuǎn)場信源入射到一個十字型陣列,如圖1所示,該陣列位于x-z平面,由兩個分別位于x軸和z軸上的均勻線陣垂直交叉構(gòu)成,其中位于x軸和z軸子陣列的陣元數(shù)分別為M和N,陣元間距均勻且分別為dx和dz。假設(shè)第k個信源入射到天線陣列的方位角為θk,俯仰角為φk,其中方位角定義為入射信號在xoy平面上的投影與x軸的夾角,俯仰角定義為入射信號與其在xoy平面投影之間的夾角。

圖1　陣列系統(tǒng)模型

該十字陣列(共M+N-1個陣元)的接收信號可以表示為

(1)

式中,S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為K個入射信號的矢量;N(t)=[n1(t),n2(t),…,n(M+N-1)(t)]T為陣列接收噪聲矢量;A為(M+N-1)×K維陣列流形矩陣,可表示為

(2)

式中,a(θk,φk)為導(dǎo)向矢量,其各元素表示為

(3)

式中,xi和zi為第i個陣元在xoz平面的坐標(biāo)位置。

1.2基于CS的二維DOA估計(jì)

首先將式(1)的接收信號模型轉(zhuǎn)化為稀疏化模型。利用信源在空域上具有稀疏性的特點(diǎn),信源矢量S(t)可按照空域角度進(jìn)行稀疏化表示為稀疏的(Lθ×Lφ)×1維矢量P(t),其中Lθ為待搜索的方位角數(shù)目,Lφ為待搜索的俯仰角數(shù)目。S(t)稀疏化表示后則需要將陣列流形矩陣A進(jìn)行列擴(kuò)展,生成角度冗余字典Ψ,其由所有可能的Lθ×Lφ個二維DOA角度的導(dǎo)向矢量組成。

(4)

因此,二維DOA估計(jì)中接收信號的稀疏化模型可表示為

(5)

式中,R=[R(t1),R(t2),…,R(tT)]∈C(M+N-1)×T和P=[P(t1),P(t2),…,P(tT)]∈CL×T分別為陣列接收信號與入射信號的多快拍數(shù)據(jù)矩陣(其中LLθ×Lφ,T為快拍數(shù))。這樣,式(1)的DOA估計(jì)問題則轉(zhuǎn)化為對式(5)的稀疏解求解問題,可以通過無約束最小化問題來求解。

(6)

為了描述方便,定義CS框架下的空間譜為

(7)

這樣,估計(jì)出的二維DOA角度可表示為

(8)

綜上可以發(fā)現(xiàn),二維CSDOA估計(jì)的關(guān)鍵和主要的計(jì)算量都在于式(6)的求解,而該式求解的復(fù)雜度與冗余字典Ψ的維數(shù)Lθ×Lφ密切相關(guān),如采用內(nèi)點(diǎn)法求解,式(6)的求解復(fù)雜度約與O(Lθ×Lφ)3[15]成正比。當(dāng)需要搜索的方位角和俯仰角的數(shù)目較多時,冗余字典Ψ的維數(shù)Lθ×Lφ很大,此時式(6)的求解復(fù)雜度將會是巨大的,并且在實(shí)際系統(tǒng)中難以實(shí)現(xiàn),因此限制了該類方法的應(yīng)用。

2　基于降維稀疏重構(gòu)二維DOA估計(jì)

為了降低上述二維DOA估計(jì)算法的復(fù)雜度,可以考慮縮減冗余字典Ψ的維數(shù)。為此,本文通過將二維DOA角度解耦,把二維DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為兩個一維DOA估計(jì)問題,從而大大減小冗余字典Ψ的維數(shù)。

2.1降維處理

考慮將圖1所示的十字陣看做是兩個獨(dú)立的均勻線陣,即將z軸的子陣列視為一個獨(dú)立的均勻線陣,可以使用該子陣列估計(jì)出入射信號與該子陣列之間的夾角,該夾角為π/2-φ,因此可以利用z軸子陣列估計(jì)出俯仰角φ∈[-π/2,π/2];同理,可以使用x軸的子陣列估計(jì)出入射信號與該子陣列之間的夾角,即入射信號與x軸的夾角α(為了表述方便,將夾角α稱為合成角),其與方位角θ和俯仰角φ之間有如下關(guān)系

(9)

因此,只要能夠利用子陣列求出俯仰角φ和合成角α,就可根據(jù)式(9)求出方位角θ∈[0,π]。

將z軸和x軸子陣列接收的信號分別表示為

(10)

類似于第1.2節(jié)中的稀疏化過程,由式(10)得到其稀疏表示模型

(11)

式中,ΦZ和ΦX分別為z軸和x軸子陣列的冗余字典,由AZ和AX擴(kuò)展而成,即

(12)

(13)

可將式(11)的單快拍模型推廣到多快拍模型

(14)

(15)

式(15)的稀疏解可表示為

(16)

需要注意的是,式中F范數(shù)部分代表重構(gòu)誤差, l1范數(shù)部分代表稀疏性,即DOA估計(jì)誤差,而參數(shù)μ1和μ2則的選擇方法同式(6),它們用來控制重構(gòu)誤差與稀疏性之間的折中關(guān)系,即調(diào)節(jié)兩者在整體誤差中所占的比重。

利用求解出的稀疏解分別生成一維空間譜

(17)

找出K個最大的譜峰對應(yīng)的角度,即為各信源的俯仰角和合成角

(18)

2.2角度配對存在的問題

(19)

同時,我們還發(fā)現(xiàn)在求解式(16)的問題中,參數(shù)μ1和μ2的選擇對估計(jì)誤差和配對成功概率影響較大。對于文獻(xiàn)[16]中基于幅度排序的配對方案,為了保證盡可能大的配對概率,因此在選擇參數(shù)μ時要求幅度估計(jì)誤差項(xiàng)所占比重較大(即要使幅度估計(jì)誤差最小),這樣位置估計(jì)誤差項(xiàng)比重就會較小,從而導(dǎo)致DOA估計(jì)誤差較大。所以這種配對算法會出現(xiàn)在信噪比較高的情況下DOA估計(jì)誤差較大的問題。

2.3基于子字典的角度配對方案

為進(jìn)一步提高角度配對的成功概率和DOA估計(jì)性能,提出一種基于冗余子字典空間譜重構(gòu)的角度配對方案。

首先需要構(gòu)建冗余子字典(為了方便區(qū)分,將上節(jié)提到的冗余字典稱為完全冗余字典,簡稱全字典,而此處構(gòu)建的冗余子字典簡稱為子字典),其具體構(gòu)建方法如下。

假設(shè)系統(tǒng)中有K個入射信源,從第2.1節(jié)的方法中估計(jì)出它們的俯仰角為{φ1,…,φK}和合成角為{α1,…,αK},那么按照排列組合方案將形成I=K2個組合方案,將其表示為

(20)

(21)

(22)

由集合Ω內(nèi)所有角度生成的導(dǎo)向矢量構(gòu)成矩陣

(23)

(24)

由于子字典是全字典的一部分,仍然滿足式(5)的DOA稀疏模型,故有

(25)

因此,可重構(gòu)出壓縮感知框架下的二維空間譜為

(26)

(27)

需要注意的是,由于在每個子字典下至多只有一個信源存在,因此對于子字典半徑Dθ,Dφ和間隔Δθ,Δφ的選取只需保證空間譜的稀疏性即可;同時,由于至多只有一個信源存在,所以對式(25)求解稀疏解算法的精度和分辨率要求也不高,因此除了式(6)的方法之外,還可以采用低復(fù)雜度的貪婪算法,比如正交匹配追蹤(orthogonalmatchingpursuit,OMP)[14]算法等。

圖2　基于子字典的配對方案舉例(兩個相干信源)

以上所述的基于子字典的配對方案,基本不受2.1節(jié)重構(gòu)算法誤差的影響,并且對信噪比要求不高,對于信源功率相等或相近的情況仍適用,從而可以大大提高角度配對成功概率。

綜上,本文提出的RDSR算法的流程歸納如下:

步驟 1根據(jù)式(12)和式(13)構(gòu)建子陣列的一維冗余字典ΦZ和ΦX;

3　數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文方法的有效性,本文將從下面幾個方面來仿真分析算法的性能。仿真中采用圖1所示的十字型陣列,其中每個子陣列的陣元數(shù)M=N=11,陣元間隔為半波長。仿真中對信源的估計(jì)精度采用均方根誤差(rootmeansquareerror,RMSE)來表征,其具體定義為

3.1信源幅度相同時DOA估計(jì)結(jié)果

圖3為100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的3個相干信源二維DOA估計(jì)結(jié)果,其中每個信源的幅度相同,SNR為0dB,快拍數(shù)為100。從圖3可以看出,當(dāng)信源的幅度相同時,文獻(xiàn)[16]的方法會出現(xiàn)錯誤配對的情況,而導(dǎo)致算法失效,而本文方法不存在這種情況,可以較準(zhǔn)確的估計(jì)出信源的二維DOA角度。

圖3　二維DOA估計(jì)結(jié)果對比

3.2信噪比對算法性能影響

圖4給出了2個相干信源在幅度比為1∶1情況下各種算法的估計(jì)誤差和配對成功概率比較。仿真中兩個信源角度分別為[θ1,φ1]=[63°,15°],[θ2,φ2]=[107°,42°],快拍數(shù)為100。從圖4可以看出,當(dāng)信源幅度相同時,文獻(xiàn)[16]的方法由于配對失敗而導(dǎo)致估計(jì)性能很差,即這種情況下該方法已失效,而文獻(xiàn)[7]中基于FBSS的方法和本文方法都能較準(zhǔn)確地估計(jì)出信源角度,但在低信噪比下,本文方法的估計(jì)性能則優(yōu)于FBSS方法,且性能更接近CRB。同時,相對于FBSS方法只適用于由均勻線陣構(gòu)成的陣列這一缺點(diǎn),本文算法則也可以適用于由非均勻線陣構(gòu)成的陣列,但由于篇幅有限本文不做深入討論。

圖4　相干信源DOA估計(jì)性能隨信噪比變化曲線

3.3信源角度間隔對算法性能影響

圖5給出了兩個相干信源在幅度比為0.8∶1情況下二維DOA估計(jì)誤差與信源角度間隔的變化關(guān)系。仿真中角度間隔Δ定義如下:如果設(shè)第一個信源的DOA角度為(θ1,φ1),那么與其角度間隔Δ的第二個信源的DOA角度(θ1+Δ,φ1+Δ)。仿真中SNR為10 dB,快拍數(shù)為100。從仿真結(jié)果來看,在3種不同方法中,本文方法的估計(jì)性能最好,且接近于CRB界;文獻(xiàn)[16]方法在角度間隔小于10°以內(nèi)時估計(jì)性能優(yōu)于FBSS方法,而在角度間隔大于10°以上時不如FBSS。

圖5　相干信源DOA估計(jì)誤差隨信源角度間隔變化曲線

3.4快拍數(shù)對算法性能影響

圖6給出了SNR分別為-10 dB、0 dB和10 dB情況下二維DOA估計(jì)誤差與快拍數(shù)的變化關(guān)系曲線。仿真中兩個相干信源的幅度比為1∶1,信源角度同上。從仿真結(jié)果來看,在不同的信噪比下和不同的快拍數(shù)目條件下,本文算法都具有接近于CRB的估計(jì)性能,而FBSS方法則在低信噪比情況下估計(jì)性能很差,即使增加快拍數(shù),性能也得不到明顯改善。同時值得注意的是,本文算法在單快拍的情況下也可工作,而FBSS算法不能。

圖6　相干信源DOA估計(jì)誤差隨快拍數(shù)變化曲線

4　復(fù)雜度分析

在采用CS理論進(jìn)行二維DOA估計(jì)時,如果直接進(jìn)行二維角度搜索,那么DOA估計(jì)算法的復(fù)雜度將與角度冗余字典的規(guī)模大小密切相關(guān)。同時,估計(jì)中采用不同的稀疏重構(gòu)算法復(fù)雜度也不相同。結(jié)合本文二維DOA估計(jì)背景,將幾種常見的稀疏分解算法(OMP算法[14]和L1-SVD算法[15])的復(fù)雜度如表1所示。

表1　幾種常用算法與本文算法的復(fù)雜度對比

注:K為信源數(shù);M為陣元總數(shù);T為快拍數(shù);Lθ,Lφ和Lsd分別為方位角、俯仰角和子字典的搜索角度數(shù)。

表2給出了不同DOA估計(jì)算法的運(yùn)行時間和估計(jì)誤差的對比,其中“運(yùn)行時間”是由計(jì)算機(jī)通過Matlab軟件進(jìn)行100次統(tǒng)計(jì)算法的運(yùn)行時間并平均后得到的。假設(shè)2個相干信源,信源角度同第3.2節(jié),子陣元數(shù)為M=N=11,SNR=10dB,快拍數(shù)為100,方位角和俯仰角的冗余字典大小都為400,角度間隔均為0.2°。從表2中可以看出,降維處理可以極大地降低算法的復(fù)雜度,并且?guī)缀醪粫砉烙?jì)精度的損失,同時,本文方法與文獻(xiàn)[16]的方法比較,算法復(fù)雜度相差不多,但是本文方法的估計(jì)精度更高。

表2　不同DOA估計(jì)算法的運(yùn)行時間和估計(jì)誤差對比

5　結(jié)　論

本文提出了一種RDSR的DOA估計(jì)方法,以實(shí)現(xiàn)低復(fù)雜度的相干信源二維DOA估計(jì)問題,同時該方法也成功解決了當(dāng)信源幅度或功率相同或相近時配對算法失效的問題。仿真結(jié)果表明,本文方法在低信噪比、小角度間距以及少快拍數(shù)情況下都具有良好的估計(jì)性能,并且估計(jì)誤差可以接近于克拉美羅界。另外,與直接應(yīng)用CS進(jìn)行二維DOA搜索的估計(jì)方法相比,本文方法具有更低的計(jì)算復(fù)雜度。

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Two-dimensional DOA estimation for coherent sources based on reduction dimension sparse reconstruction

WANG Xiu-hong1,2, MAO Xing-peng1,3, ZHANG Nai-tong1

(1. School of Electronics and Information Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology(Weihai), Weihai 264209, China; 3. Collaborative Innovation Center of Information Sensing and Understanding at Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The problem of high computational complexity will be caused if compressed sensing (CS) is directly applied to two-dimensional (2-D) direction of arrival (DOA) Estimation of coherent sources. To solve this problem, a 2-D DOA estimation method based on reduction dimension sparse reconstruction (RDSR) is proposed. The proposed method converts the construction of a 2-D redundancy dictionary into that of a 1-D dictionary by using the special array structure. In addition, a pair-matching scheme is proposed based on spatial spectrum reconstruction of the sub-dictionary. Therefore, the proposed method not only reduces the computational complexity but also improves the pairing probability of success. Simulation results show that the estimated performance of the method is close to the Cramér-Rao lower bound (CRLB), even in the case of low signal-to-noise ratio (SNR), small number of snapshots and small angle interval, the estimation performance is still good.

direction of arrival (DOA); two-dimensional (2-D) DOA estimation; coherent sources; reduction dimension sparse reconstruction (RDSR); redundant sub-dictionary

2015-11-15；

2016-02-28；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-06-07。

國家自然科學(xué)基金(61171180, 61371100)資助課題

TN 953.3

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.01

王秀紅(1978-),女,講師,博士研究生,主要研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?、波達(dá)角度估計(jì)。

E-mail:xiuhongwang@hit.edu.cn

毛興鵬(1972-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)殡娮觽刹炫c電子對抗、弱信號檢測、雷達(dá)信號處理。

E-mail:mxp@hit.edu.cn

張乃通(1934-),男,中國工程院院士,教授,主要研究方向?yàn)樾盘柼幚怼Ｓ靡苿油ㄐ畔到y(tǒng)、衛(wèi)星通信、深空通信。

E-mail:ntzhang@hit.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160607.1605.020.html