車永強(qiáng)，王　　鑫，呂海禎，劉　　歡，張善鵬

齒輪傳動(dòng)雙轉(zhuǎn)子固有頻率影響因素分析

車永強(qiáng)1，王鑫1，呂海禎1，劉歡1，張善鵬2

（1.國網(wǎng)山東省電力公司電力科學(xué)研究院，濟(jì)南250003；2.山東中實(shí)易通集團(tuán)有限公司，濟(jì)南250003）

根據(jù)有限元法，應(yīng)用MATLAB軟件，考慮彎扭耦合振動(dòng)，建立齒輪—轉(zhuǎn)子五自由度運(yùn)動(dòng)模型，通過求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了齒輪嚙合剛度、齒輪傳動(dòng)比和軸承剛度對(duì)齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響。

齒輪傳動(dòng)雙轉(zhuǎn)子；齒輪嚙合剛度；軸承剛度；傳動(dòng)比；固有頻率

0　引言

齒輪傳動(dòng)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中應(yīng)用最廣泛的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，它工作可靠、傳動(dòng)比恒定，能滿足現(xiàn)代工業(yè)高速度大功率傳動(dòng)的要求［1］。因此，齒輪傳動(dòng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)獲得了廣泛的應(yīng)用并已成為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中重要的一類傳動(dòng)。

齒輪傳動(dòng)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，既有彎曲振動(dòng)，又有扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。由于轉(zhuǎn)子之間的齒輪嚙合作用，各轉(zhuǎn)子的彎振和扭振產(chǎn)生了耦合，各轉(zhuǎn)子的振動(dòng)也不再相互獨(dú)立，而是相互影響、相互制約的，齒輪、軸承和轉(zhuǎn)子已成為系統(tǒng)不可分割的組成部分。因此在分析帶齒輪的高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械時(shí)，應(yīng)該考慮齒輪的嚙合作用，并把齒輪副作為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一部分來進(jìn)行動(dòng)力特性分析［2］。

應(yīng)用MATLAB軟件，考慮彎扭五自由度，推導(dǎo)軸單元、圓盤單元、齒輪副單元和軸承單元的運(yùn)動(dòng)微分方程，耦合得到齒輪—轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)微分方程，通過求解該微分方程，研究齒輪嚙合剛度、齒輪傳動(dòng)比和軸承剛度對(duì)齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響。

1　齒輪傳動(dòng)雙轉(zhuǎn)子模型

圖1為齒輪傳動(dòng)的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖，圖中轉(zhuǎn)子1為主動(dòng)轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子2為被動(dòng)轉(zhuǎn)子，兩轉(zhuǎn)子之間通過齒輪副連接。該齒輪傳動(dòng)轉(zhuǎn)子模型結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1、表2。應(yīng)用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的有限元理論，將該模型離散成為軸承、軸、圓盤、齒輪副等單元，在每個(gè)單元上設(shè)置一定節(jié)點(diǎn)，單元與單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接。對(duì)于軸單元，設(shè)置2個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別位于軸單元的兩個(gè)端點(diǎn)；對(duì)于圓盤單元，設(shè)置1個(gè)節(jié)點(diǎn)，位于圓盤的中心；對(duì)于軸承單元，設(shè)置1個(gè)節(jié)點(diǎn)，位于軸頸中心。然后對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行分析，得到各單元的運(yùn)動(dòng)微分方程，最后通過廣義坐標(biāo)，將所有單元的運(yùn)動(dòng)微分方程組合到一起。

圖1　　齒輪傳動(dòng)的渦輪—發(fā)電機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

表1　系統(tǒng)各軸段的長度和直徑

表2　　系統(tǒng)齒輪、圓盤、軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

考慮系統(tǒng)的彎扭耦合振動(dòng)［4］，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有2個(gè)平動(dòng)、2個(gè)彎曲、1個(gè)扭轉(zhuǎn)共5個(gè)自由度，則該節(jié)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)可以表示為式中：x、y、θx、θy為x、y方向的平動(dòng)位移和彎角；φ為軸向的扭角。

應(yīng)用拉格朗日方程，得到各單元的運(yùn)動(dòng)微分方程［3］，然后組合，得到了齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；F為廣義力矩陣。

2　　轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)分析

轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速是指與轉(zhuǎn)子及其支承系統(tǒng)的橫向或扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率相同的轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近工作時(shí)，轉(zhuǎn)軸會(huì)產(chǎn)生很大的撓度或扭轉(zhuǎn)角，同時(shí)發(fā)生強(qiáng)烈振動(dòng)，使機(jī)件破壞。轉(zhuǎn)子在遠(yuǎn)離臨界轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，振幅很小，工作平穩(wěn)可靠［5］。只有避開轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速才能保證轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運(yùn)行。所以計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速具有重要的意義。

計(jì)算轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，實(shí)際上就是求微分方程的齊次解，此時(shí)系統(tǒng)的廣義力F不予考慮，可認(rèn)為0，由方程（2）得，單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的齊次式為

方程（3）是一個(gè)二階運(yùn)動(dòng)微分方程，可以通過變換將其轉(zhuǎn)化為一階運(yùn)動(dòng)微分方程，引入狀態(tài)向量

則方程（3）可變換為

式中：0和I分別為0矩陣和1矩陣，且大小等于整體質(zhì)量矩陣。

降階后的方程（5）為一階齊次運(yùn)動(dòng)微分方程，A為特征矩陣。通過求解特征矩陣A的特征值就可以得到齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速［6］。應(yīng)用MATLAB軟件求解特征矩陣A的特征值和特征向量，得到的都是復(fù)數(shù)，包含實(shí)部和虛部。其中，特征值的虛部代表的是某一轉(zhuǎn)速下齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的同步渦動(dòng)頻率，包括彎振固有頻率和扭振固有頻率；特征值的實(shí)部代表系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特征向量也分彎振和扭振，與彎振對(duì)應(yīng)的特征向量的實(shí)部和虛部，分別代表x、y方向的振幅，與扭振對(duì)應(yīng)的特征向量的虛部，代表沿軸向的扭角。

同時(shí)，為準(zhǔn)確區(qū)分轉(zhuǎn)子的彎振固有頻率和扭振固有頻率，需要做出Campbell圖。Campbell圖是一種用來判斷轉(zhuǎn)子工作時(shí)是否出現(xiàn)共振，以確定轉(zhuǎn)子出現(xiàn)共振的頻率和階次、共振轉(zhuǎn)速和激勵(lì)源的工程解法。Campbell圖中橫軸代表轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速、縱軸代表彎振和扭振固有頻率，Ω=ω的斜線表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速等于渦動(dòng)轉(zhuǎn)速。如果Ω=ω線和固有頻率線相交，表示可能會(huì)發(fā)生共振。在Campbell圖中，當(dāng)考慮系統(tǒng)的陀螺力矩時(shí)，彎振的正向渦動(dòng)線與反向渦動(dòng)線成對(duì)出現(xiàn)；不考慮系統(tǒng)的陀螺力矩時(shí)，彎振的正向渦動(dòng)線與反向渦動(dòng)線重合，為一水平直線。而陀螺力矩對(duì)扭振沒有影響，因此扭振渦動(dòng)線始終表現(xiàn)為一條水平直線。

3　固有頻率影響因素分析

齒輪傳動(dòng)雙轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)最大振幅波峰一般發(fā)生在齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各階彎振固有頻率和扭振固有頻率處，因此，關(guān)注對(duì)齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎振固有頻率和扭振固有頻率的影響因素，更有實(shí)際意義。

3.1齒輪嚙合剛度的影響

齒輪嚙合剛度是指齒輪嚙合時(shí)輪齒抵抗變形的能力。嚙合剛度直接影響齒輪副單元的剛度，從而影響齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率。為分析齒輪嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響，通過改變嚙合剛度，數(shù)量級(jí)從102到1016，分別做出了對(duì)應(yīng)的彎振固有頻率和扭振固有頻率的Campbell圖。圖2給出的是隨齒輪嚙合剛度變化的齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭振固有頻率變化圖；圖3給出的是隨齒輪嚙合剛度變化的齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎振固有頻率變化圖。

圖2　　扭振固有頻率—齒輪嚙合剛度圖

圖3　　彎振固有頻率—齒輪嚙合剛度圖

從圖2看出，隨著齒輪嚙合剛度的增加，系統(tǒng)的扭振固有頻率也在增大。這是因?yàn)辇X輪嚙合剛度的增加，提升了齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整體扭轉(zhuǎn)剛度，系統(tǒng)的各階扭振固有頻率也就隨之增大。其中1階扭振固有頻率的增幅最大，說明系統(tǒng)的1階扭振固有頻率對(duì)嚙合剛度最敏感。但當(dāng)嚙合剛度增大到108以后，所有扭振固有頻率不再變化，都表現(xiàn)為一條水平直線，這是因?yàn)榇藭r(shí)的齒輪嚙合剛度已經(jīng)遠(yuǎn)高于系統(tǒng)本身的剛度，齒輪嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)的影響已趨于穩(wěn)定。從圖3看出，隨著齒輪嚙合剛度的變化，系統(tǒng)彎振固有頻率幾乎沒有變化。這說明齒輪嚙合剛度主要影響的是系統(tǒng)扭振固有頻率，而對(duì)系統(tǒng)彎振固有頻率則沒有影響。

3.2齒輪傳動(dòng)比的影響

圖4（a）和圖4（b）分別給出了傳動(dòng)比為1和10時(shí)，隨轉(zhuǎn)速增加，系統(tǒng)彎振固有頻率和扭振固有頻率的變化曲線。對(duì)比兩圖可以發(fā)現(xiàn)，齒輪傳動(dòng)比的不同，并不影響扭振渦動(dòng)線，即始終為一條水平直線，而部分彎振渦動(dòng)線變化較大，另一部分彎振渦動(dòng)線基本不變，尤其在傳動(dòng)比為10時(shí)，正向渦動(dòng)線與反向渦動(dòng)線更加偏離。

圖4　　不同傳動(dòng)比下的系統(tǒng)Campbell圖

齒輪傳動(dòng)比的改變，實(shí)際上是改變了從動(dòng)轉(zhuǎn)子2的工作轉(zhuǎn)速，從而改變了轉(zhuǎn)子2的陀螺效應(yīng)，對(duì)轉(zhuǎn)子2影響更大；而轉(zhuǎn)子1的轉(zhuǎn)速和陀螺效應(yīng)并沒有變化。那么圖4（a）和圖4（b）中不發(fā)生變化的彎振渦動(dòng)線對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是轉(zhuǎn)子1，正反向渦動(dòng)線偏離更大的對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是轉(zhuǎn)子2。

當(dāng)主動(dòng)轉(zhuǎn)子1轉(zhuǎn)速為0時(shí)，齒輪傳動(dòng)比的改變，對(duì)轉(zhuǎn)子2的轉(zhuǎn)速?zèng)]有影響，并不會(huì)引起系統(tǒng)固有頻率的改變。因此為分析傳動(dòng)比的影響，假定轉(zhuǎn)子1的轉(zhuǎn)速為5 000 r/min，在這個(gè)轉(zhuǎn)速下，通過改變齒輪傳動(dòng)比，從1/6到10，做出了轉(zhuǎn)子2的前5階同步正向和反向渦動(dòng)頻率的變化圖，如圖5所示。

從圖5中可以看出，隨著傳動(dòng)比的增加，轉(zhuǎn)子2的同步正向渦動(dòng)頻率線與同步反向渦動(dòng)頻率線的偏差越來越大。因此齒輪傳動(dòng)比的增加，一方面提高了轉(zhuǎn)子同步正向渦動(dòng)固有頻率，另一方面減小了轉(zhuǎn)子同步反向渦動(dòng)固有頻率。

3.3軸承剛度的影響

為便于分析，所建立的齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型中的4個(gè)軸承的剛度數(shù)量級(jí)一致，均為109N·m-1。通過改變軸承剛度，數(shù)量級(jí)從102N·m-1到1014N·m-1，分別做出了對(duì)應(yīng)的彎振固有頻率和扭振固有頻率的Campbell圖。圖6為隨軸承剛度變化，齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在同步渦動(dòng)線上的彎振固有頻率變化圖；圖7為隨軸承剛度變化，系統(tǒng)的扭振固有頻率變化圖。

圖5　　轉(zhuǎn)子2的前5階渦動(dòng)頻率隨傳動(dòng)比的變化

從圖6中可以看出，當(dāng)軸承剛度為102～108區(qū)間時(shí)，隨軸承剛度的增加，系統(tǒng)的彎振固有頻率也增加，這是因?yàn)檩S承剛度的增加，提高了齒輪—轉(zhuǎn)子整個(gè)系統(tǒng)的剛度；但當(dāng)軸承剛度增加到109之后，系統(tǒng)的彎振固有頻率，不再發(fā)生變化，趨于穩(wěn)定，這是因?yàn)榇藭r(shí)軸承剛度已大于轉(zhuǎn)子本身的剛度，在這個(gè)數(shù)量級(jí)下，系統(tǒng)的彎振固有頻率較穩(wěn)定。

從圖7中可以看出，為隨著軸承剛度的增加，系統(tǒng)的扭振固有頻率并沒有發(fā)生變化，這是因?yàn)?，軸承剛度的變化，并不會(huì)引起系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度的變化。

圖6　　系統(tǒng)彎振固有頻率—軸承剛度圖

圖7　　系統(tǒng)扭振固有頻率—軸承剛度圖

3.4其他齒輪參數(shù)的影響

齒輪參數(shù)的改變，影響齒輪嚙合剛度的大小。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在傳動(dòng)比不變的前提下，改變齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、重合度、厚度，會(huì)引起齒輪嚙合剛度較小的變化。但由于所建立的齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的嚙合剛度的數(shù)量級(jí)為109，在這個(gè)數(shù)量級(jí)下，系統(tǒng)彎振固有頻率和扭振固有頻率都相對(duì)較穩(wěn)定，不會(huì)發(fā)生太大變化。因此，可以認(rèn)為齒 為變化的范圍較小，對(duì)齒輪嚙合剛度影響很小，可認(rèn)為對(duì)系統(tǒng)固有頻率影響很小。

［1]李良軍.機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2]李國平.齒輪—軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究［D］.長春：東北大學(xué)，2005.

［3]車永強(qiáng)，徐靜霞，錢小東，等.齒輪傳動(dòng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)研究［J］.機(jī)電工程，2012，29（6）：632-635，649.

［4]蔣慶磊，吳大轉(zhuǎn)，譚善光，等.齒輪傳動(dòng)多轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)振動(dòng)特性研究［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2010，23（3）：254-259.

［5]鐘一諤.轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1987.

［6]韓玉強(qiáng)，石守紅，張鎖懷.齒輪耦合對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)固有特性的影響［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2003，22（1）：66-70.

Influencing Factors Analysis on the Natural Frequency of Geared Double Rotor System

CHE Yongqiang1，WANG Xin1，LV Haizhen1，LIU Huan1，ZHANG Shanpeng2
（1.State Grid Shandong Electric Power Research Institute，Jinan 250003，China；
2.Shandong Zhongshi Yitong Group Co.，Ltd.，Jinan 250003，China）

Based on the finite element method of MATLAB software，5 degree freedom motion model of the gear-rotor is established considered coupled bending and torsional vibration.By solving differential equations of motion，the influence of the gear mesh stiffness，gear ratio and bearing stiffness on the natural frequency of the gear rotor system is analyzed.

geared double rotor；gear mesh stiffness；bearing stiffness；gear ratio；natural frequency

TH132.4

B

1007-9904（2016）06-0056-04

2016-02-22

車永強(qiáng)（1986）男，從事汽輪機(jī)節(jié)能與熱試研究工作。