步衍瀚　王平波

(海軍工程大學　武漢　430033)

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基于分數(shù)階傅里葉變換的濾波*

步衍瀚王平波

(海軍工程大學武漢430033)

摘要分數(shù)階傅里葉變換是一種較好的濾波處理工具。利用分數(shù)階傅里葉變換進行濾波處理是基于時頻平面旋轉(zhuǎn)的信號濾波方法，即將信號在時頻平面上旋轉(zhuǎn)特定的角度，使得信號在新的時頻平面上退化為單頻正弦信號?；舅悸肥抢梅謹?shù)階傅里葉變換對信號進行旋轉(zhuǎn)分離，從而達到抑制噪聲的目的。分離出的信號通過對時頻平面的反向旋轉(zhuǎn)，恢復出原信號。通過對算法的分析論證，分數(shù)階傅里葉域濾波算法性能優(yōu)于其他濾波算法。仿真結(jié)果表明，該方法不僅效果明顯，而且信號失真小。和其它濾波算法相比，計算復雜度低更容易實現(xiàn)。

關(guān)鍵詞分數(shù)階傅里葉變換； 信號處理； 濾波

Class NumberTN911

1　引言

對于從事信號處理方面研究的工作者來說，濾波是一個非常重要的環(huán)節(jié)。在實際應用中，經(jīng)過各種信道傳輸后，傳播的信號將不可避免地混有噪聲[1]。從時頻域上分析，經(jīng)典的濾波方法大都只是從時域或頻域上入手進行信號分離，但由于很多信號是寬帶信號，在時頻域上都有較強的耦合，使得經(jīng)典的濾波方法難以實現(xiàn)有效的濾波[2]。

近年來，被廣泛應用于信號處理領域的一種工具——分數(shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT)，成為濾波處理的一種實用好用的方法[3]。目前隨著對分數(shù)階傅里葉變換的深入研究，基于分數(shù)階傅里葉域的濾波技術(shù)日趨成熟。下文中將對分數(shù)階傅里葉域與傳統(tǒng)的時頻域做一個形象的論述，對于初次接觸分數(shù)階傅里葉變換的研究者來說會有所幫助。

從分數(shù)階傅里葉域與時域頻域之間的關(guān)系來看分數(shù)階傅里葉變換實質(zhì)上是一種統(tǒng)一的時頻變換[3]，同時反映了信號在時域、頻域的信息。它和常用的二次型時頻分布不同的是，分數(shù)階傅里葉變換用單一變量表示時頻信息且沒有交叉項。與傳統(tǒng)傅里葉變換相比，分數(shù)階傅里葉變換更適合處理非平穩(wěn)信號，尤其是線性調(diào)頻信號[4]。利用線性調(diào)頻信號在不同階數(shù)分數(shù)階傅里葉域呈現(xiàn)不同的能量聚集特性，通過對分數(shù)階傅里葉域進行峰值二維搜索，就可以實現(xiàn)對LFM信號的檢測和參數(shù)估計[5]。基于此本文做出這方面的仿真實驗與傳統(tǒng)傅里葉變換濾波做了對比，可以很好的看出濾波效果更好。

2　分數(shù)階傅里葉變換的基本定義

2.1分數(shù)階傅里葉變換定義

作為傅里葉變換的廣義形式，p階傅里葉變換可以看做信號在時頻域上坐標軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)pπ/2角度后構(gòu)成的分數(shù)階傅里葉域上的表示[6]。當旋轉(zhuǎn)角度為π/2時即為傅里葉變換。如圖1所示。

圖1　分數(shù)階Fourier域(u，v)

在t域的函數(shù)x(t)的p階分數(shù)階傅里葉變換的定義為

(1)

(2)

(3)

其中p≠2n。

分數(shù)階傅里葉變換的逆變換為

(4)

2.2從時域和頻域到分數(shù)階傅里葉域

下面用直觀的表述方法來分析分數(shù)階傅里葉變換，對初接觸這一領域的研究人員來說更易理解。信號可以展開成n組正弦波的疊加[7]，其時域頻域圖像如圖2。

傳統(tǒng)傅里葉變換從時域旋轉(zhuǎn)π/2角度后到頻域的變換。結(jié)合圖2和圖1，p階傅里葉變換就是時頻域旋轉(zhuǎn)角度為pπ/2構(gòu)成的新的(u，v)域。

2.3分數(shù)階傅里葉變換的性質(zhì)

分數(shù)階傅里葉變換的基本性質(zhì)有線性、酉性、階數(shù)可加性、交換性、結(jié)合性等。其中一個重要性質(zhì)是階數(shù)可加性(又稱旋轉(zhuǎn)可加性)，如0.3階分數(shù)階傅里葉變換的0.5階變換是0.8階變換。而p階的-p階變換即為原信號?；诖宋覀冊趐階分數(shù)階傅里葉域做完濾波處理再進行-p階變換，得到的便是濾波后的信號。

圖2　時域和頻域(t,ω)

2.4信號的分數(shù)階傅里葉變換分布圖

設一初始頻率為100Hz，截止頻率為200Hz，脈寬0.1s的線性調(diào)頻信號。經(jīng)分數(shù)階傅里葉變換Matlab仿真，該信號在分數(shù)階域上的分布如圖3所示。

圖3　信號在分數(shù)階傅里葉域上的分布

其中采樣頻率為1000Hz，采樣點取100，當p=0.83時信號能量聚集最大。

3　分數(shù)階傅里葉域濾波原理和步驟

以線性調(diào)頻(LFM)信號為例，設被觀測信號為混有加性高斯白噪聲的LFM信號。其表示為

x(t)=s(t)+ω(t)

=a0exp(jπm0t2+j2πf0)+ω(t)

(5)

其中a0,m0,f0為未知參數(shù)，ω(t)為加性高斯白噪聲。a0為其包絡函數(shù)，m0是線性調(diào)頻率，f0為初始頻率。濾波算法的第一步是進行參數(shù)估計，檢測含有未知參數(shù)的LFM信號基本思路是以旋轉(zhuǎn)角α為變量做二維掃描，形成(a,u)二維平面，在此平面上對各峰值做遮隔處理。其檢測和估計過程可以描述為

(6)

其中：

(7)

雖然檢測方法看上去較為直觀，但實際操作起來會面臨著一些問題：比如當參數(shù)精度要求較高時，必須選擇較小步長，這會大大增加運算量及計算的復雜程度。文獻[8]中給出了一種兩級搜索的方法。首先對觀測信號選用大的搜索步長，采用較低的分辨率進行直接搜索對參數(shù)進行粗略估計；然后以這一估計值為初始值利用擬牛頓法進行迭代搜索，得到精確估計。其過程為

(8)

其選取的p階分數(shù)階傅里葉域要遵循兩個原則：一是信號要有很好的聚集性，二是信號和噪聲盡量沒有耦合。

在得到參數(shù)估計之后，濾波算法的步驟如下：

1) 對信號進行p階FPFT，得到旋轉(zhuǎn)角度α0=pπ/2后信號表示為

Xp(u)=Sp(u)+Np(u)

(9)

其中Sp(u)為信號的分數(shù)階傅里葉變換，Np(u)為噪聲的分數(shù)階傅里葉變換。在u域上Np(u)一般不會出現(xiàn)聚集特性。

2)在u域上進行尖峰遮隔處理：

=Sp(u)Mp(u)+Np(u)Mp(u)

(10)

其中Mp(u)是中心頻率為u0的帶通濾波器。選擇適當?shù)膸捒梢杂行V除大部分噪聲能量。但由于帶寬越大信號兩端越平滑，較大帶寬濾波會形成一個鐘形脈沖。因此對等幅信號進行濾波要想較好還原波形，帶寬選擇不宜過大。

3)對處理結(jié)果進行p階反變換，便可得到濾波后的原信號。

4　仿真結(jié)果

設信號是一個混有均值為零的加性高斯白噪聲的單分量線性調(diào)頻信號，信噪比為-3dB。圖4(a)為原信號波形，圖4(b)給出了疊加噪聲后的波形。濾波過程如下：首先，對疊加信號在(a,u)平面進行二維搜索，搜索范圍p=0～2(p=2α/π)，搜索步長(間隔)0.01。得到峰值點p0=1.63和u0=279，(a，u)平面上其幅值分布如圖4(c)。然后，對疊加信號做1.63階FRFT變換，在u域上進行窄帶通濾波(尖峰遮隔)，濾波前后u域幅值如圖4(d)、圖4(e)。最后，將濾波后的信號做1.63階的反變換，還原到時域波形便得到了除噪后的信號，見圖4(f)。

圖4　分數(shù)階傅里葉域濾波處理

對比圖4(f)和圖4(a)，可以看出由于噪聲影響及濾波處理，還原的信號和原信號有一定的相位差，但這不影響信號中包含的信息：LFM信號的信息量在包含頻率中。

5　結(jié)語

分數(shù)階傅里葉變換和其他時頻分析方法相比，計算量和復雜程度更低，實現(xiàn)起來更為簡便[10]。分數(shù)階傅里葉域濾波也可以說是一種最優(yōu)濾波方法，相對于其他方法設計相對簡單。本文介紹了分數(shù)階傅里葉變換的基本概念以及對LFM信號的濾波方法，其基本思路是利用分數(shù)階傅里葉變換對信

號進行旋轉(zhuǎn)分離，從而達到抑制噪聲的目的。通過本文提出的方法可以有效進行單分量LFM信號的濾波處理。另外本文直觀形象地用立體圖對比表述了時域頻域和分數(shù)階傅里葉變換的關(guān)系，對初學者而言更容易理解和入門。通過仿真對比，本文提出的方法步驟簡單明了，易于操作實現(xiàn)。

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*收稿日期：2015年10月28日,修回日期：2015年11月10日

基金項目：國家自然科學基金(編號:4355163606)資助。

作者簡介：步衍瀚，男，碩士研究生，研究方向：水聲信號處理。王平波，男，博士，教授，博士生導師，研究方向：水聲信號處理。

中圖分類號TN911

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.04.010

Filtering Based on Fractional Fourier Transform

BU YanhanWANG Pingbo

(Naval University of Engineering, Wuhan430033)

AbstractFRFT(Fractional Fourier Transform) is a good filtering processing tool. Using FRFT to process the signal is a signal filtering method that based on the time-frequency plane rotary. From the signal in the time-frequency plane rotation specific angle, the signal is made degradation in the new time-frequency planefor single frequencysine signal to do processing, making signal-noise separation. A reverse rotation recovers the singal without noise. Through the argumentation and the simulation results, this method not only has obvious offect but also is simple, and has small amount of calculation. Compared with other fiteringalgorithm, this algorithm has low computation and is easy to implement.

Key Wordsfractional fourier transform, signal processing, filter