龔德仁 陳吉安 段登平 陳昌亞

1.上海交通大學(xué)，上海 200240 2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240

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航天器燃料最優(yōu)編隊(duì)機(jī)動(dòng)控制的解析方法

龔德仁1陳吉安1段登平1陳昌亞2

1.上海交通大學(xué)，上海 200240 2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240

針對航天器燃料最優(yōu)編隊(duì)初始化、重構(gòu)等機(jī)動(dòng)展開研究，提出了一種解析控制方法。首先將編隊(duì)機(jī)動(dòng)問題從狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換到構(gòu)型參數(shù)空間進(jìn)行分析，其次基于不等式約束分別得到軌道平面內(nèi)、外運(yùn)動(dòng)的燃料消耗下界，進(jìn)一步獲得燃料最優(yōu)時(shí)需要滿足的條件和可行的燃料最優(yōu)編隊(duì)機(jī)動(dòng)解析解，該解形式簡單，計(jì)算量小。燃料消耗量取決于相對運(yùn)動(dòng)尺寸參數(shù)，而最優(yōu)解的存在性取決于初始狀態(tài)誤差。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。 關(guān)鍵詞 航天器編隊(duì)飛行；燃料最優(yōu)機(jī)動(dòng)；構(gòu)型參數(shù)化；解析解

航天器編隊(duì)飛行具有成本低、系統(tǒng)可靠性高和適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已成為空間分布式任務(wù)研究中的熱點(diǎn)[1]。由于衛(wèi)星攜帶燃料有限，上天后無法得到及時(shí)補(bǔ)充，因此在編隊(duì)機(jī)動(dòng)過程中如何節(jié)省燃料非常重要，且已被廣泛關(guān)注[2]?，F(xiàn)有的燃料優(yōu)化方法可以分成2類：1)基于線性化的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型；2)基于軌道根數(shù)差。

基于線性化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型的燃料優(yōu)化編隊(duì)機(jī)動(dòng)一般采用Clohessy-Wiltshire方程[3]、Lawden方程[4]和Tschauner-Hempel方程[5]。優(yōu)化方法包括線性規(guī)劃算法[6-7]、遺傳算法[8]、進(jìn)化算法[9]、Hamilton-Jacobian-Bellman優(yōu)化方法[10-11]、主矢量算法[12-13]、線性/非線性混合優(yōu)化[14]和高斯偽譜法[15-16]等。其它的研究包括編隊(duì)重構(gòu)的可達(dá)性與最優(yōu)相位分析[17]、編隊(duì)最優(yōu)制導(dǎo)設(shè)計(jì)[18]和考慮復(fù)雜攝動(dòng)的繞飛控制策略[19]等。

基于軌道根數(shù)差的編隊(duì)機(jī)動(dòng)控制方法采用Gauss軌道攝動(dòng)模型和軌道根數(shù)差相對運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，主要包括解析的雙脈沖控制方法[20-21]，三沖量方法[22]，基于燃料當(dāng)量分析的編隊(duì)機(jī)動(dòng)制導(dǎo)方法[23]，近優(yōu)反饋控制方法[24]和小推力燃料優(yōu)化機(jī)動(dòng)控制方法[25]等。

總體來說，針對燃料最優(yōu)編隊(duì)機(jī)動(dòng)問題，已有研究多采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，或者在脈沖次數(shù)固定情況下獲得解析的脈沖值。數(shù)值方法并不能得到真正意義上的最優(yōu)解，且計(jì)算量大，不具有普遍意義；脈沖次數(shù)限制則增加了約束條件，使最優(yōu)解可能被排除在外，況且最優(yōu)解既有可能是脈沖推力，也有可能是連續(xù)推力，或者理論上就不存在。

本文在構(gòu)型參數(shù)空間中展開研究，分析燃料下界及其可達(dá)性，由此得到燃料最優(yōu)的條件和可行的解析解，并分析了各種初始條件下最優(yōu)解的存在性、推力是脈沖的還是連續(xù)的。采用數(shù)值方法對交會(huì)過程和水平投影圓編隊(duì)機(jī)動(dòng)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

1 問題描述

航天器之間的相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系一般在主航天器軌道坐標(biāo)系中描述，一階近似模型為Clohessy-Wiltshire方程。假設(shè)航天器能提供3個(gè)軸向的推力，這時(shí)燃料消耗與控制力的1-范數(shù)成正比，燃料最優(yōu)編隊(duì)機(jī)動(dòng)可以寫成

(1)

其中：J為燃料消耗量，ΔX0為初始狀態(tài)誤差；tf為機(jī)動(dòng)時(shí)間；U(t)=[ux(t),uy(t),uz(t)]T為控制力向量，脈沖控制時(shí)為δ函數(shù)的級數(shù)；Φ(t)為Clohessy-Wiltshire方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，

(2)

其中，n為主航天器的平均軌道角速度。

定義構(gòu)型參數(shù)P=[p,φ,s,l,q,θ]T如下：

(3)

其中：p,q,s和l為尺寸參數(shù)，φ和θ∈[0, 2π)為相位參數(shù)。

采用構(gòu)型參數(shù)P表示的誤差向量ΔX(t)為

Δx(t)=-pcos(nt+φ)+s,

Δy(t)=2psin(nt+φ)+l-1.5nts,

Δz(t)=qsin(nt+θ),

(4)

顯然，參數(shù)p和φ表示軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的尺寸和相位，s和l表示軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的中心偏移，q和θ表示軌道平面外運(yùn)動(dòng)的尺寸和相位。

根據(jù)初始誤差狀態(tài)ΔX0和構(gòu)型參數(shù)P之間的關(guān)系，優(yōu)化問題式(1)可以整理為

(5)

2 問題求解

定理 對于區(qū)間[0,tf],tf≥0上任意的實(shí)可積函數(shù)f(t)和g(t)，不等式

(6)

恒成立。

證明：定義平面曲線L為

(7)

顯然，初始點(diǎn)L(0)=(0, 0)就是坐標(biāo)原點(diǎn)O，如圖1所示。

圖1 曲線L示意圖

(8)

其中，(·)′表示對變量t的導(dǎo)數(shù)。在平面Oxy內(nèi)，連接點(diǎn)O和點(diǎn)Lf之間任意曲線的長度都大于直線OLf的長度

h2≥|OLf|2=x2(tf)+y2(tf)

(9)

其中，Lf=L(tf)是曲線L的終點(diǎn)。將式(7)和式(8)代入式(9)可得

(10)

當(dāng)式(10)中的等號成立時(shí)，曲線L(t)變成直線OLf，此時(shí)滿足

f(t)x(tf)≥0;g(t)y(tf)≥0

(11)

其中，κ(t)為曲線L的斜率。式(11)表明終點(diǎn)Lf決定了滿足式(10)的曲線L的性質(zhì)。

2.1 軌道平面外運(yùn)動(dòng)

根據(jù)方程式(5)可知，軌道平面外運(yùn)動(dòng)的最優(yōu)機(jī)動(dòng)為

(12)

根據(jù)不等式(6)可知燃料消耗Jz滿足

=nq

(13)

因此，nq是Jz的一個(gè)下界。僅當(dāng)下列條件

(14)

(15)

(16)

式(16)為優(yōu)化問題式(12)的解析解?？芍顑?yōu)解不存在連續(xù)推力，只能是脈沖序列。最少僅需一次脈沖，如在t=T-Tθ時(shí)刻施加正向脈沖nq，或在t=1.5T-Tθ時(shí)刻施加負(fù)向脈沖-nq。

2.2 軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)

根據(jù)式(5)可知，軌道平面內(nèi)最優(yōu)機(jī)動(dòng)可以描述成

(17)

根據(jù)式(17)的前2個(gè)約束可得

(18)

因此，0.5np是燃料消耗Jxy的一個(gè)下界。當(dāng)Jxy=0.5np時(shí)，燃料達(dá)到最小值，控制力需滿足

(19)

(20)

(21)

上式表明Jxy有第2個(gè)下界，此時(shí)控制力滿足

(22)

也就是徑向控制力為0，切向控制力始終為正或負(fù)，取決于初始構(gòu)型中心偏移參數(shù)s。

綜合前面的討論可知，軌道平面內(nèi)的燃料消耗Jxy滿足

(23)

下面針對3種不同情況分別進(jìn)行討論。

Case1:p=|s|=0,l≠0

uy(1)=-uy(2)=-l/(3kT),t2=t1+kT;k∈Z+

(24)

此時(shí)燃料消耗為

Jxy=2|l|/(3kT)

(25)

Case2:p>|s|

由式(23)可知，此時(shí)最小燃料為0.5np。將式(19)代入式(17)中的其它約束,可得最優(yōu)解滿足

(26)

由于式(26)中對脈沖大小有3個(gè)等式約束，因此最少三脈沖就可以實(shí)現(xiàn)。不妨令2次為負(fù)脈沖，1次為正脈沖，此時(shí)可得

(27)

其中：α∈[0, 1]，且滿足

(28)

式(28)可稱為p>|s|時(shí)最優(yōu)三脈沖編隊(duì)機(jī)動(dòng)的基本方程，其解為：

(29)

Case3:p≤|s|

(30)

根據(jù)后2個(gè)等式約束，則sl≤0時(shí)不存在最優(yōu)解，只能進(jìn)行次優(yōu)控制。

針對式(30)前3個(gè)約束，定義平面曲線S如下

(31)

這里滿足uy(t)s≥0。曲線S的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)Sf的坐標(biāo)為(0.5npcosφ, -0.5npsinφ)，如圖2所示。

圖2 曲線S示意圖

(32)

定義推力uy(t)與時(shí)間t乘積的積分為推力影響

(33)

進(jìn)一步可知，曲線的斜率κ(t)和曲率半徑ρ(t)分別為

(34)

可知κ(t)僅與時(shí)間相關(guān)，ρ(t)為控制力的1/n。

β=sinc-1(p/|s|)≥0,R=0.25n|s|/β

(35)

其中：R和β分別為圓的半徑和半圓心角，sinc(x)=sin(x)/x。

根據(jù)式(34)和(35)可知，最優(yōu)控制力為

(36)

其中

(37)

(38)

對于編隊(duì)機(jī)動(dòng)(s,p)，令兩段推力產(chǎn)生的效果分別為(s1,p1)和(s2,p2)

(39)

因此有

(41)

(42)

考慮到約束|s1|≥p1，|s2|≥p2和ε,η∈[0,1]，因此η的范圍為

(43)

此外，也可以采用脈沖推力實(shí)現(xiàn)編隊(duì)機(jī)動(dòng)。假設(shè)脈沖時(shí)刻為

(44)

其中：kj∈Z+，my為脈沖次數(shù)，上標(biāo)“o”和“e”分別表示kj為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的脈沖。由式(30)可得

(45)

(46)

比較式(46)和式(26)的形式可知，兩者僅僅變量不同，可以采用相同方法進(jìn)行求解。

當(dāng)sl≤0時(shí)，最優(yōu)解不存在，只存在次優(yōu)解。一種策略就是分2次進(jìn)行控制，第1次將p，φ和s控制為0，第2次將l控制為0?？傮w上是一種次優(yōu)控制策略，因?yàn)閷控制為0所需的燃料隨著時(shí)間的增加呈反比例下降。

3 仿真示例

3.1 交會(huì)過程

假設(shè)目標(biāo)航天器運(yùn)行在800km高的近圓軌道上，軌道周期為T=6052.4s，追蹤航天器位于目標(biāo)航天器后方3000m、下方100m的軌道上。初始時(shí)刻的構(gòu)型參數(shù)為

P=[0m, 0°, 100m, 3000m, 0m, 0°]T

可知交會(huì)過程符合p≤|s|，且sl>0的情況。根據(jù)前面的分析結(jié)果可知，采用連續(xù)推力和脈沖推力兩種方式都可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)機(jī)動(dòng)。

采用連續(xù)推力控制，最優(yōu)控制力為

總?cè)剂舷臑?/p>

采用脈沖推力控制，一種最優(yōu)脈沖序列為

t(1)=to(1)=0.5T,

t(2)=to(2)=1.5T,

t(3)=te=5T,

燃料消耗為

仿真結(jié)果如圖3所示，2種機(jī)動(dòng)方式都是燃料最優(yōu)的。

3.2 水平投影圓編隊(duì)機(jī)動(dòng)

水平投影圓編隊(duì)是指輔航天器圍繞主航天器飛行，其繞飛軌跡在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)投影為圓形的編隊(duì)。該編隊(duì)構(gòu)型可以用圓的半徑R和初始相位γ來描述。從一個(gè)水平圓構(gòu)型(R0,γ0)到另一個(gè)水平圓構(gòu)型(Rd,γd)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，相對構(gòu)型參數(shù)為

P=[0.5R,γ, 0, 0,R,γ+0.5π]T。

其中，

根據(jù)前面分析可知軌道平面外采用一次脈沖

軌道平面內(nèi)采用3次脈沖就可以實(shí)現(xiàn)燃料最優(yōu)編隊(duì)機(jī)動(dòng)

圖3 燃料最優(yōu)交會(huì)

仿真結(jié)果如圖4所示，相位參數(shù)φ和θ保持不變，脈沖施加時(shí)刻滿足Δx(t)=0或Δz(t)=0。

圖4 燃料最優(yōu)編隊(duì)機(jī)動(dòng)

4 結(jié)論

針對燃料最優(yōu)編隊(duì)機(jī)動(dòng)控制，采用構(gòu)型參數(shù)空間分析方法得到了解析解。結(jié)果表明，燃料最優(yōu)解的存在性與初始條件有關(guān)，最優(yōu)解只要存在就有多種，燃料消耗與相對尺寸參數(shù)有關(guān)。該解析控制方法不僅可以用在編隊(duì)機(jī)動(dòng)上，同時(shí)也可用在航天器交會(huì)過程中。

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Analytical Solutions to Fuel-Optimal Spacecraft Formation Maneuver

Gong Deren1, Chen Ji’an1, Duan Dengping1, Chen Changya2

1.Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China 2.Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 200240, China

Anewsimplemethodisproposedforfuel-optimalspacecraftformationmaneuver,includinginitializationandreconfiguration,andanalyticalsolutionswithoptimal/suboptimalstrategiesareobtained.Themethodconsistsoftwostages.Firstly，anewformofparameterizationofformationmaneuverstateisdevelopedforsimplicity.Secondly,theout-of-planeandin-planemotionareseparatelystudiedastheyareuncoupled.Withthehelpofausefulinequalityintroducedandproved,thelowerboundofthefuelconsumptionandthecorrespondingconstraintsofthecontrolforcesarederivedandobtained.Theresultsshowthattheminimumtotalfuelconsumptiondependsontherelativesizeparametersandtheexistenceofoptimalcontrolalgorithmdependsupontheinitialconditions.Thenumericalsimulationsofthetwoapplicationsareproventhatthetheproposedmethodisvalideandefficient.

Spacecraft-formationflying;Fuel-optimalmaneuver;Configurationparameters;Parameterization;Analyticalsolutions

2014-10-29

龔德仁(1982-)，男，湖南婁底人，講師，主要從事分布式衛(wèi)星系統(tǒng)姿軌協(xié)同和相對導(dǎo)航控制研究；陳吉安(1965-)，男，吉林四平人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事飛行器結(jié)構(gòu)和力學(xué)研究；段登平(1966-)，男，重慶銅梁人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事空間飛行器總體設(shè)計(jì)與研制；陳昌亞(1963-)，男，安徽安慶人，研究員，主要從事航天器總體設(shè)計(jì)和深空探測技術(shù)研究。

V448.22+4

A

1006-3242(2016)01-0037-08