中國礦業(yè)大學(xué)（徐州） 山東能源棗礦集團(tuán)供電工程處 張 浩

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基于準(zhǔn)同步Prony的諧波和間諧波檢測算法

中國礦業(yè)大學(xué)（徐州） 山東能源棗礦集團(tuán)供電工程處 張 浩

【摘要】針對傳統(tǒng)傅里葉變換在非同步采樣條件下存在頻譜泄露，以及諧波和間諧波在分析過程中相互之間存在干擾的問題，本文創(chuàng)新性地提出一種基于準(zhǔn)同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QS-Prony）。該算法首先使用基于頻移算法的準(zhǔn)同步采樣技術(shù)，通過構(gòu)造同步采樣序列，實(shí)現(xiàn)非同步采樣信號的準(zhǔn)同步化。為了避免信號中諧波、間諧波之間的互擾問題，對頻移后的準(zhǔn)同步序列使用梳狀FIR陷波型濾波器近一步分離。隨后采用Prony譜分析法，使用指數(shù)函數(shù)的線性組合來擬合采樣數(shù)據(jù)，并提取信號的頻率、幅值、相位等特征量。在不同強(qiáng)度的噪聲干擾環(huán)境下對比驗(yàn)證了加窗插值FFT算法（WI-FFT）、準(zhǔn)同步-梳狀濾波器分離-加窗插值FFT算法（QS-WI-FFT）、準(zhǔn)同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QS-Prony）的準(zhǔn)確度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明QS-Prony法可以有效解決非同步問題，有效避免了諧波、間諧波之間的互擾，并且相比FFT算法具有較高的頻率分辨率。

【關(guān)鍵詞】諧波；間諧波；Prony算法；梳狀濾波器；Matlab

0　引言

當(dāng)今社會越來越多的高科技設(shè)備采用新工藝，新技術(shù)，其對電源的敏感性也越來越高，因此社會對于電能質(zhì)量的要求也越發(fā)的提高。但與此同時，隨著大量電力電子設(shè)備投入到電力系統(tǒng)中，其所具有的負(fù)荷非線性、非對稱性、沖擊性等特性向電力系統(tǒng)注入各種電磁干擾，對電力系統(tǒng)的電能質(zhì)量和用戶設(shè)備的安全運(yùn)行造成不良影響，甚至引發(fā)嚴(yán)重的安全生產(chǎn)事故。

目前諧波、間諧波的分析方法主要有傅里葉變換［1］，小波變換，基于瞬時無功功率理論的檢測法，現(xiàn)代譜估計法?？焖俑道锶~變換（ fast fourier transformation，F(xiàn)FT）由于其簡單、快速的優(yōu)點(diǎn)，但是信號基頻變化導(dǎo)致非同步采樣時，會存在嚴(yán)重的頻譜泄露問題，影響諧波測量的準(zhǔn)確性［2］；小波變換有較高的時頻分辨率，在波動快速、頻繁的諧波檢測方面具有較大優(yōu)勢，但對噪聲敏感［3-4］；基于瞬時無功功率理論的檢測法在進(jìn)行電流檢測時，不受電網(wǎng)波動的影響，檢測幾乎無延時，實(shí)時性很好，但由于該技術(shù)是針對電力有源濾波器開發(fā)出來的，因此它僅需或僅能得到三相電路的總諧波電流含量?，F(xiàn)代譜估計法是一種新興的諧波檢測算法?，F(xiàn)代譜估計算法的優(yōu)點(diǎn)是：對有限的窄帶信號沒有頻率分辨率的限制，可以分析無限小頻率間隔的相鄰兩頻率成分。Prony算法將非線性問題轉(zhuǎn)化為了線性問題，具有更好的頻率分辨率，對于間諧波的分析具有廣闊的應(yīng)用前景。

針對傳統(tǒng)傅里葉變換在非同步采樣條件下存在頻譜泄露，以及諧波和間諧波在分析過程中相互之間存在干擾的問題，創(chuàng)新性地提出一種基于準(zhǔn)同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QSProny）。該算法首先使用基于頻移算法的準(zhǔn)同步采樣技術(shù)，通過構(gòu)造同步采樣序列，實(shí)現(xiàn)非同步采樣信號的準(zhǔn)同步化。為了避免信號中諧波、間諧波之間的互擾問題，對頻移后的準(zhǔn)同步序列使用梳狀FIR陷波型濾波器近一步分離。隨后采用Prony譜分析法，使用指數(shù)函數(shù)的線性組合來擬合采樣數(shù)據(jù)，并提取信號的頻率、幅值、相位等特征量。在不同強(qiáng)度的噪聲干擾環(huán)境下對比驗(yàn)證了加窗插值FFT算法（WI-FFT）、準(zhǔn)同步-梳狀濾波器分離-加窗插值FFT算法（QS-WI-FFT）、準(zhǔn)同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QSProny）的準(zhǔn)確度。

本文通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證表明QS-Prony法可以有效解決非同步問題，有效避免了諧波、間諧波之間的互擾，并且相比FFT算法具有較高的頻率分辨率。

1　基于頻移的準(zhǔn)同步方法

假設(shè)諧波信號模型為：

式中：f0是基波頻率，A0是幅值，是初相位。

進(jìn)一步應(yīng)用DFT求取x（n）頻譜時，相當(dāng)于在頻域范圍內(nèi)對等間隔抽樣N點(diǎn)，則峰值對應(yīng)的頻率fm為：

圖1　意義的具體描述

式中，k0為采樣信號實(shí)際的頻率分布譜線，fs為采樣頻率。fm在實(shí)際情況中總是會偏移真實(shí)譜線的頻點(diǎn)，也就是說k0通常不是整數(shù)值。所以假設(shè)，其中k1是整數(shù)，是頻移量，δ的具體描述如圖1所示。

頻移條件判定：首先取k1為被測信號的離散頻點(diǎn)對應(yīng)的一條峰值譜線，假如該峰值譜線鄰近的兩條峰值譜線k1+1、k1-1的幅值滿足：

那么就表明第k1+1條譜線峰值和第k1-1條譜線峰值相差很小，進(jìn)一步說明被測信號的峰值譜線和同步采樣時的峰值譜線之間的頻域間隔相差很小，不需要頻移；相反假如兩條峰值譜線k1+1、k1-1的幅值滿足：

那么就表明第k1+1條譜線峰值和第k1-1條譜線峰值相差較大，進(jìn)一步表明被測信號的峰值譜線和同步采樣時的峰值譜線之間的頻域間隔相差較大，需要校正被測信號，通過頻移，消除非同步采樣造成的誤差，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)同步采樣。

頻譜搬移的頻移量為：

圖2　加窗頻移算法流程圖

2　梳狀FIR濾波器的設(shè)計

諧波與間諧波之間的相互干擾會進(jìn)一步降低檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用諧波、間諧波分離并分別檢測可以有效抑制互擾問題。本設(shè)計采用梳狀FIR濾波器將采樣信號中的諧波信號與間諧波信號進(jìn)行分離。

由陷波濾波器的歸一化（Normalization）響應(yīng)可知，采樣頻率必須為陷波帶間帶寬的整數(shù)倍，若不滿足此要求，經(jīng)濾波后的信號會出現(xiàn)頻譜泄露現(xiàn)象，影響檢測精度。因此，梳狀濾波器必須在同步采樣前提下使用。

對生成的多項式F（ω）進(jìn)行歸一化（Normalization）處理，可得到梳狀FIR濾波器的零相位傳遞函數(shù)Q（ω）：

則歸一化常量C為：

在濾波器設(shè)計過程中，實(shí)數(shù)階數(shù)n應(yīng)取距離n值較近的偶數(shù)整數(shù)值，且此偶數(shù)整數(shù)值須大于等于n。變大的n值不會引起預(yù)設(shè)的陷波帶數(shù)目和陷波帶寬度改變，但是會影響通頻帶的增益。當(dāng)對n進(jìn)行近似處理后，通頻帶增益α［dβ］將會略微變小。濾波器的沖激響應(yīng)h（m）中包含2nr+1個系數(shù)，其中有n+1個為非零量。

由以下公式評價濾波器的實(shí)際帶通衰減：

設(shè)計一個具有10個陷波帶數(shù)的等紋波梳狀濾波器，陷波帶寬度為，最大的通帶衰減為。綜合考慮諧波、間諧波的分離效果和階數(shù)對濾波器的影響，設(shè)計濾波器：，其中表示采樣點(diǎn)個數(shù)。設(shè)采樣序列經(jīng)過準(zhǔn)同步化后，采樣頻率變?yōu)?0kHz，計算出的基波頻率為50.2Hz，則r =214。濾波器的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3　梳狀FIR濾波器沖激響應(yīng)和幅頻響應(yīng)

3　Prony譜分析算法

Prony譜分析法用一組指數(shù)函數(shù)的線性組合來擬合等間距采樣數(shù)值，其將自回歸思想或者自回歸滑動思想以及最小二乘法結(jié)合起來，來檢測被測信號的幅值、頻率以及相位。

構(gòu)造表示擬合誤差值的目標(biāo)函數(shù)為：

假設(shè)誤差平方和ε為最小，那么可以通過解非線性方程組，求取得到參數(shù)的值。但是這種方法計算過程非常復(fù)雜。Prony算法最為核心的思想就是可以把被測信號采樣序列通過式（9）擬合成求解一常數(shù)線性差分方程的齊次解。

式中，階數(shù)P是通過自回歸模型的奇異值分解來選擇的。通過求解式（11）得到zi（i=1,2,…，p），進(jìn)一步推出：

根據(jù)式（12）可得矩陣方程Vb=x：

其中：

式（13）的最小二乘解為：

由bi（i=1,2,…，p）可得：

4　仿真結(jié)果

我們分別對目前廣泛采用的加窗插值FFT算法，基于準(zhǔn)同步采樣的梳狀濾波加窗查值FFT算法，以及基于準(zhǔn)同步采樣的梳狀濾波Prony譜分析法進(jìn)行對比仿真分析。

（1）加窗插值FFT算法（WI-FFT）［5-7］，使用Hanning窗抑制頻譜泄漏，使用譜線插值算法減小柵欄效應(yīng)，由FFT諧波測量公式計算各次諧波的參數(shù)。其程序算法框圖如圖4所示。

圖4　加窗插值FFT算法（WI-FFT）程序框圖

（2）基于準(zhǔn)同步采樣-梳狀濾波器-加窗差值FFT算法（QS-WIFFT）［8］，使用頻移算法計算頻率偏移因子，形成準(zhǔn)同步采樣序列。用時域平均法將諧波信號與間諧波信號進(jìn)行分離，并使用加窗查值FFT算法對諧波、間諧波信號分別檢測。其程序算法框圖如圖5所示。

圖5　基于準(zhǔn)同步采樣-梳狀濾波器-加窗差值FFT算法（QS-WI-FFT）程序框圖

（3）基于準(zhǔn)同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QS-Prony），在上述算法（2）中分離的諧波、間諧波準(zhǔn)同步序列的基礎(chǔ)上，采用Prony譜分析法擬合得到各次諧波的各項參數(shù)。其程序算法框圖如圖6所示。

設(shè)定電網(wǎng)諧波、間諧波信號模型為：（17）

表1　諧波、間諧波參數(shù)設(shè)定值

被測信號的頻率、幅值、相位參數(shù)設(shè)定值如表1所示，所設(shè)定的諧波，間諧波的頻率值，其整數(shù)倍數(shù)不等于采樣頻率，故本次采樣為非同步采樣［11］。

表2　WI-FFT、QS-WI-FFT、QS-Prony頻率仿真結(jié)果

表3　WI-FFT、QS-WI-FFT 、QS-Prony幅值仿真結(jié)果

表4　WI-FFT、QS-WI-FFT 、QS-Prony相位仿真結(jié)果

WI-FFT算法受非同步采樣的影響，無法精確檢測頻率、幅值、相位信息，QS-WI-FFT和QS-Prony均可較為精確地檢測各次諧波、間諧波信號。QS-Prony相較FFT算法可以實(shí)現(xiàn)較高的頻率分辨率，檢測結(jié)果符合IEC檢測標(biāo)準(zhǔn)，且比傳統(tǒng)的FFT改進(jìn)算法具有更高的諧波、間諧波檢測精度。

5　結(jié)論

基于頻移算法的準(zhǔn)同步諧波和間諧波檢測實(shí)現(xiàn)非同步采樣信號的準(zhǔn)同步化，提高諧波和間諧波的分離精度。采用梳狀濾波的分離方法可以有效分離信號中諧波與間諧波信號，實(shí)現(xiàn)兩者的分別檢測。Prony譜分析法用一組指數(shù)函數(shù)的線性組合來擬合等間距采樣數(shù)值，相較FFT算法可以實(shí)現(xiàn)較高的頻率分辨率，實(shí)現(xiàn)了更高的檢測精度。

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作者簡介：

張浩（1979—），山東棗莊人，畢業(yè)于哈爾濱理工大學(xué)，中國礦業(yè)大學(xué)在職研究生，現(xiàn)從事煤礦供電技術(shù)的研究工作。

Harmonic and interharmonic detection algorithm based quasi-synchronous Prony technique

Abstract：For the spectral leakage problem of traditional Fourier transform under non-synchronous sampling，and for the interference problems between the harmonic and inter-harmonic，this paper innovatively puts forward a method called quasi-synchronous-comb filter-Prony spectrum algorithm（QSProny）.In this algorithm，the frequency shift method is used to realize the quasi-synchronization of asynchronous sampling signals.In order to avoid the mutual interference between harmonics and inter-harmonics，this quasi-synchronization sequence is further separated by the FIR notch filter.Then，the linear combination of exponential function is utilized by the Prony spectral analysis method to fit the sample data，and the frequency，amplitude and phase of the signal were extracted by using this process.Through the comparison of windowed interpolation FFT algorithm（WI-FFT），quasisynchronous-comb filter separates-windowed interpolation FFT algorithm（QS-WI-FFT）and quasi-synchronous-comb filter separates-Prony spectrum analysis method under different noise environment，it shows that the QS-Prony method can effectively solve the problem of non-synchronization，avoiding the mutual interference problems between harmonic and inter-harmonic effectively.In addition to this，this algorithm has higher frequency resolution compared with the FFT algorithm.

Key words：Harmonic；Inter-Harmonic；Prony algorithm；Comb filter；Matlab