石澤定

（坪壩鎮(zhèn)九年制學(xué)校 湖南古丈 416301）

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透

石澤定

（坪壩鎮(zhèn)九年制學(xué)校 湖南古丈 416301）

數(shù)形結(jié)合思想是初中課本中的基本數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著十分重要的角色。本文結(jié)合了本人的一些教學(xué)體會，分析了如何充分利用數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的運(yùn)用以及去解常見數(shù)學(xué)題目，使學(xué)生充分認(rèn)識“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化繁為簡，化難為易，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識中，充分了解和掌握數(shù)形結(jié)合這種解決問題的策略和方法。

數(shù)形結(jié)合 思想 解題

引言

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛。初中數(shù)學(xué)最初是從有理數(shù)、相反數(shù)和絕對值開始的，尤其是數(shù)軸的引入是數(shù)形結(jié)合思想的一個重要展現(xiàn)。因?yàn)閷θ魏我粋€有理數(shù)來講，數(shù)軸上都有唯一一個點(diǎn)與它對應(yīng)，然后通過這種對應(yīng)來規(guī)范它們的關(guān)系。這樣通過滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，能夠幫助學(xué)生正確理解有理數(shù)的意義及其運(yùn)算。數(shù)形結(jié)合的思想給學(xué)生拓寬了解題思路，讓數(shù)學(xué)變得不再枯燥。在日常的教學(xué)工作中，我主要是從以下幾個方面解決常見問題的：[1]

一、運(yùn)用圖形的直觀解決數(shù)量關(guān)系

在數(shù)學(xué)這一學(xué)科中數(shù)和形是一種對應(yīng)關(guān)系，對于初中的孩子來說數(shù)字永遠(yuǎn)是枯燥乏味的概念，人人都難以把握，而形就不同了，它具有直觀形象的特點(diǎn)，對解決問題起決定性作用，因此我們找到數(shù)形的對應(yīng)關(guān)系利用圖形來解決問題可以讓復(fù)雜的問題簡單化。

例1：分解因式：a2?b2這個分解因式的題目非常簡單，是同學(xué)們非常熟悉的公式——平方差公式：a2?b2=(a+b) (a?b)，有時也就是直接用這個公式來套用進(jìn)行分解因式的。但是有不少學(xué)生卻不能理解a2?b2=(a+b) (a?b)這個公式？有些同學(xué)雖說理解，但也是從整式乘法公式(a+b) (a ?b)=a2?b2的逆用來理解的，相當(dāng)于死記硬背來掌握的。理解平方差公式a2?b2=(a+b) (a?b)，我們可以從幾何圖形出發(fā)來理解。

如左圖，在邊長為a的正方形紙板中剪去一個邊長為b的小正方形后，剩余圖形的面積是（a2?b2），把左圖的剪下小正方形后的剩余圖形拼在一起，得到右圖，是一個長方形，其長為（a+b），寬為（a-b），面積為（a+b）（a-b），所以可以得到a2?b2=(a+b) (a?b)。

其實(shí)除了理解平方差公式的意義可以用幾何圖形面積來幫助分析外，還有完全平方公式等其它的整式乘法公式或分解因式公式，可以用幾何圖形面積來幫助理解其意義。

A、3 B、2 C、1 D、0

分析：直接化分式方程為整式方程，確定方程根的個數(shù)，是十分困難的事，結(jié)合問題特征，要將“數(shù)”轉(zhuǎn)達(dá)化成“形”去研究。

解：把方程化為拋物線

y1=?x2+5x+2與雙曲線分別畫出草圖，在x>0的范圍內(nèi)，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)。

通過這種“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，使本來很難解的題目，變得解起來得心應(yīng)手了。解此類題目，主要是我們是否能夠把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，把握得很好。也就是說，這些代數(shù)問題怎樣轉(zhuǎn)化到幾何性質(zhì)問題上來，才是解題的關(guān)鍵。

二、利用數(shù)量關(guān)系揭示幾何圖形的性質(zhì)

雖然形形象、直觀，但還必須借助代數(shù)的計(jì)算進(jìn)行定量研究，尤其是較復(fù)雜的“形”，把圖形數(shù)字化做正確是一件有難度的事情，這就要求用心觀察圖形，掌握它的特點(diǎn)，將隱含條件找出來，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算。

例3、等腰三角形的面積為2，腰長為5，底角為，求tanα。

分析：本題是斜三角形問題，因此要作高化斜三角形為解直角三角形。但是本題又沒有給出三角形的形狀，所以在畫高時就要考慮高在三角形內(nèi)、三角形上和三角形外三種情況，這是一種解題方法，但非常麻煩，我們可以考慮用數(shù)形結(jié)合的思想來解決本題，用數(shù)學(xué)中的方程或方程組來解。

本題應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想，“形題數(shù)解”往往可以使求解思路新穎，而且?guī)缀沃械亩嘟鈫栴}可以轉(zhuǎn)化為方程或方程組的多解問題。

例4、用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下的規(guī)律，拼成若干個圖案：

（1）第四個圖案中有白色地磚＿＿＿＿＿＿＿塊；

（2）第n個圖案中有白色地磚＿＿＿＿＿＿＿塊。

分析：本題是借助于圖形中的數(shù)量關(guān)系來解決問題，第一個圖案中有白色地磚6塊，第二個圖案中有白色地磚10塊，第三個圖案中有白色地磚14塊，根據(jù)前面的分析，很快就能判斷出第四個圖案中有白色地磚18塊，并且每個圖案比前一個圖案增加4個白色地磚，所以第n個圖案中有白色地磚4n+2塊。

北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊第三章“字母表示數(shù)”，本章的不少小節(jié)的內(nèi)容是探索幾何圖形（或幾何圖案）的數(shù)量關(guān)系，教學(xué)中，老師指導(dǎo)學(xué)生會用代數(shù)式表示幾何圖形（或幾何圖案）的數(shù)量關(guān)系，老師若注重了數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，會使學(xué)生很快領(lǐng)悟幾何圖形（或幾何圖案）的規(guī)律，從而找出其中的數(shù)量關(guān)系。

三、將數(shù)量關(guān)系和圖形的性質(zhì)，在解題中串連結(jié)合使用

“數(shù)”與“形”既是數(shù)學(xué)教學(xué)中兩個對立面，最終還得為解決問題達(dá)成一個統(tǒng)一。觀察圖形的形狀，從感觀上認(rèn)識問題，深入分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，將抽象的數(shù)字變化為直觀的形象，進(jìn)而揭示其中隱含的數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合的基本思想方法，就是在探究問題的過程中，注意把數(shù)和形作這一個統(tǒng)一體結(jié)合起來考察，在大腦中形成一個具體的意向，把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題變簡單，抽象問題更形象，將難度系數(shù)降低，運(yùn)用簡單易行的方法獲得解決問題的途徑。

不久前在給學(xué)生中考復(fù)習(xí)過程中，遇到了這樣的一個題目：

我們可以這樣理解，用剪刀去剪這個正方形紙片，第一次剪去正方形紙片的一半，正方形剩余面積是，第二次剪去剩余圖形的一半，得到的圖形面積是第三次剪去第二次剪剩的圖形的一半，得到的圖形面積是即每次剪去前一次剩余圖形面積的一半，……那么當(dāng)?shù)趎次剪后得到的圖形面積是，把每次剪下來的圖形面積相加，即得到

總而言之，“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微” 。見到數(shù)量就要考慮它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)考慮它的代數(shù)關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題。因此數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用。

[1]沈文選； 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法；湖南師范大學(xué)出版社；1999.5

[2]2008安徽省中考經(jīng)典頭名卷數(shù)學(xué)；安徽教育出版社； 2008.2