顏李朝，張映輝（. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，長沙 4008； . 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南 岳陽 44006）

二階非線性中立型時滯微分方程周期解的存在性

顏李朝1，張映輝2
（1. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，長沙 410081； 2. 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南 岳陽 414006）

利用抽象連續(xù)定理，研究了一類二階非線性中立型時滯微分方程周期解的存在性，給出了該方程存在周期解的充分性定理.

中立型時滯微分方程； 周期解； Fredholm算子

引言

含時滯的非線性微分系統(tǒng)周期解在控制論﹑金融學(xué)﹑生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對其研究具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義，引起了人們的廣泛關(guān)注. 文[1～3[討論了一階非線性中立型時滯微分系統(tǒng)周期解的存在性，文[4～6[討論了二階非線性中立型時滯微分系統(tǒng)周期解的存在性. 其中，文[1，2[研究了一階非線性時滯微分系統(tǒng)

周期解的存在性，此方程的特點(diǎn)是非線性項(xiàng)中含有一階導(dǎo)數(shù). 受此啟發(fā)，本文考慮二階中立型方程

周期解的存在性. 其中k，τ，τ1，τ2為常量，τ≥0，τ1≥0，τ2≥0，|k|＜1，f∈C（?2，?），p∈C（?，?），p（t+T）=p（t ）并∫0Tp（t）dt=0. 與文[4～6[中研究的二階非線性中立型系統(tǒng)不同，系統(tǒng)（2）中非線性項(xiàng)f含有一階導(dǎo)函數(shù). 這類系統(tǒng)在實(shí)際生活中有著更加廣泛的應(yīng)用.

1 記號與引理

為行文方便，引入一些記號：

考慮如下對應(yīng)方程

由于|k|＜1，可得H=I+kS（τ）為X的一個同胚，從而逆算子設(shè)y=Hx，由（3）和（4），有

故關(guān)于系統(tǒng)（3）的Mawhin連續(xù)定理可做如下表述：

（b） ?x ∈?Ω∩KerL，有QNx≠0且deg（QNx，Ω∩KerL，0）≠0. 那么，系統(tǒng)L（I+kS（τ））=Nx 在domL∩上至少存在一個解.

證明 因?yàn)長為指數(shù)是零的Fredholm算子，且H=I+kS（τ）為X的一個同胚，所以由已知N在Ω上L-緊得NH-1在H）上L-緊. 由條件（a），（b）可得

（B） ?y∈?（H（Ω））∩KerL，有QNH-1y≠0且deg（QNH-1y，H（Ω）∩KerL ，0）≠0.

從而根據(jù)Mawhin連續(xù)定理，可得系統(tǒng)Ly=NH-1y在domL∩H）上至少存在一個解. 又由domL=X，可知系統(tǒng)LHx=Nx在domL∩上至少存在一個解.

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)滿足如下條件：

為證明此定理，需先引入一條引理. 設(shè)

引理2 假設(shè)定理1中條件均滿足，那么對于系統(tǒng)（7）的任一周期解x（t），存在與λ無關(guān)的正數(shù)Dj（j=0，1，2）使得

由于y（t）的周期為T，從而y（0）=y（T），則由式（15），可得

定理1的證明

根據(jù)PK的定義可得KeryP∈，于是

根據(jù)式（15）與（18），可得

根據(jù)式（19），得

于是，由式（15），（17）與（20），得

從而式（13）成立. 根據(jù)式（12）與（13）知

且根據(jù)式（13），對任給t∈[0，1[有

根據(jù)式（12）與（22），有

由p（t）的一致連續(xù)性，并結(jié)合式（24）可得J2在[0，T[上等度連續(xù). 又根據(jù)微分中值定理及J2在[0，T[上的有界性可得J1在[0，T[上等度連續(xù). 相應(yīng)可推得J0在[0，T[上的等度連續(xù)性. 于是，J0，J1和J2均在[0，T[上有界并且等度連續(xù)，根據(jù)Arzela-Ascoli定理，可得K相對緊，從而KP（I-Q）N相對緊，所以N在L-緊.

根據(jù)引理得，任給λ∈（0，1）和x ∈?Ω∩domL，有L（I+ks（τ））x≤λNx . 故引理1中條件（a）成立. 再證明條件（b）成立. 構(gòu)造算子：

從而

于是得到引理1中條件（b）成立. 根據(jù)引理1得系統(tǒng)L（I+ks（τ））x=Nx 在上至少存在一個解 ，故系統(tǒng)（2）至少存在一個周期解.

定理2 假設(shè)|k|＜1 ，且滿足條件：

（H1） τ1∈｛jT|j∈Z ｝；

（H2） 任給x∈?且x≠0，y∈?，有xf（x，y）＞0；

（H3） 存在a，b＞0，對于?（x，y）∈?×?，有|f（x，y）|≤a|x|+b|y|，

則系統(tǒng)（2）至少存在一個周期解.

由（H2）及式（2）得

結(jié)合式（27），（28）與（30），知引理2條件滿足.

類似定理1的證明，可以推知引理1中條件（a）成立.

現(xiàn)在只要證明條件（b）滿足. 構(gòu)造算子：

故知引理1的條件（b）滿足. 故系統(tǒng)（2）至少存在一個周期解.

為說明上述結(jié)論的有效性并作為應(yīng)用，給出一個例子.

例 考慮二階非線性中立型時滯系統(tǒng)

于是條件（A3）成立. 故時滯系統(tǒng)（31）至少存在一個2π周期解.

[1]任景莉，葛渭高. 一類非線性中立型時滯微分方程周期解的存在性[J[. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2004，27（1）： 89～98

[2]劉 斌，庾建設(shè). 一類非線性中立型時滯微分方程周期解的存在性[J[. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報： A輯，2001，16（3）： 276～282

[3]Lu S.P.，Ge W.G.. On the existence of periodic solutions for neutral functional differential equation[J[. Nonlinear Analysis，2003，54： 1285～1306

[4]Guo C.J.，Guo Z.M.. Existence of multiple periodic solutions for a class of second order delay differential equations[J[. Nonlinear Analysis：RWA，2009，10（5）： 3285～3297

[5]Kuang Y.. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics[M[. Academic Press，New York，1993

[6]Li Y.. Positive periodic solutions of nonlinear second order ordinary differential equations[J[. Acta Mathematica Sinica，2002，45（3）： 481～488

Periodic Solutions of Nonlinear Second Order Neutral Delay Differential Equation

YAN Li-zhao1， ZHANG Ying-hui2（1. College of Mathematics，Hunan Normal University，Changsha 410081，China； 2. College of Mathematics，Hunan Institute of Science and Technology，Yueyang 414006，China）

By using the abstract continuity theorem，we obained sufficient conditions for the existence of a periodic solution for a class of nonlinear second order neutral delay differential equation and gave a sufficiency theorem of a periodic solution.

neutral delay differential equation，periodic solution，F(xiàn)redholm operator

O175.14

A

1672-5298（2016）02-0006-07

2016-02-16

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71501069）； 湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2015JJ3090）

顏李朝（1981- ），男，湖南衡陽人，博士，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系講師. 主要研究方向： 復(fù)雜動力系統(tǒng)及其應(yīng)用