姚紅萍 陳曉靚

在數(shù)學(xué)教學(xué)中有兩條線：一條是明線即數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，一條是暗線即數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的核心與靈魂，它不僅是數(shù)學(xué)的重要組成部分，而且是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉與動(dòng)力，所以在平時(shí)的教學(xué)中，只有注意數(shù)學(xué)思想的滲透，才能開啟學(xué)生的智慧之門，讓學(xué)生真正從數(shù)學(xué)思想的高度去理解自己所學(xué)的知識(shí)，真正掌握方法，才能使教學(xué)收到事半功倍的良好效果，讓學(xué)生脫離題海并終身受益。筆者在2015年10月28日的校對(duì)外公開課上，上了一節(jié)試卷講評(píng)課，教學(xué)內(nèi)容是七年級(jí)上冊(cè)第三章《代數(shù)式》測(cè)試卷，下面就幾個(gè)錯(cuò)誤率比較高的題目進(jìn)行試卷分析。

一、整體的思想

題1.已知數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)下列式子：

師：b-a是正的還是負(fù)的？

生：是正的！

師：那么︳b-a︳把絕對(duì)值化簡(jiǎn)以后結(jié)果是什么？

生：是它本身。

師：好！下面請(qǐng)Y同學(xué)上來(lái)把你的答案寫出來(lái)。

生Y： ︳b-a︳=b+a

下面一片喧嘩……

師：你能說(shuō)說(shuō)你當(dāng)時(shí)這樣做的理由嗎？

生Y：根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，所以正數(shù)b還是b，負(fù)數(shù)a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a，所以︳b-a︳=b+a

先是安靜接著就像炸開了鍋……原來(lái)學(xué)生的錯(cuò)誤也有他錯(cuò)的道理！那一刻我是震驚的，心想幸虧讓他把錯(cuò)誤亮出來(lái)。

師：誰(shuí)能上來(lái)說(shuō)出Y同學(xué)這樣做錯(cuò)誤的理由！

生：b-a是一個(gè)整體，不能分開來(lái)考慮。正數(shù)b減去負(fù)數(shù)a是正數(shù)，所以這個(gè)代數(shù)式的值是正的，所以︳b-a︳=b-a。

師：大家?guī)退\斷一下，出錯(cuò)的主要原因是什么？

生：他沒有把b-a看成一個(gè)整體。

師：很好！b-a是一個(gè)整體，所以在解題中為體現(xiàn)這是一個(gè)整體我們往往可以用括號(hào)把它括起來(lái)，整體思想就是把研究對(duì)象的全部（或某一部分）看成一個(gè)整體，通過研究問題的整體形式，利用局部與整體之間的內(nèi)在聯(lián)系分析問題、解決問題的思想。

Y同學(xué)的錯(cuò)誤讓我反思平時(shí)的課堂教學(xué)，對(duì)學(xué)生平時(shí)的錯(cuò)誤有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，Y同學(xué)的錯(cuò)誤應(yīng)該不是個(gè)別現(xiàn)象，難怪學(xué)生做a+b+c的相反數(shù)時(shí)也經(jīng)常出錯(cuò)，寫成-a+b+c，錯(cuò)誤的原因也是對(duì)整體思想沒有一個(gè)根本的認(rèn)識(shí)，其實(shí)對(duì)一個(gè)初一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，從具體的數(shù)到字母是一個(gè)飛躍，再到一個(gè)代數(shù)式更是抽象，所以在這一階段教師要把握契機(jī)，對(duì)整體思想要及時(shí)滲透，提高解題正確率，并為以后的換元埋下伏筆。

題2.某同學(xué)做一道數(shù)學(xué)題：兩個(gè)代數(shù)式A，B，其中B為4x2-5x+6，試求A+B的值。這位同學(xué)把“A+B”看成了“A-B”，結(jié)果求出答案是7x2+10x-12，那么A+B的正確答案是多少？

生1：因?yàn)锳-B=7x2+10x-12，所以A=11x2+5x-6，所以A+B=15x2。

師：很好！這個(gè)方法是解決這類問題的常規(guī)方法，還有其他解法嗎？

生2：老師我可以不求A，把A-B作為一個(gè)整體，

那么A+B=（A-B）+2B=7x2+10x-12+2（4x2-5x+6）=15x2

師：真是棒極了，她在解題中巧用整體思想的方法，找到解決問題的突破口，這種解題方法起到了事半功倍的效果。

二、分類的思想

師：真是太棒了！看來(lái)同學(xué)們的分類思想掌握得相當(dāng)好啊，用分類討論的思想解決問題，可使復(fù)雜的問題得到清晰完整嚴(yán)密的解決，希望同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的解題中要注意這一思想的運(yùn)用。

師：下面誰(shuí)來(lái)將試題變式一下？

師：好啊，就地取材，很有價(jià)值！誰(shuí)來(lái)說(shuō)答案。

師：好極了。這就是一組數(shù)正負(fù)相隔兩種情況下的表示方法，希望大家能好好體會(huì)，并能熟練運(yùn)用！

三、數(shù)形結(jié)合的思想

題4.把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片（如圖1）不重疊地放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形（長(zhǎng)為m厘米，寬為n厘米）的盒子底部（如圖2），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖2中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是（ ）。

A.4m厘米 B.4n厘米

C.2（m+n）厘米 D.4（m-n）厘米

師：這一題的錯(cuò)誤率相當(dāng)高。請(qǐng)做對(duì)的同學(xué)站起來(lái)講解一下。

生：設(shè)小長(zhǎng)方形卡片的長(zhǎng)為a，寬為b。

∴L上面的陰影=2（n-a+m-a）

L下面的陰影=2（m-2b+n-2b），

∴L總的陰影=L上面的陰影+L下面的陰影

=2（n-a+m-a）+2（m-2b+n-2b）

∵a+2b=m，∴4m+4n-4（a+2b）=4n，∴選B

師：相當(dāng)精彩！用字母a，b表示小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，接著用含有a，b的代數(shù)式把上下陰影部分的周長(zhǎng)表示出來(lái)，最后利用等量關(guān)系a+2b=m，求出周長(zhǎng)。她用代數(shù)的方法很輕松地解決了一個(gè)貌似無(wú)從下手的幾何問題。

題5.尋找公式，求代數(shù)式的值：從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如下：

問：當(dāng)n個(gè)最小的連續(xù)偶數(shù)相加時(shí)，它們的和S與n之間有什么樣的關(guān)系（用公式表示出來(lái)）？

師：先請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)，從上面這些式子能得到哪些信息？

生1：從上面的式子很顯然可以得到：當(dāng)有n個(gè)加數(shù)時(shí)和為n（n+1）。

生2：2+4+6+8+10……+2n，第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)的和是2+2n，第二項(xiàng)和最后第二項(xiàng)的和也是2+2n，一共有 個(gè)（2+2n），所以S=n（n+1）。

師：這兩位同學(xué)從不同的視角得出了同一個(gè)結(jié)論，那么下面請(qǐng)大家考慮一下，我們是否可以構(gòu)造一個(gè)幾何圖形來(lái)得到這個(gè)結(jié)論呢？（學(xué)生一片茫然）

師：請(qǐng)大家把課本翻到66頁(yè)，看實(shí)驗(yàn)室的一組圖形，在這組幾何圖形中我們得到1+3+5+7+（2n-1）=n，我們是否也可以構(gòu)造一個(gè)幾何圖形求2+4+6+8+10……+2n的和呢？小組討論！很快就有了結(jié)果。

生：只要設(shè)計(jì)一個(gè)n×（n+1）的網(wǎng)格，如圖3所示。很顯然，求2+4的和剛好是2×3網(wǎng)格，求2+4+6的和時(shí)剛好是3×4網(wǎng)格，依次類推求2+4+6+8+10……+2n的和則是n×（n+1）網(wǎng)格。

師：太漂亮了！課后請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)幾何圖形求：

（1）求1+2+3+4+5……+n的和；

（2）求 + + + +……+ 的和。

從上面兩個(gè)例子可以看出，幾何問題我們用代數(shù)的方法輕松地解決了，而一個(gè)代數(shù)問題我們用一個(gè)幾何圖形直觀形象地得到了結(jié)論，所以我們?cè)诮忸}時(shí)要由數(shù)聯(lián)想到形，又由形聯(lián)想到數(shù)，要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題、解決問題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。