時英雄

在高中階段的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到一些求和問題，這些求和問題，根據(jù)式子的特征都有很多解決的辦法，裂項相消法就是其中一種，其實質(zhì)是將求和式子中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的.它是分解與組合思想在求和中的具體應(yīng)用.是最常見，最好用，也是最難掌握的方法.筆者就在高招、自主招生、及競賽中遇到的問題來談?wù)劻秧椣嘞ǖ男纬伤悸贰⒔忸}技法、出題規(guī)律，以饗讀者.1等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式的裂項法推導(dǎo)

例1已知數(shù)列{an}是公差為d（d≠0），首項為a1的等差數(shù)列，求其前n項和Sn.

解析an=12d（anan+1-an-1an），令a0=a1-d，則

Sn=12d[（anan+1-an-1an）+（an-1an-an-2an-1）+…+（a1a2-a0a1）]

=12d（anan+1-a0a1）=12d[（a1+（n-1）d）（a1+nd）-（a1-d）a1]=na1+n（n-1）2d.

例2已知數(shù)列{an}是公比為q（q≠1），首項為a1的等比數(shù)列，求其前n項和Sn.

解析qn=1q-1（qn+1-qn），則

Sn=a1+a2+…+an=a1（1+q+q2+…+qn-1）=a1+a1（q+q2+…+qn-1）

=a1+a1q-1（q2-q+q3-q2+…+qn-qn-1）=a1+a1q-1（qn-q）=a1（qn-1）q-1.

評注等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式在教學(xué)的過程中一般來說分別是用倒序相加法、錯位相減法進(jìn)行處理，這里給出兩個公式的裂項求和方法，旨在讓學(xué)生體會就是對通項的分解組合的思維的把握，只要是能將通項或求和的式子寫成連續(xù)的項或有間隔的項的差就可以了，我們還可以將其推廣到“差比型”數(shù)列的求和，如：

例3（2013年高考山東卷理科第20題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求數(shù)列{an}的通項公式.

（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且Tn+an+12n=λ（λ為常數(shù)）.令cn=b2n（n∈N*），

求數(shù)列{cn}的前n項和Rn.

解析（1）略，an=2n-1，n∈N*.

（2）由題意知：Tn=λ-n2n-1，所以，當(dāng)n≥2時，bn=Tn-Tn-1=n-22n-1，

故cn=b2n=2n-222n-1=（n-1）（14）n-1，n∈N*，所以，令f（n）=（rn+s）（14）n，cn=f（n）-f（n-1）因為c1=0，c2=14故r=-43，s=-49，

Rn=c1+c2+…+cn=f（n）-f（0）=（-43n-49）（14）n-（-49）=19（4-3n+14n-1）.

本題的解法基于對于“差比型”數(shù)列通項與前n項和形式上的認(rèn)識：即都是一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，且指數(shù)部分與原來一樣，可令f（n）-f（n-1）=（an+b）qn（n∈N*），

f（n）=（rn+s）qn（r，s為待定系數(shù)）可以通過特殊值求出r，s，進(jìn)而采用裂項的方法求解.2 三角函數(shù)中的裂項求和

例4已知an=tan（3n-1）tan（3n+2），求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解析tan[（3n+2）-（3n-1）]=tan（3n+2）-tan（3n-1）1+tan（3n+2）tan（3n-1）=tan3，

所以an=1tan3[tan（3n+2）-tan（3n-1）]-1，

所以Sn=a1+a2+…+an=1tan3[tan（3n+2）-tan2]-n.

例5證明：對任一自然數(shù)n及任意實數(shù)x≠mπ2k（k=0，1，2，…，n，m∈Z），有

1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

解析1sin2x=2cos2x-cos2xsin2x=2cos2x2sinxcosx-cos2xsin2x=1tanx-1tan2x，

同理：1sin4x=1tan2x-1tan4x，…，1sin2nx=1tan2n-1x-1tan2nx，

累加得：1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

評注對于三角變換中的裂項求和問題，主要是找到正弦、余弦、正切之間的聯(lián)系，及和角，差角，倍角，半角，切割化弦等公式中的差值關(guān)系，適當(dāng)變形達(dá)到裂項的效果，一些常見的結(jié)論也需記憶如：

已知數(shù)列{an}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，則

（1）bn=kcosancosan+1=ksind（tanan+1-tanan）；

（2）bn=ksinansinan+1=ksind（1tanan-1tanan+1）.3 無理式、階乘中的裂項求和

例6（2006年上海交大）已知ak=k+2k！+（k+1）！+（k+2）！，則數(shù)列{an}的前100項和為.解析ak=1（k+1）！-1（k+2）！，S100=a1+a2+…+a100=102！-2！2×102！.

例7（2007年上海交大）1·1！+2·2！+3·3！+…+n·n！=.

解析n·n！=（n+1）！-n！，

原式=2！-1！+3！-2！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

例8（2008年上海交大）數(shù)列{an}的通項公式為an=1nn+1+（n+1）n，則這個數(shù)列的前99項和為.解析an=1n-1n+1，

S99=a1+a2+…+a99=11-12+12-13+…+199-1100=1-110=910.

評注對于此類的問題主要是要對無理式進(jìn)行分母或分子有理化，構(gòu)造差值形式，對階乘及組合數(shù)，排列數(shù)中的差值關(guān)系也需要了解并能給予證明，又如：

例9（2003年復(fù)旦）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中an=1（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1），求S2003.

解析2an=2（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1）=n+1-n-1（n-1+n）（n+n+1），

所以an=12（1n-1+n-1n+n+1），Sn=12（1-1n+1+n）=12（1-n+1+n），

所以S2003=12（1-2004+2003）.

技巧掌握關(guān)于裂項的問題，技巧性很強，學(xué)生要有很好的知識儲備，掌握一些變換技巧，比如常見的裂項形式如：

（1）an=An2+Bn+Cqn+1型裂項，如：an=n2+n-22n+1=（n+1）（n+2）2n-（n+2）（n+3）2n+1

（2）an=1an2+bn+c型裂項，其中a≠0，Δ=b2-4ac=k2a2（k∈N*）如：

an=14n2+8n+3=14·1（n+1）2-14=14·（1n+1-12-1n+1+12）=14·（1n+12-1n+32）

.（3）an+1=1ka2n+an型裂項，如：an+1=a2n+an=an（an+1），則1an+1=1an-1an+1，

所以有1an+1=1an-1an+1.

追根溯源裂項求和問題對學(xué)生來說最重要的是要能從面目全非的式子中提煉命題人使用的母題，例如：已知an=（n+1）3-n3，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.此問題比較簡單，但是如果命題人將an化簡后得到an=3n2+3n+1后讓大家求和，難度明顯加大了，很多類似的難題都是這樣改編過來，比如我們想構(gòu)造出兩組裂項求和的題目，我們可以構(gòu)建出這樣的數(shù)列通項：

an=4（1n+2-1n+4）+8（1n+3-1n+4）這個數(shù)列求和分組后裂項就可以了，但是我們在生成題目的時候可以將其化簡后的形式給出，即變?yōu)閍n=8（2n+5）（n+2）（n+3）（n+4），難度明顯提升，又如我們設(shè)想an=（2n+1）3-（2n-1）32然后將其化簡整理變形得：an=（2n+1-2n-1）[（2n+1）2+2n+12n-1+（2n-1）2]2=4n+4n2-12n+1+2n-1，此時，如果不能揣摩出命題人的意圖，或是找到原先未變形的形式，很難解決問題，當(dāng)然，如果想要降低難度，可以在題目的設(shè)置中用特殊形式給出，給學(xué)生一定的提示，考查其類比，總結(jié)歸納能力.

結(jié)束語裂項求和問題的解決主要取決于學(xué)生的知識儲備及靈活應(yīng)用能力，善于總結(jié)歸納，才能跳出題海.總結(jié)歸納的題型越全面，解題時的思路就會越清晰，當(dāng)然，如果能達(dá)到“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的境界能揣摩出命題人的命題原型，遇到此類問題解起來就會更得心應(yīng)手.