張　剛， 胡　韜， 張?zhí)祢U

(1.重慶郵電大學,重慶　400065；2.信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶　400065)

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基于頻率控制的自適應隨機共振系統(tǒng)研究

張剛1,2， 胡韜1， 張?zhí)祢U1,2

(1.重慶郵電大學,重慶400065；2.信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶400065)

摘要：研究雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)隨機共振產(chǎn)生機理，針對不滿足絕熱近似條件的大參數(shù)信號，提出基于頻率控制自適應隨機共振微弱信號檢測系統(tǒng)，實現(xiàn)對未知大頻率微弱信號檢測。仿真結果表明，該系統(tǒng)能實現(xiàn)大頻率信號隨機共振，較傳統(tǒng)隨機共振系統(tǒng)精度及系統(tǒng)輸出信噪比均極大提高，并能擴展其在微弱信號檢測領域的應用。

關鍵詞：Duffing系統(tǒng)；頻率控制；隨機共振；自適應

Benzi等[1-2]研究雙穩(wěn)態(tài)模型時首次提出隨機共振概念，并利用Budyko-Sellers模型的隨機共振解釋地球冰川期、暖周期交替現(xiàn)象。該理論獲得廣泛關注及研究，并提出諸多經(jīng)典隨機共振模型，如閾值系統(tǒng)模型、混沌系統(tǒng)模型、神經(jīng)系統(tǒng)模型及廣義系統(tǒng)模型[3]等。

Duffing振子為微弱信號檢測領域中常見的混沌系統(tǒng)模型，為能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)，用其敏感性及免疫性能檢測強噪聲背景的微弱信號效果良好[4-5]，其難點在于原驅動信號的頻率設置。對大頻率信號，可通過頻率尺度變換匹配原驅動信號頻率，使待測信號頻率與驅動信號頻率相同，實現(xiàn)微弱信號檢測[6]。本文利用Duffing振子隨機共振特性[7]，去除外加策動力信號，將待測微弱周期信號直接作為雙穩(wěn)系統(tǒng)驅動信號實現(xiàn)隨機共振；并提出基于頻率控制的定步長搜索隨機共振系統(tǒng)實現(xiàn)對微弱周期信號檢測。

1雙穩(wěn)Duffing隨機共振系統(tǒng)特性分析

取一階非線性系統(tǒng)Langevin方程[8]為

(1)

式中：U(x)為系統(tǒng)勢函數(shù)；s(t)為外加信號；n(t)為外加噪聲。

據(jù)非線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解個數(shù)(曲線U(x)頂點個數(shù))可將穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)分為單穩(wěn)系統(tǒng)、雙穩(wěn)系統(tǒng)及多穩(wěn)系統(tǒng)。單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中，系統(tǒng)只能在平衡點附近的有效區(qū)域內(nèi)運動，即使初始狀態(tài)遠離平衡點，經(jīng)一定時間振蕩后系統(tǒng)將趨于平衡點；而對存在兩個穩(wěn)定點的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，會在外力作用下越過勢壘點在兩穩(wěn)定點間躍遷。

基于式(1)，構建由周期信號s(t)及噪聲信號n(t)共同驅動的二階Duffing方程為

(2)

式中：k為阻尼比；a>0，b>0為勢阱參數(shù)。

為方便分析，令s(t)=Acos(ω0t+φ0)，n(t)作為輸入信號及噪聲，其中信號振幅為A，頻率ω0為常數(shù)，相位φ0=0，n(t)為均值為0、噪聲強度為D的高斯白噪聲，滿足

〈n(t)〉=0,〈n(t)n(0)〉=2Dδ(t)

(3)

白噪聲可表示為

n(t)=σξ(t),σ2=2D

(4)

式中：σ2為噪聲方差；ξ(t)為均值0、方差1的高斯白噪聲。

圖1　雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)勢函數(shù)Fig.1 Bistable Duffing system potential function

(a) 僅加入周期信號且A

時系統(tǒng)輸出越過勢壘在兩勢阱間大范圍躍遷運動。此因引入周期策動信號打破系統(tǒng)平衡，使勢阱發(fā)生周期性傾斜。而系統(tǒng)中同時加入周期正弦信號及噪聲時(圖2(c))，即使A

2基于絕熱近似理論的隨機共振

絕熱近似理論[9]能較好解釋存在于雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機共振現(xiàn)象，即輸入信號幅值A、頻率ω0及噪聲強度D均較小、且三者達到協(xié)同效應時，單個勢阱內(nèi)局部平衡可被認為瞬時完成，產(chǎn)生隨機共振系統(tǒng)會在兩穩(wěn)態(tài)間進行一定概率交換。因此，基于絕熱近似理論的隨機共振只適用小參數(shù)條件(信號幅值A?1，信號頻率ω0?1，噪聲強度D?1)[10]。

基于此，可得雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)輸出功率譜[11]為

(5)

由式(5)看出，輸入信號及噪聲經(jīng)非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)后，輸出信號功率譜Sf0(D,ω)及噪聲功率譜Sη(D,ω)均向低頻集中，由此亦證明基于絕熱近似理論的隨機共振只適用低頻信號。而現(xiàn)實中需檢測的微弱信號大多不滿足小參數(shù)條件，且頻率未知。其中針對大頻率微弱信號、未知頻率信號最常用方法為對輸入信號進行尺度變換(或二次采樣)[12-13]及混沌振子陣列法?？梢姡瑢θ我馕粗l率微弱信號檢測會變困難、復雜。

3基于頻率控制的自適應隨機共振

3.1頻率控制隨機共振檢測原理

針對頻率未知待測微弱信號不能直接輸入雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)進行檢測問題，提出基于頻率控制的自適應隨機共振，滿足對任意未知頻率微弱信號的檢測。

信號輸入隨機共振檢測系統(tǒng)前引入頻率控制信號對待測微弱信號進行頻率調制。先將待測微弱信號與頻率控制信號相乘，通過乘法器輸出兩新的不同頻率高、低頻信號及統(tǒng)計特性改變的噪聲，再將新產(chǎn)生信號及噪聲輸入隨機共振系統(tǒng)。頻率控制原理見圖3。

圖3　頻率控制原理Fig.3 The principle diagram of the frequency control

頻率控制表達式為

[s(t)+n(t)]c(t)=

[Acos(2πf0t)+n(t)]cos(2πfct)=

n(t)cos(2πfct)=s1(t)+s2(t)+n′(t)

(6)

式中：f1=f0-fc；f2=f0+fc。

由此可知，經(jīng)頻率控制處理后產(chǎn)生具有f1、f2兩種新的低、高頻成分信號s1(t)及s2(t)，且f1

(7)

(8)

據(jù)式(7)可得，經(jīng)非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)后新的頻率成分與待測信號頻率輸出功率關系為

Pf1≥Pf0≥Pf2

(9)

同理，輸出噪聲能量亦向低頻集中，為系統(tǒng)躍遷提供更多能量，一旦輸入信號頻率與之匹配便能產(chǎn)生隨機共振。

3.2基于頻率控制自適應算法

由Kramers逃逸率可知，噪聲引起的雙穩(wěn)系統(tǒng)在勢阱之間的躍遷的速率為

(10)

(11)

當雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a=b=1且噪聲強度D較大時，由式(11)可求出理論極限值rkmax≈0.225 Hz；系統(tǒng)在某個勢阱中的平均駐留時間Tk=1/rk等于周期信號半周期T/2(勢函數(shù)周期性變化時間)即rk=2f0時，式(2)中Duffing混沌系統(tǒng)將產(chǎn)生隨機共振。由此可知，絕熱近似條件下雙穩(wěn)系統(tǒng)只能與頻率0

以上分析可知，對未知大頻率微弱信號，通過引入控制頻率fc，總能找到1個新低頻信號f1使之滿足0

據(jù)系統(tǒng)輸出信號功率及噪聲功率可求出系統(tǒng)輸出信噪比表達式為

(12)

將式(11)代入式(12)，得

(13)

通過計算系統(tǒng)輸出信噪比大小衡量系統(tǒng)性能，基本流程見圖4。具體實施步驟為：① 初始化各系統(tǒng)參數(shù)a=b=1，設置控制頻率fc步長及搜索范圍；②用fc對輸入信號進行頻率控制，將調制后信號輸入非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)，用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程求解；③ 計算系統(tǒng)輸出信噪比SNRout并記錄，其最大值對應的控制頻率即為最優(yōu)控制頻率；④ 將最優(yōu)控制頻率代入系統(tǒng)求解，由f0=f1+fc反算獲得待測信號準確頻率。

圖4　自適應算法流程Fig.4 The adaptive algorithm flow chart

4數(shù)值研究與分析

4.1輸入信號不經(jīng)頻率控制

4.1.1輸入信號為小頻率未知信號

由式(2)構建雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，令系統(tǒng)參數(shù)a=b=1，k=0.5，輸入信號參數(shù)A=0.2 V，f0=0.02 Hz(設輸入系統(tǒng)前頻率未知)，采樣頻率fs=5 Hz，噪聲強度D分別取0.14,0.43,0.83，采用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程進行求解，計算點數(shù)N=4 096，步長h=0.2。雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入待測微弱信號為低頻信號時，適當增加噪聲強度即可使系統(tǒng)克服勢壘產(chǎn)生隨機共振，見圖5。圖5(a)、(b)為噪聲強度D=0.14時系統(tǒng)輸出信號及功率譜，可見因噪聲較小，系統(tǒng)未能實現(xiàn)隨機共振；由圖5(c)、(d)看出，加入適當強度噪聲信號時系統(tǒng)、噪聲及待測信號有協(xié)同效應，致系統(tǒng)產(chǎn)生共振，并在f=0.02 Hz處出現(xiàn)譜峰值特征，表明待測信號頻率為f=0.02 Hz。由圖5(e)、(f)看出，加入較大強度噪聲時系統(tǒng)雖能實現(xiàn)共振并在f=0.02 Hz處出現(xiàn)譜峰值特征，但由于噪聲強度過大使系統(tǒng)輸出性能下降。由此可見，雖噪聲能量可轉化為低頻信號能量，但不可過度加大噪聲強度，只有噪聲強度適當才能提高系統(tǒng)的輸出性能。

圖5　小頻率信號在不同噪聲強度下系統(tǒng)輸出信號時域及功率譜圖Fig.5 The system output small frequency signal time domain and power spectrum diagram under different noise intensity

4.1.2輸入信號為大頻率未知信號

由式(2)構建雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，令系統(tǒng)參數(shù)a=b=1，k=0.5，輸入信號參數(shù)A=0.1 V，f0=5 Hz(假設輸入系統(tǒng)前頻率未知)，采樣頻率fs=20 Hz，噪聲強度D分別取0.3,1.2,4.8。采用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程進行求解，計算點數(shù)N=10 000，步長h=0.05。雙穩(wěn)系統(tǒng)中輸入待測微弱信號為大頻率未知信號時，無論加入多大強度噪聲信號，系統(tǒng)均不能實現(xiàn)隨機共振，見圖6。由圖6看出，在3種不同噪聲強度下系統(tǒng)均未實現(xiàn)隨機共振，且在f=5 Hz處未出現(xiàn)譜峰值特征，由此驗證基于絕熱近似理論的隨機共振只適用小參數(shù)條件。

圖6　大頻率信號在不同噪聲強度下系統(tǒng)輸出信號時域圖和功率譜圖Fig.6 The system output big frequency signal time domain and power spectrum diagram under different noise intensity

4.2基于頻率控制的自適應未知大頻率信號檢測

由以上分析知，基于絕熱近似理論的隨機共振僅適用于小頻率信號。大量實驗證明，基于頻率控制的自適應隨機共振可提高系統(tǒng)輸出信噪比，達到優(yōu)化系統(tǒng)性能目的。

由式(2)構建雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，令系統(tǒng)參數(shù)a=b=1，k=0.5，輸入信號參數(shù)A=0.1 V，f0=30 Hz(設輸入系統(tǒng)前未知)，采樣頻率fs=5 Hz，噪聲強度D=0.4。采用四階Runge-Kutta算法對非線性微分方程進行求解，計算點數(shù)N=10 000，步長h=0.2。取控制頻率初始值為步長，即fc=0.02，0.005，0.001。按圖4步驟搜索待測信號，結果見圖7。由圖7看出，隨控制頻率步長減小，系統(tǒng)輸出性能得到提升。而當輸入信號不經(jīng)頻率控制系統(tǒng)時，則不能產(chǎn)生隨機共振，由仿真實驗求得此時系統(tǒng)輸出信噪比SNRout=0.000 0016，由此可知，非隨機共振下信號基本完全被淹沒。圖7(a) 、(b)為控制頻率初始值、步長為0.02時輸出信號及功率譜，通過自適應算法搜索，當控制頻率fc=29.98 Hz時系統(tǒng)輸出信噪比最大且SNRout=0.060 309，在f=0.02 Hz處呈不明顯的譜峰值特征，即此時新低頻信號f1=0.02 Hz，由f1=f0-fc可計算待測未知大頻率信號頻率f0=30 Hz；圖7(c)～(f)為控制頻率初始值、步長為0.005及0.001時輸出信號與功率譜，可見控制頻率分別為fc=29.995 Hz及fc=29.999 Hz時，系統(tǒng)輸出信噪比最大，為SNRout=0.075 431、SNRout=0.076 661。據(jù)f1=f0-fc所得待測未知大頻率信號頻率均為f0=30 Hz，可見，通過提高控制頻率精度在一定程度上可改善系統(tǒng)輸出性能，輸出信號功率明顯增加。

圖7　大頻率信號在不同初始值控制頻率時系統(tǒng)輸出信號時域圖和功率譜圖Fig.7 The system output big frequency signal time domain and power spectrum diagram under different initial control frequency

系統(tǒng)輸出信噪比SNRout能較好反映雙穩(wěn)系統(tǒng)性能，輸入待測頻率f0=30 Hz、噪聲強度D=0.1、D=0.4時，系統(tǒng)輸出信噪比隨頻率調制的輸出新低頻信號f0-fc變化曲線見圖8。由圖8看出，SNRout隨f0-fc(控制頻率精度)增大性能急劇下降；隨噪聲強度D增加系統(tǒng)性能進一步惡化。可見，雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)在噪聲強度及待測信號頻率為低頻信號時系統(tǒng)性能更好。因此，利用雙穩(wěn)系統(tǒng)檢測待測未知大頻率信號時，可通過減小噪聲干擾、提高控制頻率精度優(yōu)化系統(tǒng)檢測性能。

圖8　頻率f0=5 Hz時SNRout隨f0-fc變化曲線Fig.8 Frequency f0=5 Hz SNRoutwith f0-fc curves

5結論

分析雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)實現(xiàn)隨機共振動力學機理，基于絕熱近似理論小參數(shù)條件基礎上提出基于頻率控制的自適應算法隨機共振系統(tǒng)，結論如下：

(1) 通過頻率控制可產(chǎn)生新的小頻率信號，并能有效減小噪聲干擾。

(2) 基于定步長頻率控制自適應隨機共振系統(tǒng)，能檢測未知大頻率信號，可用于未知機械軸承故障信號檢測及其它類型微弱周期信號的隨機共振檢測。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金資助項目(61071196;61102131)

收稿日期：2015-05-07修改稿收到日期：2015-07-22

中圖分類號:TN911.23

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.015

Adaptive stochastic resonance system based on frequency control

ZHANG Gang1,2, HU Tao1, ZHANG Tian-qi1,2

(1. Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China; 2. Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing, Chongqing 400065, China)

Abstract:The stochastic resonance of a bistable Duffing system was studied. Aiming at the large parameter condition which does not meet the adiabatic approximation, a kind of adaptive weak signal detection system with the aid of stochastic resonance based on frequency control was proposed. The system can detect the unknown weak signal with high frequency. The simulation results show that the system can realize the stochastic resonance of high frequency signals. Compared with the traditional stochastic resonance system, its precision and the signal-to-noise ratio of its output are greatly improved, and its application in the weak signal detection field is developed.

Key words:Duffing system; frequency control; stochastic resonance; adaptive

第一作者 張剛 男，博士，副教授，1976年生