王文熙， 華旭剛， 王修勇， 陳政清

(1.湖南大學(xué) 風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心，長沙　410082； 2.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭　411201)

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TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)隨機(jī)偏離下的減振有效性和可靠性分析

王文熙1， 華旭剛1， 王修勇2， 陳政清1

(1.湖南大學(xué) 風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心，長沙410082； 2.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭411201)

摘要：調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)是一種工程中常用的減振裝置，但TMD裝置的剛度和阻尼系數(shù)偏離最優(yōu)值時(shí)，其減振效率將大為降低。研究了TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)偏離下的減振有效性和可靠性問題，提出一種切合工程實(shí)際的TMD系統(tǒng)自身參數(shù)隨機(jī)偏離模型。在此偏離模型下，利用蒙特卡洛方法分別研究了STMD系統(tǒng)和MTMD系統(tǒng)的減振有效性和可靠性，并對(duì)兩種TMD系統(tǒng)的差異進(jìn)行了對(duì)比和分析。結(jié)果表明，TMD系統(tǒng)的減振有效性和可靠性與TMD系統(tǒng)質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)阻尼比、分布TMD個(gè)數(shù)、調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)等因素有密切相關(guān)。通過對(duì)大量數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析，給出增強(qiáng)TMD系統(tǒng)有效性和可靠性的一些有益建議。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)控制；TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化；參數(shù)偏離；減振有效性；減振可靠性

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器是振動(dòng)控制領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的被動(dòng)減振裝置之一，主要分為兩種形式：單調(diào)諧頻率質(zhì)量阻尼器(Single Tuned Mass Dampers,STMD)以及多調(diào)諧頻率質(zhì)量阻尼器(Multiple Tuned Mass Dampers,MTMD)。TMD系統(tǒng)以其優(yōu)異的減振有效性、良好的經(jīng)濟(jì)性、后期養(yǎng)護(hù)簡單等特點(diǎn)在工程結(jié)構(gòu)減振中得到廣泛應(yīng)用。由于TMD系統(tǒng)的減振效果依賴于其調(diào)諧頻率和阻尼比的設(shè)置，而在實(shí)際工程中，不論是結(jié)構(gòu)還是TMD系統(tǒng)其動(dòng)力參數(shù)都有可能發(fā)生變化，這樣會(huì)對(duì)TMD系統(tǒng)的減振效果造成影響。

從20世紀(jì)50年代開始，許多學(xué)者對(duì)TMD系統(tǒng)的有效性和可靠性展開了深入研究。

Den Hartog[1]首次提出了STMD系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)受到簡諧力作用和不考慮結(jié)構(gòu)阻尼情況下的STMD最優(yōu)參數(shù)求解方法，并給出了STMD最優(yōu)參數(shù)解析式。Warburton[2]則在其基礎(chǔ)上，給出了結(jié)構(gòu)受到不同種類荷載以及基底激勵(lì)時(shí)的STMD最優(yōu)參數(shù)表達(dá)式。Xu等[3]首次提出MTMD的構(gòu)想，并對(duì)MTMD的動(dòng)力性能進(jìn)行了研究，結(jié)果表明MTMD相比于STMD具有更好的減振有效性。Han等[4]提出利用子TMD調(diào)諧頻率等間隔分布以及阻尼比均相同等參數(shù)假定的MTMD來控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，研究表明該類型MTMD不僅能更有效控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，同時(shí)其控制頻率范圍更廣，具有比STMD更好的魯棒性。Li等[5]提出利用最速梯度法求解無約束MTMD的最優(yōu)參數(shù)，研究表明，該種MTMD的最優(yōu)參數(shù)并不符合參數(shù)等間距分布的假設(shè)，且其減振有效性較參數(shù)等間距分布的MTMD更優(yōu)。Rana等[6]研究了STMD在其最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比失調(diào)情況下的工作表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)STMD最優(yōu)頻率比失調(diào)造成的減振效果的損害比其最優(yōu)阻尼比失調(diào)更加顯著，當(dāng)STMD系統(tǒng)的質(zhì)量比以及被控結(jié)構(gòu)阻尼比越大時(shí)，STMD最優(yōu)參數(shù)失調(diào)對(duì)減振效果的影響越小，其控制魯棒性越強(qiáng)。李春祥等[7-9]對(duì)MTMD和STMD的動(dòng)力性能進(jìn)行了廣泛地研究，發(fā)現(xiàn)MTMD應(yīng)對(duì)被控結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)變化的能力要比STMD系統(tǒng)強(qiáng)，更適用于控制頻率時(shí)變的結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

以往的研究表明，MTMD的減振有效性在理論上優(yōu)于STMD，此外MTMD在應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)實(shí)際值與設(shè)計(jì)值有偏離時(shí)的控制魯棒性強(qiáng)于STMD。但是以往的研究有以下局限性：① 僅僅考慮了被控結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)可能發(fā)生的攝動(dòng)而不重視TMD系統(tǒng)自身參數(shù)的偏離；② 沒有考慮TMD系統(tǒng)的自身參數(shù)偏離的隨機(jī)性；③ 缺少對(duì)自身參數(shù)最不利偏離情況下TMD系統(tǒng)工作表現(xiàn)的評(píng)估。

本文針對(duì)上述不足，利用數(shù)值優(yōu)化方法求解了STMD系統(tǒng)和MTMD系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，提出了一種基于正態(tài)分布的TMD系統(tǒng)自身參數(shù)偏離模型，并通過蒙特卡洛方法研究了不同TMD系統(tǒng)在不同質(zhì)量比和結(jié)構(gòu)阻尼比、不同調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)、不同偏離狀態(tài)等情況下的減振有效性和可靠性，并分析了這些參數(shù)對(duì)于TMD系統(tǒng)減振有效性和可靠性的影響，為TMD系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供有利的參考。

1TMD系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化理論與方法

圖1　主結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)簡化力學(xué)模型Fig.1 Structure-TMD system simplified mechanical model

根據(jù)結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的力學(xué)模型，其運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

(2)

(3)

(6)

假設(shè)一簡諧荷載作用在結(jié)構(gòu)上，荷載P可按復(fù)數(shù)形式表達(dá)如下，其中j為虛數(shù)單位。

(7)

其中：p0為簡諧激勵(lì)的荷載幅值，ω為簡諧激勵(lì)的圓頻率。荷載激振頻率比為β=ω/ωp。

則方程(1)有如下解的形式：

(8)

(9)

DMF(ω)=

(10)

假定TMD系統(tǒng)中各個(gè)子TMD的質(zhì)量mi均相等，上式為TMD系統(tǒng)控制下主結(jié)構(gòu)的動(dòng)力放大系數(shù)，當(dāng)令各個(gè)子TMD參數(shù)均相同時(shí)，即k1=k2=…=kn，c1=c2=…=cn，式(10)變?yōu)镾TMD控制下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)，該TMD系統(tǒng)只具有一個(gè)調(diào)諧頻率。而當(dāng)各個(gè)子TMD參數(shù)均不相同時(shí)，即k1≠k2≠…≠kn，c1≠c2≠…≠cn，則式(10)變?yōu)镸TMD控制下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)，該TMD系統(tǒng)具有n個(gè)調(diào)諧頻率。

對(duì)于TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化，其優(yōu)化目標(biāo)即為找到一個(gè)(k1，c1，…，kn，cn)的最優(yōu)組合使得結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)在荷載頻率范圍內(nèi)的最大值最小化，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(11)

式(11)是一個(gè)復(fù)雜的多參數(shù)優(yōu)化問題且目標(biāo)函數(shù)微分、求導(dǎo)困難，本文采用改進(jìn)的模式搜索法求解其最優(yōu)參數(shù)。

模式搜索法屬于直接優(yōu)化法，又稱為Hooke-Jeeves方法，相比于基于導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法而言，它的收斂速度較慢，但是不要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，而且迭代較為簡單。對(duì)于式(11)，我們無法輕易地求出其各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此對(duì)于此類函數(shù)的求解，模式搜索法擁有極強(qiáng)的優(yōu)勢。傳統(tǒng)的模式搜索法對(duì)擁有n個(gè)變量的函數(shù)f(x1,x2,…,xn)最小值的尋優(yōu)計(jì)算流程如下[10]：

步驟1給定初始基點(diǎn)X(1)=(x1,x2…xn)，單位探測向量e1,e2,…,en，步長δ，加速系數(shù)α≥1，步長縮減率β∈(0,1)，允許誤差ε>0，令y(1)=X(1)，k=1，j=1，其中軸向探測向量e1,e2,…,en有如下形式：

(12)

步驟2如果f(y(j)+δej)

步驟3如果f(y(j)-δej)

步驟4如果f(y(n+1))

步驟5置X(k+1)=y(n+1)，令y(1)=X(k+1)+α(X(k+1)-X(k))，進(jìn)行步驟7；

步驟6如果δ≤ε，則結(jié)束迭代，得到X(k)，否則使δ=βδ，y(1)=X(k)，X(k+1)=X(k)，進(jìn)行步驟7；

步驟7置k=k+1，j=1，轉(zhuǎn)步驟2。

但是傳統(tǒng)的模式搜索法全局尋優(yōu)能力有限，其得到的結(jié)果只是與初始基點(diǎn)相關(guān)的局部最優(yōu)值，且其最優(yōu)值與允許誤差的設(shè)置大小有關(guān)，所以本文通過對(duì)傳統(tǒng)的模式搜索法進(jìn)行改進(jìn)加強(qiáng)其全局尋優(yōu)和局部尋優(yōu)能力。

(13)

(14)

Xsjd=LBnew+(UBnew-LBnew)·rand(0,1)

(15)

利用上述生成的隨機(jī)點(diǎn)Xsjd，通過ls次隨機(jī)搜索對(duì)已得到的m個(gè)最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行局部尋優(yōu)，具體流程如下：

步驟1令i=1；

步驟2初始化隨機(jī)搜索次數(shù)ls和搜索范圍縮減率α1，令l=1；

步驟3生成局部搜索范圍(LBnew,UBnew)以及隨機(jī)點(diǎn)Xsjd；

步驟5如果l

(16)

以主結(jié)構(gòu)阻尼比ξp=1%和TMD系統(tǒng)質(zhì)量比μ=1%為例，通過上述改進(jìn)的模式搜索法獲取了最優(yōu)參數(shù)，圖2是不同調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)時(shí)TMD系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)為1時(shí)，為STMD系統(tǒng)，當(dāng)調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)大于1時(shí)，則為MTMD系統(tǒng)。圖3是加裝最優(yōu)TMD系統(tǒng)后的結(jié)構(gòu)放大系數(shù)頻響曲線。

MTMD的最優(yōu)參數(shù)分布存在一些規(guī)律，隨著調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)n的增加，其子TMD頻率比分布范圍更廣，相比于以前提出的子TMD最優(yōu)頻率比線性均勻分布、最優(yōu)阻尼比均相同等參數(shù)假定[4]，其最優(yōu)頻率比并非是均勻的線性分布，而是帶有一定非線性，雖然其各個(gè)子TMD的最優(yōu)阻尼比差距不大，但也并非是完全相等的。

圖2　子TMD最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比(質(zhì)量比μ=1%，主結(jié)構(gòu)阻尼比ξp=1%)Fig.2 Optimal frequency ratio and damping ratio of the sub-TMD (μ=1%,ξp=1%)

圖3　加裝STMD和MTMD后主結(jié)構(gòu)最優(yōu)動(dòng)力放大系數(shù)頻響曲線Fig.3 Frequency response curve of main structure with STMD and MTMD

通過圖3可以看出，對(duì)于加裝n-MTMD(具有n個(gè)調(diào)諧頻率)的主結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻響曲線具有n+1個(gè)等高波峰。相比于STMD，MTMD具有更好的減振效果，子TMD頻率分布范圍更廣，其共振區(qū)域的動(dòng)力放大系數(shù)最大值明顯降低，圖中STMD控制后的動(dòng)力放大系數(shù)最大值為11.56，10-MTMD控制后的動(dòng)力放大系數(shù)最大值為9.11，減振效果增強(qiáng)了22%左右，且隨著調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)的增加，MTMD減振性能會(huì)進(jìn)一步提升。

2TMD系統(tǒng)自身參數(shù)偏離模型

(17)

(18)

假定各個(gè)子TMD自身的剛度最大偏離率為ηk，阻尼系數(shù)最大偏離率ηc，例如在土木工程中對(duì)于建造的最大偏離率可以為5%。而在正態(tài)分布中小概率事件發(fā)生的概率一般遵從“3σ”法則，即一個(gè)服從正態(tài)分布N(E,σ2)的數(shù)肯定會(huì)落在(E-3σ,E+3σ)區(qū)間內(nèi)，結(jié)合兩者的概念，可通過式(19)和式(20)計(jì)算得到σki，σci。

(19)

(20)

3TMD系統(tǒng)的減振有效性和可靠性分析方法

蒙特卡洛試驗(yàn)方法即隨機(jī)模擬(Random Simulation)方法，亦被稱為隨機(jī)抽樣(Random Sampling)方法，它與一般的數(shù)值計(jì)算方法有很大區(qū)別，主要針對(duì)求解不確定性和隨機(jī)性問題，通過多次隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，計(jì)算所求問題的統(tǒng)計(jì)特征，例如期望、標(biāo)準(zhǔn)差等，并以此作為問題的近似解，通常當(dāng)蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到一定數(shù)量后，其近似解趨近于真實(shí)解。

定義TMD系統(tǒng)減振有效性指標(biāo)r為荷載頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)力放大系數(shù)幅值，即

(21)

通過N次蒙特卡洛試驗(yàn)，在TMD系統(tǒng)自身參數(shù)隨機(jī)偏離模型下，可得N個(gè)r值，對(duì)其取平均值得到rmean，以該值作為TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)正常偏離狀態(tài)下的減振有效性指標(biāo)，rmean越小，則說明TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)正常偏離狀態(tài)下的減振有效性越強(qiáng)。rmean表達(dá)式如式(22)，其中rj為第j次試驗(yàn)中的r值。

(22)

此外為了評(píng)估TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)最不利偏離狀態(tài)下的減振有效性，取上述N個(gè)r中較大的前10%的平均值rmaxmean作為TMD系統(tǒng)在最不利偏離狀態(tài)下的減振有效性指標(biāo)，rmaxmean越小，則說明TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)最不利偏離狀態(tài)下的減振有效性越強(qiáng)。rmaxmean表達(dá)式如式(23)，其中rmax j為rj按降序排列后所得。

(23)

定義TMD系統(tǒng)減振可靠性指標(biāo)β如式(24)，即在TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)隨機(jī)偏離模型下的減振有效性指標(biāo)同最優(yōu)減振有效性指標(biāo)的偏離程度，ropt為TMD系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)時(shí)的r值，當(dāng)β越小時(shí)，則說明TMD系統(tǒng)控制下的減振效果與最優(yōu)減振效果相差越小，其減振可靠性越強(qiáng)。

(24)

類似可以得到TMD系統(tǒng)在正常偏離狀態(tài)下和最不利偏離狀態(tài)下的減振可靠性指標(biāo)βmean和βmaxmean，當(dāng)βmean或βmaxmean越小時(shí)，則說明TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)正常偏離狀態(tài)或最不利偏離狀態(tài)下的減振可靠性越強(qiáng)。其表達(dá)式分別為式(25)和式(26)。

(25)

(26)

4數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

本文選取比較的TMD系統(tǒng)為實(shí)際工程中應(yīng)用最為廣泛的STMD系統(tǒng)與MTMD系統(tǒng)。STMD系統(tǒng)中所有子TMD的參數(shù)均一致，雖然考慮到安裝空間的不足等因素，分為n個(gè)子TMD，但仍只有一個(gè)調(diào)諧頻率；MTMD系統(tǒng)中所有子TMD的質(zhì)量一致，但彈簧剛度以及阻尼系數(shù)均不同，子TMD個(gè)數(shù)為n，即說明具有n個(gè)調(diào)諧頻率。分析采用的被控結(jié)構(gòu)參數(shù)為質(zhì)量mp=10 000 kg，剛度kp=40 000 kg，蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)N=8 000，剛度最大偏離率ηk=0.05，阻尼系數(shù)最大偏離率ηc=0.25。

TMD系統(tǒng)質(zhì)量比μ=(m1+m2+…+mn)/mp和結(jié)構(gòu)阻尼比ξp=cp/2mpωp分為以下5種情況：

情況Ⅰ：μ=1%，ξp=1%；

情況Ⅱ：μ=2.5%，ξp=0%；

情況Ⅲ：μ=2.5%，ξp=1%；

情況Ⅳ：μ=2.5%，ξp=2%；

情況Ⅴ：μ=5%，ξp=1%。

經(jīng)過數(shù)值計(jì)算，兩種TMD系統(tǒng)在不同TMD個(gè)數(shù)、不同質(zhì)量比和結(jié)構(gòu)阻尼比、不同偏離狀態(tài)下的減振有效性指標(biāo)如圖4～圖8，減振可靠性指標(biāo)如圖9～圖13。

圖4 有效性指標(biāo)r-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅰ)Fig.4Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅠ)圖5 效性指標(biāo)r-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅱ)Fig.5Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅡ)圖6 有效性指標(biāo)r-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅲ)Fig.6Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅢ)

圖7 有效性指標(biāo)r-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅳ)Fig.7Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅣ)圖8 有效性指標(biāo)r-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅴ)Fig.8Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅤ)圖9 可靠性指標(biāo)β-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅰ)Fig.9Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅠ)

圖10 可靠性指標(biāo)β-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅱ)Fig.10Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅡ)圖11 可靠性指標(biāo)β-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅲ)Fig.11Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅢ)圖12 可靠性指標(biāo)β-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅳ)Fig.12Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅣ)

由圖4～圖8可知，在TMD系統(tǒng)自身參數(shù)隨機(jī)偏離模型下，隨著TMD個(gè)數(shù)的增加，不論是正常偏離狀態(tài)還是最不利偏離狀態(tài)下，STMD系統(tǒng)的減振有效性均增強(qiáng)，但當(dāng)子TMD個(gè)數(shù)達(dá)到一定數(shù)量后，這種增強(qiáng)趨勢會(huì)減緩；而MTMD系統(tǒng)的減振有效性均會(huì)先增強(qiáng)，達(dá)到一定數(shù)量后會(huì)逐漸減弱，形成一條帶有‘凹點(diǎn)’的曲線，而‘凹點(diǎn)’處的子TMD個(gè)數(shù)則是MTMD系統(tǒng)減振有效性最優(yōu)的最佳的調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)。一方面TMD系統(tǒng)子TMD個(gè)數(shù)增加時(shí)，調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)相應(yīng)增加，其減振有效性會(huì)顯著上升，而另一方面由于MTMD系統(tǒng)中每個(gè)TMD的參數(shù)均不同，參數(shù)復(fù)雜性也會(huì)隨著TMD系統(tǒng)子TMD個(gè)數(shù)的增加而變得愈加復(fù)雜，以至于給予其自身參數(shù)微小的攝動(dòng)，其減振有效性會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離其最優(yōu)值，所以在子TMD個(gè)數(shù)的增長方向上，必然會(huì)有一個(gè)最佳TMD系統(tǒng)調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)使得MTMD系統(tǒng)的減振有效性最優(yōu)，這也是出現(xiàn)‘凹點(diǎn)’曲線的根源。

此外，隨著子TMD個(gè)數(shù)的增加，STMD系統(tǒng)在最不利偏離狀態(tài)下的減振有效性會(huì)越來越接近正常偏離狀態(tài)下的值，整體曲線呈收斂狀；而MTMD系統(tǒng)在最不利偏離狀態(tài)下的減振有效性會(huì)越來越遠(yuǎn)離正常偏離狀態(tài)下的值，整體曲線呈發(fā)散狀?？梢灶A(yù)見的是，當(dāng)子TMD個(gè)數(shù)很大時(shí)，STMD系統(tǒng)的減振有效性會(huì)接近STMD系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)時(shí)的減振有效性，而MTMD系統(tǒng)則恰好相反。

由圖5～圖7可知，隨著結(jié)構(gòu)阻尼比ξp的增大，STMD系統(tǒng)與MTMD系統(tǒng)在自身參數(shù)偏離下的減振有效性均會(huì)增強(qiáng)。由圖4、圖6、圖8可知，隨著TMD系統(tǒng)的質(zhì)量比μ的增大，STMD系統(tǒng)與MTMD系統(tǒng)的減振有效性均會(huì)增強(qiáng)。數(shù)值結(jié)果還表明，在TMD系統(tǒng)質(zhì)量比以及被控結(jié)構(gòu)阻尼比均很小時(shí)，STMD系統(tǒng)在參數(shù)偏離模型下的減振有效性可能會(huì)優(yōu)于MTMD系統(tǒng)，例如圖4所示情況(μ=1%，ξp=0%)，MTMD系統(tǒng)中子TMD個(gè)數(shù)大于9個(gè)以后，其自身正常偏離狀態(tài)下減振有效性會(huì)弱于STMD系統(tǒng)；而在最不利偏離狀態(tài)下，子TMD個(gè)數(shù)大于3以后，STMD系統(tǒng)的減振有效性就強(qiáng)于MTMD系統(tǒng)。這是TMD系統(tǒng)應(yīng)用于實(shí)際工程中經(jīng)常碰到的情況，需多引起關(guān)注。

由圖9～圖13可知，STMD系統(tǒng)的減振可靠性隨著子TMD個(gè)數(shù)的增加而上升，但當(dāng)子TMD個(gè)數(shù)達(dá)到一定數(shù)量以后，增幅趨勢明顯減緩；而MTMD系統(tǒng)的減振可靠性隨著子TMD個(gè)數(shù)即調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)的增加而減弱，其與子TMD個(gè)數(shù)呈負(fù)相關(guān)，即子TMD個(gè)數(shù)越多，其減振可靠性越差。此外，隨著子TMD個(gè)數(shù)的增加，STMD系統(tǒng)在正常偏離狀態(tài)下與最不利偏離狀態(tài)下的減振可靠性越接近；而MTMD系統(tǒng)則恰好相反。

由圖10～圖12可知，隨著被控結(jié)構(gòu)阻尼比ξp的上升，STMD系統(tǒng)和MTMD系統(tǒng)在自身參數(shù)偏離下的減振可靠性均會(huì)增強(qiáng)。由圖7、圖9、圖11可知，TMD系統(tǒng)的質(zhì)量比μ的增大也能夠提高STMD系統(tǒng)和MTMD系統(tǒng)的減振可靠性。此外，數(shù)值結(jié)果表明，STMD系統(tǒng)在自身參數(shù)偏離下的減振可靠性明顯優(yōu)于MTMD系統(tǒng)。

同時(shí)為了分析STMD系統(tǒng)和MTMD系統(tǒng)在不同最大偏離率下減振有效性和可靠性的變化規(guī)律，令最大偏離率η=ηk=ηc從0增加到0.6，增量間隔為0.02，STMD系統(tǒng)和MTMD系統(tǒng)中的子TMD個(gè)數(shù)均取為5個(gè)，TMD系統(tǒng)質(zhì)量比μ=2.5%，結(jié)構(gòu)阻尼比ξp=1%，蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)N=16 000 次，通過數(shù)值計(jì)算可得不同TMD系統(tǒng)的減振有效性和可靠性在正常偏離狀態(tài)下和最不利偏離狀態(tài)下隨著最大偏離率變化而變化的結(jié)果如圖14和圖15。

由圖14可知，在自身參數(shù)最大偏離率較小的情況下，MTMD系統(tǒng)的減振有效性會(huì)優(yōu)于STMD系統(tǒng)，但隨著最大偏離率的增大，STMD系統(tǒng)的減振有效性會(huì)逐漸超過MTMD系統(tǒng)。而從圖15可以看出，STMD系統(tǒng)的減振可靠性遠(yuǎn)強(qiáng)與MTMD系統(tǒng)。此外，STMD系統(tǒng)在最大偏離率η較小時(shí)，其減振有效性和可靠性劣化速度緩慢，當(dāng)最大偏離率超過0.3時(shí)，劣化趨勢明顯增快；而MTMD系統(tǒng)則正好相反，在最大偏離率超過0.3以后，其減振有效性和可靠性劣化趨勢明顯減緩。

圖13 可靠性指標(biāo)β-子TMD個(gè)數(shù)曲線(情況Ⅴ)Fig.13Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅤ)圖14 有效性指標(biāo)r-最大偏離率η曲線Fig.14Relationshipbetweenvalidityindexrandthemaximumdeviationratioη圖15 可靠性指標(biāo)β-最大偏離率η曲線Fig.15Relationshipbetweenreliabilityindexβandthemaximumdeviationratioη

5結(jié)論

(1) 改進(jìn)的模式搜索法可以有效解決MTMD參數(shù)優(yōu)化問題，在參數(shù)最優(yōu)的情況下，MTMD的減振效果遠(yuǎn)勝于STMD。

(2) 基于正態(tài)分布的TMD系統(tǒng)自身參數(shù)偏離模型，能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鯰MD系統(tǒng)的自身參數(shù)偏離的隨機(jī)性，更接近實(shí)際工程情況。

(3) 在自身參數(shù)隨機(jī)偏離模型下以及質(zhì)量比μ和阻尼比ξp均較小的情況下，STMD的減振有效性可能優(yōu)于MTMD系統(tǒng)，而其減振可靠性總是強(qiáng)于MTMD系統(tǒng)，且隨著子TMD個(gè)數(shù)的增加，其可靠性指標(biāo)β越來越接近0，說明此時(shí)其有效性更接近最優(yōu)值。

(4) TMD系統(tǒng)質(zhì)量比和結(jié)構(gòu)阻尼比的提高，能夠增強(qiáng)TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)偏離下的減振有效性和可靠性。在TMD系統(tǒng)質(zhì)量比和結(jié)構(gòu)阻尼比均較小，且子TMD個(gè)數(shù)較多時(shí)，宜將TMD系統(tǒng)設(shè)計(jì)成STMD系統(tǒng)，此時(shí)STMD系統(tǒng)在正常偏離下的有效性與MTMD系統(tǒng)相當(dāng)，但其在最不利偏離狀態(tài)下的減振有效性遠(yuǎn)強(qiáng)于MTMD系統(tǒng)。

(5) 對(duì)于STMD系統(tǒng)，提高子TMD個(gè)數(shù)能夠顯著提升其在自身參數(shù)偏離下的減振有效性和可靠性；而對(duì)于MTMD系統(tǒng)，在不同質(zhì)量比和結(jié)構(gòu)阻尼比情況下，總有一個(gè)最佳子TMD個(gè)數(shù)即最佳調(diào)諧頻率個(gè)數(shù)使得其減振有效性最優(yōu)，此外，減少子TMD個(gè)數(shù)能夠提升MTMD系統(tǒng)的減振可靠性。

(6) 在TMD系統(tǒng)自身參數(shù)最大偏離率可以控制在較小范圍時(shí)，宜將TMD系統(tǒng)設(shè)計(jì)成MTMD系統(tǒng)，此時(shí)MTMD系統(tǒng)能夠提供更好的減振有效性；在TMD參數(shù)最大偏離率無法得到有效保證時(shí)，為了保證減振有效性，建議設(shè)計(jì)成STMD系統(tǒng)。

參 考 文 獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃“973”項(xiàng)目 (2015CB057702);國家優(yōu)秀青年科學(xué)基金項(xiàng)目(51422806)資助

收稿日期：2014-12-01修改稿收到日期：2015-05-05

通信作者華旭剛 男，博士,教授，1978年生

中圖分類號(hào):U441+.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.036

Vibration reduction validity and reliability of a TMD system under random deviation of its own parameters

WANG Wen-xi1, HUA Xu-gang1, WANG Xiu-yong2, CHEN Zheng-qing1

(1. Wind Engineering Experiment Research Center, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Civil Engineering School, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

Abstract:Mass tuned damper (TMD) is a widely used device for suppressing vibration in engineering, when the stiffness and damping coefficients of TMD deviate from their optimal values, its efficiency of vibration reduction may greatly decreases. Here, the validity and reliability of TMD for reducing vibration were investigated. A parametric random deviation model of TMD system being suitable to practical engineering was proposed. Monte Carlo method was utilized to study the validity and reliability of both STMD system and MTMD system for reducing vibration with this deviation model. The differences between these two kinds of TMD systems were compared and analyzed. The results showed that the TMD system’s validity and reliability are closely related to mass ratio of TMD system, structural damping ratio, the number of TMD and so on. Through analyzing numerical calculation results, some suggestions for improving the validity and reliability of TMD system were proposed.

Key words:vibration control; TMD system; deviation of parameters; vibration suppression validity; vibration suppression reliability

第一作者 王文熙 男，博士生，1988年11月生