夏新濤，白陽，孫立明，葉亮，朱文換

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；3.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；4.滾動軸承產(chǎn)業(yè)技術創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽 471039)

GCr15鋼是一種合金含量較少、性能良好、應用最廣泛的高碳鉻軸承鋼。經(jīng)過淬火加低溫回火后具有較高的硬度、均勻的組織、良好的耐磨性和接觸疲勞性能。在以往對GCr15軸承鋼的研究中，已經(jīng)從材料成分、表面加工、淬火處理等方面對其性能進行了研究，旨在從不同的方面提高材料的性能[1-2]。

下文對GCr15軸承鋼可靠性模型進行研究，通過試驗得到其失效數(shù)據(jù)，分別用Weibull分布[3-4]和對數(shù)正態(tài)分布[5-7]進行參數(shù)估計，得出2種分布與經(jīng)驗函數(shù)的標準差，并通過比較2種分布的標準差，得出擬合度較高的可靠性模型。根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，不同批次的GCr15軸承鋼，需要具體分析、選擇合適的可靠性模型。

1 可靠性模型

對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

(1)

分布函數(shù)為

(2)

可靠度函數(shù)為

R(t)=1-F(t)=

(3)

式中：t為壽命的隨機變量，t>0；μ為比例參數(shù)；σ為形狀參數(shù)，σ>0。

Weibull分布的概率密度函數(shù)為

(4)

分布函數(shù)為

(5)

可靠度函數(shù)為

(6)

式中：η為比例參數(shù)，η>0；β為形狀參數(shù)，β>0。

2 可靠性模型評估方法的驗證

用計算機生成一組對數(shù)正態(tài)分布的隨機數(shù)，令對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)(μ,σ)=(4，0.4)，個數(shù)n=30，t1=[29.09,30.22,32.78,34.66,38.35,45.32,48.84,51.61,56.07,63.90,65.64,67.08,69.18,72.84,74.99,75.45,77.45,82.25,82.55,84.01,95.65,103.22,103.85,111.42,124.51,132.89,133.01,137.55,167.45,225.53]。

使用極大似然法[8]對t1進行參數(shù)估計,可得μ=4.389 6,σ=0.467 0，將其代入(3)式得到相應的可靠度函數(shù)。

相應的經(jīng)驗分布函數(shù)通過Nelson方法[3-4]得到，也可稱為近似中位秩公式，即

(7)

式中：i為失效試件的順序號；ti為第i個失效試件的試驗時間。

根據(jù)上述結(jié)果繪出可靠度函數(shù)曲線，如圖1所示，并將t1代入(7)式得到經(jīng)驗點。由圖可以看出，可靠度曲線基本符合經(jīng)驗點的分布。用K-S檢驗方法[8]，顯著性水平α=0.05，得到對數(shù)正態(tài)分布擬合模型的K-S檢驗值為0.08，其臨界值Dc=0.241 7，假設成立概率P=0.99，檢驗值小于臨界值，且假設成立概率高，證明以極大似然法對對數(shù)正態(tài)分布進行參數(shù)估計的效果較好。

圖1 對數(shù)正態(tài)分布隨機數(shù)可靠度函數(shù)曲線

利用計算機生成一組Weibull分布的隨機數(shù)，令對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)(β,η)=(2.5，60)，個數(shù)n=30，t2=[10.20，15.76,17.91,22.11,28.86,32.11,36.24,37.83,39.54,40.82,43.79,46.44,47.32,47.40,48.79,50.85,55.76,59.56,59.64,61.19,61.42,64.26,67.89,69.02,71.94,76.63,76.76,77.27,85.23,114.40]。

使用極大似然法對t2進行參數(shù)估計,可得β=2.474 4,η=58.829 0。

利用該結(jié)果繪出可靠度函數(shù)曲線，如圖2所示，將t2代入(7)式得到經(jīng)驗點。由圖可以看出，可靠度曲線基本符合經(jīng)驗點的分布。用K-S檢驗方法，顯著性水平α=0.05，得到極大似然法估計的Weibull分布擬合模型的K-S檢驗值為0.077，其臨界值Dc=0.241 7，假設成立概率P=0.99，檢驗值小于臨界值，且假設成立概率高，證明以極大似然法對Weibull分布進行參數(shù)估計的效果較好。

圖2 Weibull分布隨機數(shù)可靠度函數(shù)曲線

3 試驗案例的可靠性分析

在以往的軸承鋼壽命試驗中，因Weibull分布擬合性良好，大多都將其作為軸承鋼壽命的可靠性模型。但通過試驗計算表明，不同批次的GCr15軸承鋼，Weibull分布和對數(shù)正態(tài)分布作為可靠性模型的擬合性各有優(yōu)劣，通過以下2個案例進行說明。

試驗所使用的軸承鋼失效數(shù)據(jù)由NTN壽命試驗機試驗所得。將不同廠家2個批次的GCr15鋼，在相同的熱處理條件下制作成直徑12 mm，長22 mm的圓柱滾子試樣，并將其裝入壽命試驗機中由導輥帶動，轉(zhuǎn)速為4 080 r/min，對滾子施加2.55 kN的徑向載荷。從開始試驗時計時，直到試樣表面剝落失效，試驗結(jié)束，每個試件的試驗時間即為要收集的失效數(shù)據(jù)。

3.1 案例一

失效數(shù)據(jù)個數(shù)n=26，T1=[0.38,1.69,1.69,1.71,1.80，1.86,1.89,2.06,2.14,2.20,2.42,2.46,3.88,4.89,6.20，7.73,12.46,12.50，12.88,13.33,31.97,38.57,47.50，50.20,51.77,58.71]。將T1代入對數(shù)正態(tài)分布模型進行參數(shù)估計可得μ=1.786 1,σ=1.371 1；將T1代入Weibull分布模型進行參數(shù)估計可得β=0.759 0,η=12.023 6，失效數(shù)據(jù)的可靠度函數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 T1組失效數(shù)據(jù)可靠度函數(shù)曲線

由圖3可以看出，2種可靠度曲線基本符合經(jīng)驗點的分布，二者均表現(xiàn)出良好的擬合度。計算可靠度函數(shù)與經(jīng)驗點的標準差，用K-S檢驗方法，顯著性水平α=0.05，對參數(shù)估計結(jié)果進行假設檢驗。壽命失效概率為90%和50%時的壽命值t是研究可靠性的重要指標。令可靠度函數(shù)R(t)=0.9時，t=P1；R(t)=0.5時，t=P2。T1組失效數(shù)據(jù)2種可靠性模型的對比結(jié)果見表1。

表1 T1組失效數(shù)據(jù)2種可靠性模型的對比結(jié)果

由表1可知，2種模型的K-S檢驗值均小于臨界值，其均為符合該組失效數(shù)據(jù)的恰當模型。其中對數(shù)正態(tài)分布相對于經(jīng)驗點的標準差小于Weibull分布，因此，在2種分布均滿足該組失效數(shù)據(jù)的前提下，對數(shù)正態(tài)分布的擬合度要更高，將其作為可靠性模型更合適。以標準差小的對數(shù)正態(tài)分布為基準，分別計算2種分布在失效概率為90%和50%時壽命的相對誤差f1和f2為

雖然2種分布的標準差相距甚微，僅為1%，但在相同的失效概率前提下，以標準差小的分布為基準，其壽命的相對誤差非常大。因此，為減小壽命估計誤差，在該案例中應選擇標準差小的對數(shù)正態(tài)分布做為可靠性模型。

3.2 案例二

失效數(shù)據(jù)個數(shù)n=30，T2=[0.61,0.69,1.66,1.81,1.91,1.93,2.34,2.36,2.38,3.07,3.07,3.08,3.63,11.80,12.67,14.18,14.29,16.27,17.84,18.83,26.10,28.00,29.79,47.52,47.86,52.91,53.15,53.57,80.20,90.11]。將T2代入對數(shù)正態(tài)分布模型進行參數(shù)估計可得μ=2.208 1,σ=1.467 5；將T2代入Weibull分布模型進行參數(shù)估計可得β=0.786 3,η=18.696 1，失效數(shù)據(jù)的可靠度函數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 T2組失效數(shù)據(jù)可靠度函數(shù)曲線

由圖4可以看出，2種可靠度曲線基本符合經(jīng)驗點的分布，二者均表現(xiàn)出良好的擬合度。計算可靠度函數(shù)與經(jīng)驗點的標準差。用K-S檢驗方法，顯著性水平α=0.05，對參數(shù)估計結(jié)果進行假設檢驗。T2組失效數(shù)據(jù)2種可靠性模型的對比結(jié)果見表2。

表2 T2組失效數(shù)據(jù)2種可靠性模型的對比結(jié)果

由表2可知，2種模型的K-S檢驗值均小于臨界值，均為符合該組失效數(shù)據(jù)的恰當模型。其中Weibull分布相對于經(jīng)驗點的標準差小于對數(shù)正態(tài)分布。以標準差小的Weibull分布為基準，失效概率為90%時的相對誤差f1=30%；失效概率為50%時的相對誤差f2=29%。因此，對于該批次的GCr15軸承鋼，Weibull分布的擬合度優(yōu)于對數(shù)正態(tài)分布，選擇Weibull分布作為可靠性模型更合適。

4 結(jié)束語

對采用對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布作為失效數(shù)據(jù)可靠性模型進行假設檢驗，結(jié)果證明，2種可靠性模型均可滿足失效數(shù)據(jù)。對于不同批次的GCr15軸承鋼，在實際計算中，應選擇標準差小的分布作為可靠性模型，從而減小壽命估計誤差，提高計算精度。