陳章耀,王亞茗

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

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切換斷路時(shí)間對(duì)非線性切換系統(tǒng)振蕩特性的影響

陳章耀,王亞茗

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

摘要：針對(duì)切換斷路時(shí)間對(duì)非線性切換系統(tǒng)影響的問(wèn)題，構(gòu)建了非線性混合切換系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并以廣義Boh?ffer-Vander Pol(BVP)切換電路為例，進(jìn)一步畫(huà)出了不同切換斷路時(shí)間的切換系統(tǒng)分岔圖。對(duì)分岔圖的分析表明：切換斷路時(shí)間對(duì)切換系統(tǒng)的各種振蕩行為如混沌解和周期解等會(huì)產(chǎn)生不同程度的影響。另外，考慮切換斷路時(shí)間情況下，切換系統(tǒng)還會(huì)產(chǎn)生一種特殊的倍周期分岔行為。

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力系統(tǒng)；混合切換；切換斷路時(shí)間；廣義BVP系統(tǒng)

0引言

切換是工程中常見(jiàn)的控制方法，如電網(wǎng)控制[1]、飛行器導(dǎo)航[2]和汽車(chē)換擋[3]等都有切換系統(tǒng)的應(yīng)用。其中，線性切換系統(tǒng)已有很多研究[4-5]，而非線性系統(tǒng)由于較為復(fù)雜，研究還相對(duì)較少。在非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，學(xué)者們已經(jīng)構(gòu)建了大量描述自然規(guī)律和工程現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)模型，如Chua式電路[6]和Duffing方程[7]等，這些系統(tǒng)加入切換條件后會(huì)產(chǎn)生更為復(fù)雜的現(xiàn)象，因此，需要深入探討具體切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程，進(jìn)而揭示其本質(zhì)。

非線性切換系統(tǒng)按切換規(guī)則可以分為時(shí)間切換、狀態(tài)切換和混合切換。關(guān)于時(shí)間切換系統(tǒng)的研究較多[8-10]，而狀態(tài)切換和混合切換系統(tǒng)的相關(guān)研究則相對(duì)較少[11-12]，并且這些研究所用的模型都較為理想化，即在滿足切換條件的時(shí)刻，切換系統(tǒng)瞬間從一個(gè)子系統(tǒng)切換到另一個(gè)子系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中，切換系統(tǒng)從一個(gè)子系統(tǒng)斷開(kāi)，切換到另一個(gè)子系統(tǒng)，會(huì)產(chǎn)生一段切換斷路時(shí)間，關(guān)于該因素對(duì)切換系統(tǒng)造成的影響還鮮有報(bào)道。因此,本文以廣義Boh?ffer-Vander Pol(BVP)電路[13]為例，通過(guò)設(shè)置依賴(lài)于狀態(tài)的切換條件，并考慮切換斷路時(shí)間對(duì)切換系統(tǒng)的影響，研究具有復(fù)雜振蕩行為的非線性切換系統(tǒng)，以期為實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1切換系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

本文的切換斷路時(shí)間是指切換系統(tǒng)在子系統(tǒng)之間切換時(shí)，由于切換裝置的物理結(jié)構(gòu)，從一個(gè)子系統(tǒng)切換到另一個(gè)子系統(tǒng)過(guò)程中，必然有一段切換所需要的時(shí)間，該段時(shí)間不受兩個(gè)非線性子系統(tǒng)控制。而在該段時(shí)間內(nèi)，電路會(huì)形成一個(gè)新的線性系統(tǒng)，把這個(gè)新的系統(tǒng)也看成一個(gè)子系統(tǒng)?？紤]切換斷路時(shí)新的線性子系統(tǒng)，切換系統(tǒng)一共有3個(gè)子系統(tǒng)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)時(shí)間和狀態(tài)的混合切換系統(tǒng)。其數(shù)學(xué)模型通常可簡(jiǎn)寫(xiě)為：

(1)

其中：X={x,y,z}T；Fσ為相應(yīng)的子系統(tǒng)；σ表示相應(yīng)的切換規(guī)律，數(shù)學(xué)定義為：

其中：τ0為切換斷路時(shí)間;σ=1為切換系統(tǒng)受子系統(tǒng)1控制;σ=2為切換系統(tǒng)受子系統(tǒng)2控制；σ=0+為從子系統(tǒng)1切換到子系統(tǒng)2的中間過(guò)程；σ=0-為從子系統(tǒng)2切換到子系統(tǒng)1的中間過(guò)程；X=X01和X=X02為相應(yīng)子系統(tǒng)的狀態(tài)切換面，用∑1和∑2表示。這樣就把切換斷路問(wèn)題轉(zhuǎn)化成3個(gè)子系統(tǒng)的混合切換問(wèn)題，通過(guò)調(diào)整切換斷路時(shí)間T的值，來(lái)研究其對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響。

模型(1)是廣義的切換系統(tǒng)模型，具有概括性。為了分析更為具體的切換系統(tǒng)振蕩行為，本文用一個(gè)具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的廣義BVP振蕩模型，通過(guò)一個(gè)雙向開(kāi)關(guān)構(gòu)建了一個(gè)非線性切換電路系統(tǒng)，如圖1所示。之所以引入電路系統(tǒng)，是因?yàn)閷?shí)際中很多動(dòng)力學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)情況都可以通過(guò)傳感器轉(zhuǎn)化為電路信號(hào)，通過(guò)構(gòu)建與實(shí)際數(shù)學(xué)模型對(duì)應(yīng)的電路系統(tǒng)，就可以完全模擬實(shí)際振蕩情況，大大方便對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的分析。

圖1　廣義BVP切換電路

該電路系統(tǒng)由一個(gè)線性電阻r、兩個(gè)電容C、一個(gè)電感L和兩個(gè)不同的非線性電阻R1、R2組成。開(kāi)關(guān)S隨電壓v1的不同,會(huì)在SW1和SW2之間切換。其切換規(guī)律為：假設(shè)開(kāi)關(guān)位于SW1，在系統(tǒng)振蕩過(guò)程中電壓v1的值達(dá)到v1=vS2時(shí)，開(kāi)關(guān)S離開(kāi)SW1，并消耗時(shí)間T切換到SW2；當(dāng)系統(tǒng)振蕩過(guò)程中v1的值達(dá)到v1=vS1時(shí)，開(kāi)關(guān)S離開(kāi)SW2，消耗時(shí)間T回到SW1。當(dāng)開(kāi)關(guān)在SW1或SW2端時(shí)，均為一廣義BVP系統(tǒng)，只是非線性電阻不同；當(dāng)開(kāi)關(guān)處于SW1和SW2之間，失去非線性電阻的線性電路構(gòu)成子系統(tǒng)0。系統(tǒng)狀態(tài)可以由如下方程描述：

(2)其中：σ每取一個(gè)值，就對(duì)應(yīng)一個(gè)方程組，σ=1時(shí)，開(kāi)關(guān)S位于SW1，系統(tǒng)受子系統(tǒng)1控制；σ=2時(shí)，開(kāi)關(guān)S位于SW2，系統(tǒng)受子系統(tǒng)2控制；σ=0±時(shí)，系統(tǒng)處于切換過(guò)程中，受新的線性子系統(tǒng)0控制。gσ(v1)=-aσv1-bσtanh(cσv1)表示非線性電阻的電壓和電流特性，aσ、bσ和cσ為常數(shù)(σ=1,0±,2)，σ=0±時(shí)，a0=b0=0，即g0(v1)=0。

(3)

其中：x,y,z分別為圖1中廣義BVP切換電路的電壓v1、v2和電流i無(wú)量綱化后的未知變量;Aσ、Bσ和δ都是和電路中電容電感相關(guān)的參數(shù)，當(dāng)σ=0±時(shí)，A0=B0=0。由于式(3)中的所有變量和參數(shù)都是無(wú)因次量，因此沒(méi)有單位。

2切換斷路時(shí)間對(duì)切換系統(tǒng)振蕩特性的影響

只要存在切換斷路時(shí)間T，肯定會(huì)對(duì)切換系統(tǒng)造成影響，T越大對(duì)系統(tǒng)的影響也越大，T趨向于0時(shí)對(duì)系統(tǒng)影響最小。當(dāng)T增大到一定程度，軌線會(huì)脫離切換條件控制落入子系統(tǒng)的其他吸引域，因此，本文選取一個(gè)盡量大但又不會(huì)使軌線脫離切換條件控制的T值范圍進(jìn)行研究，以便觀察其對(duì)切換系統(tǒng)的影響。這里選0≤T≤0.22，并且令A(yù)1=B1=0.7，A2=B2=q，取狀態(tài)切換面∑1∶x=0,∑2∶x=2，初始值為(0,0.665,0.124)，分別畫(huà)出不考慮切換斷路時(shí)間的理想狀態(tài)和考慮切換斷路時(shí)間的切換系統(tǒng)隨q變化的分岔圖，用以比較其振蕩行為的差異。

在比較差異之前，首先簡(jiǎn)要說(shuō)明該切換系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。取q=0.67,T=0.22，對(duì)考慮切換斷路時(shí)間的切換系統(tǒng)軌線路徑進(jìn)行分析，其相圖和時(shí)間歷程圖如圖2所示。從圖2a中可以明顯看出：這是一個(gè)周期一振蕩，可以分為AB、BC、CD和DA這4個(gè)部分。首先，假設(shè)初始點(diǎn)為A，切換系統(tǒng)受子系統(tǒng)1控制沿圖2a中箭頭方向的粗實(shí)線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到切換面∑2上的B點(diǎn)，滿足切換條件發(fā)生切換，切換后開(kāi)關(guān)需要時(shí)間T=0.22才能到達(dá)子系統(tǒng)2，在這段時(shí)間里軌線受新形成的子系統(tǒng)0控制沿細(xì)線BC運(yùn)動(dòng)。當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)間0.22后軌線到達(dá)C點(diǎn)，開(kāi)關(guān)切換到子系統(tǒng)2，因此，軌線受子系統(tǒng)2控制沿實(shí)線CD運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到切換面∑1上的D點(diǎn)，又滿足切換條件產(chǎn)生切換，而切換過(guò)程同樣需要時(shí)間T=0.22才能到達(dá)系統(tǒng)1，這段時(shí)間內(nèi)同樣受子系統(tǒng)0控制沿細(xì)線DA運(yùn)動(dòng)。最后經(jīng)過(guò)時(shí)間T=0.22回到A點(diǎn)形成一個(gè)周期一振蕩。從圖2b中可以很清楚地看出q=0.67,T=0.22時(shí)切換系統(tǒng)在x方向隨著時(shí)間變化的振蕩行為，其中，A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)和D點(diǎn)與圖2a中的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。

圖2　q=0.67,T=0.22時(shí)切換系統(tǒng)振蕩機(jī)理圖

通常，畫(huà)出切換系統(tǒng)隨參數(shù)q變化的分岔圖可以很好地表現(xiàn)其分岔特性，因此,取不同的切換斷路時(shí)間T的值，畫(huà)出切換系統(tǒng)隨參數(shù)q變化的分岔圖，并對(duì)這些圖進(jìn)行比較，觀察不同的時(shí)間T對(duì)切換系統(tǒng)分岔圖的影響，以便發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。其中，分別取T=0和T=0.22，以∑1為Poincaré截面，畫(huà)出參數(shù)q∈(0.664,0.900)切換系統(tǒng)的分岔圖,如圖3所示。

圖3　不同切換斷路時(shí)間T時(shí)切換系統(tǒng)隨參數(shù)q變化的分岔圖

由圖3可以看出：隨著T的增大，切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有很大改變。首先，不考慮切換時(shí)間的切換系統(tǒng)分岔圖中參數(shù)為(0.775,0.894)的混沌區(qū)域，在考慮切換時(shí)間后隨著時(shí)間的增大，大部分參數(shù)范圍都變?yōu)橹芷谡袷?，局部參?shù)范圍還會(huì)產(chǎn)生新的混沌現(xiàn)象。另外，在圖3a中，參數(shù)為q∈(0.664,0.775)的周期解區(qū)域，隨著T的增大，大部分參數(shù)范圍都變?yōu)榛煦鐓^(qū)域，少部分區(qū)域周期解的結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變。在不考慮切換時(shí)間時(shí)出現(xiàn)的如圖3a周期解區(qū)域的周期突變現(xiàn)象，隨著時(shí)間T的增大，會(huì)逐漸消失，在圖3b中已經(jīng)幾乎看不到周期突變現(xiàn)象。

3切換斷路導(dǎo)致新的分岔行為

圖4　　　　T=0.22時(shí)切換系統(tǒng)在參數(shù)q為　　　(0.702 0,0.714 0)時(shí)的分岔圖

當(dāng)切換斷路時(shí)間T增大到一定程度，如當(dāng)T=0.22，還會(huì)產(chǎn)生一種特殊的倍周期分岔行為，圖4為圖3b在參數(shù)q為(0.702 0,0.714 0)的放大圖，通過(guò)圖4可以看出其分岔過(guò)程。

通常倍周期分岔都對(duì)應(yīng)著通往混沌的路徑，而在圖4中，隨著參數(shù)的變大，在參數(shù)q(0.703 7,0.707 7)時(shí)切換系統(tǒng)發(fā)生2次倍周期分岔，即從周期二解分岔為周期四解，又從周期四解分岔為周期八解。但是，該過(guò)程并沒(méi)有形成概周期解或者通往混沌，而是又轉(zhuǎn)化為周期四解。這里的倍周期分岔指的是相應(yīng)切換面上切換點(diǎn)數(shù)目的成倍增長(zhǎng)，其成倍增長(zhǎng)的過(guò)程構(gòu)成了其分岔序列。圖5a和圖5b分別是q=0.704 0和q=0.706 0時(shí)切換系統(tǒng)的相圖，通過(guò)比較可以明顯發(fā)現(xiàn)：圖5b的周期數(shù)要比圖5a的周期數(shù)多，在圖5a中切換系統(tǒng)存在一個(gè)周期二解，其對(duì)應(yīng)的每個(gè)子系統(tǒng)控制的軌線都存在兩種運(yùn)動(dòng)，兩種不同的運(yùn)動(dòng)循環(huán)構(gòu)成了一個(gè)周期二解。在圖5b中，切換系統(tǒng)存在一個(gè)周期八解，可以發(fā)現(xiàn)其振蕩行為已經(jīng)類(lèi)似混沌，但還是周期解，隨著參數(shù)的變大并沒(méi)有變?yōu)榛煦纭?/p>

圖5　T=0.22時(shí)切換系統(tǒng)的特殊倍周期分岔過(guò)程

4結(jié)論

考慮切換斷路時(shí)間的狀態(tài)切換系統(tǒng)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)有3個(gè)子系統(tǒng)的時(shí)間狀態(tài)混合切換系統(tǒng)?？紤]切換斷路時(shí)間后，隨著斷路時(shí)間T的變大，在相同參數(shù)和初始值下，原狀態(tài)切換系統(tǒng)的混沌解會(huì)轉(zhuǎn)化成周期解和不同類(lèi)型的混沌解，而周期解的結(jié)構(gòu)也會(huì)逐漸發(fā)生變化，并可能演化成混沌解。因此，實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)綜合考慮切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，把切換斷路時(shí)間控制在一個(gè)合理的值。最后，考慮切換斷路時(shí)間的切換系統(tǒng)還會(huì)產(chǎn)生與原切換系統(tǒng)不同的分岔行為，主要體現(xiàn)在倍周期分岔并沒(méi)有通向混沌。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11472115,11572141,11502091);鎮(zhèn)江市科技攻關(guān)基金項(xiàng)目(GY2013032,GY2013052)

作者簡(jiǎn)介：陳章耀(1960-),男,江蘇鎮(zhèn)江人,副教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要從事非線性動(dòng)力學(xué)方面的研究.

收稿日期：2016-03-08

文章編號(hào)：1672-6871(2016)05-0087-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.019

中圖分類(lèi)號(hào)：O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A