李天明 姚 敏 徐傳敬 陳 奇

南京航空航天大學(xué)，南京 211100

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基于高度裕量的翼傘空投系統(tǒng)航跡規(guī)劃

李天明 姚 敏 徐傳敬 陳 奇

南京航空航天大學(xué)，南京 211100

首先建立翼傘六自由度的模型，利用最優(yōu)控制理論，分別采用時間最優(yōu)控制、能量最優(yōu)控制以及相應(yīng)的改進控制算法對翼傘空投控制技術(shù)進行比較研究。并提出以高度作為判斷準(zhǔn)則的系統(tǒng)歸航方案，分別對比在不同的高度下，各控制方法的優(yōu)缺點及適用性。在此基礎(chǔ)上運用Simulink仿真驗證不同高度下的最佳規(guī)劃航跡，最終為實際翼傘的投放提供理論基礎(chǔ)。

航跡規(guī)劃；最優(yōu)控制；模型；高度裕量

當(dāng)代，翼傘的應(yīng)用已非常廣泛。傳統(tǒng)空投中，空投物的落地點具有一定的隨機性，其著陸偏差較大。相比傳統(tǒng)的圓形降落傘，可控翼傘有很多優(yōu)點[1]，其良好的滑翔性能，可以在遠(yuǎn)離著陸區(qū)的空域釋放。因此可控翼傘空投系統(tǒng)得到了廣泛的研究。本文將最優(yōu)控制算法應(yīng)用到翼傘的精確空投中，根據(jù)不同的性能指標(biāo)要求確定不同的控制方法，規(guī)劃相應(yīng)的最優(yōu)控制軌跡，進而分析不同控制方法的異同點及適用性。

1 翼傘系統(tǒng)的飛行建模

由于本文主要研究翼傘系統(tǒng)質(zhì)心的運動，因此可以將傘體和載體看作剛性的連接，對完全打開后的可控翼傘系統(tǒng)建立六自由度運動模型，并在該模型的基礎(chǔ)上進行運動特性的仿真分析。

1.1 基本假設(shè)

對翼傘系統(tǒng)做以下的基本假設(shè)[2]：

1)空投物與翼傘之間無相對運動，即將物傘系統(tǒng)視為剛性連接；

2)翼傘是展向?qū)ΨQ的，即當(dāng)傘衣完全張滿時形狀是固定的；

3)翼傘的質(zhì)心位于翼弦面上，并與壓力中心重合，其位置在運動過程中保持不變。

1.2 翼傘系統(tǒng)運動方程

翼傘系統(tǒng)的模型可由以下六自由度方程來表示[3]質(zhì)心平動的3個慣性位置自由度和轉(zhuǎn)動的3個歐拉角。

(1)

(2)

令翼傘航跡角(速度與正北方向的夾角)為ζ，且

ζ=ψ+β

(3)

其中，ψ是翼傘的偏航角；β是側(cè)滑角，且在翼傘平衡下降過程不變，則運動學(xué)方程可表示為：

x′=Vcosγcosζ+wx
y′=Vcosγsinζ+wy
z′=Vsinγ

(4)

式中，γ是系統(tǒng)平穩(wěn)下降運動的下滑角。圖1是系統(tǒng)受力的側(cè)視圖。對其進行受力分析：

圖1 翼傘受力分析側(cè)視圖

D=-WsinγL′cosσ=Wcosγ

(5)

其中,L′可視為翼傘的升力，則下滑角以及轉(zhuǎn)彎角速度為[3]：

(6)

(7)

其中，升阻比L/D，速度V，傾斜角σ都與其初始值和下拉量有關(guān)。因此，對于標(biāo)準(zhǔn)翼傘而言，在已知風(fēng)速等環(huán)境參數(shù)的情況下，相對下拉量即決定了翼傘的運動狀態(tài)。

1.3 翼傘模型的簡化

現(xiàn)在定義參數(shù)：

τ=z(t0)-z(t)

(8)

在翼傘下降過程中，變量τ∈[0,H]。式(8)對時間求導(dǎo)，并結(jié)合式(4)可得：

(9)

對式 (4)進行變換，用(·)′表示對τ的求導(dǎo)，變換之后的翼傘運動方程為：

(10)

由此可知，在引入了新的變量之后，不僅降低了模型的計算維數(shù)，而且此時的自變量取值范圍也固定了。

上述運動方程都是基于地面坐標(biāo)系的，難以解決風(fēng)速的影響，將空投系統(tǒng)航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換到氣流坐標(biāo)系，可以去除風(fēng)的影響，使問題簡化[4]，在此坐標(biāo)系下，運動方程可以再次簡化：

(11)

2 不同高度裕量的航跡規(guī)劃

基于最優(yōu)控制的航跡規(guī)劃實際上就是運用最優(yōu)控制算法規(guī)劃一條航跡，使翼傘降落到地面時，正好到達目標(biāo)點，且此時翼傘方向為逆風(fēng)方向，以能完成雀降。假設(shè)預(yù)期的目標(biāo)點是0點，且逆風(fēng)方向是x軸正向,則所需的末端條件：

(12)

2.1 最優(yōu)控制問題的描述

對于上述航跡規(guī)劃的最優(yōu)控制問題，哈密頓函數(shù)可以表示為：

H=L(x(t),u)+λxcosζ+λysinζ+λζu

(13)

其中，正則方程：

(14)

將式(11)帶入上式積分得：λx=c2，λy=-c1，λζ=c1x+c2y+c，其中，c1,c2,c均為常數(shù)，且因為協(xié)態(tài)向量不為0，所以c1,c2,c不同時為0。航跡規(guī)劃最優(yōu)控制問題,即在控制量-umax≤u≤umax范圍內(nèi)找到最優(yōu)值，使哈密頓函數(shù)收斂于極小值。

2.2 最優(yōu)時間控制

2.2.1 杜賓曲線

對于最小時間控制來說，性能指標(biāo)為：

L(x(t),u)=1

(15)

將式(15)帶入式(13)可得

H=1+λxcosζ+λysinζ+λζu

(16)

當(dāng)最優(yōu)控制量存在于可控范圍內(nèi)，為求輸入量u變化時哈密頓函數(shù)最小值，可求其偏導(dǎo)?H/?u=λζ。λζ>0時，哈密頓函數(shù)是一個關(guān)于輸入量的正比例函數(shù)，此時最優(yōu)解取輸入量最小值。否則為反比例函數(shù)，此時最優(yōu)解取輸入量u最大值。

(17)

將式(17)控制量u代入到翼傘運動方程(11)可得最優(yōu)時間控制歸航的一些性質(zhì)[6]：

1)最優(yōu)控制量的取值是離散的，取0或±umax，所以最優(yōu)規(guī)劃軌跡是由半徑最小的圓和直線組成;

2)最優(yōu)航跡的直線組成部分相互平行，且指向一致;

3)直線λζ=0將航跡分成了兩部分，一邊控制量為正，一邊控制量為負(fù)。

杜賓曲線就是翼傘從某一高度下降，規(guī)劃航跡中所用時間最優(yōu)的曲線。此時由不超過三段軌跡組成，每段軌跡要么是最小轉(zhuǎn)彎半徑的圓弧，要么就是一條直線(u=0)。

也就是說，時間最優(yōu)規(guī)劃航跡通常有以下6種可能：RSR，RSL，LSR，LSL，LRL，RLR，其中R代表最小轉(zhuǎn)彎半徑右轉(zhuǎn)圓弧，L代表最小轉(zhuǎn)彎半徑左轉(zhuǎn)圓弧，S代表直線運動軌跡。

翼傘投放起點是(500，-320)，目標(biāo)點是原點(0,0)，最終逆風(fēng)方向為x軸正方向。時間最優(yōu)規(guī)劃軌跡如圖2所示，可得當(dāng)翼傘降落到目標(biāo)0點時，各種可能航跡下降的高度為RSR(1730m),RSL(2400m),LSR(1790m),LSL(1700m),LRL(1840m),RLR(2690m)。由此，得到最優(yōu)時間控制的一個重要屬性[8]：采用最優(yōu)時間控制規(guī)劃航跡，從起始投放點到目標(biāo)點，所需下降的高度是離散且確定的。

圖2 杜賓曲線示意圖

2.2.2 高度裕量的定義

根據(jù)2.2.1節(jié)所討論的杜賓曲線，對于同一個投放點，不同的路徑所需的下降高度不同?，F(xiàn)在定義所有的杜賓曲線中下降高度的最小值是τmin。即

τmin=min{τRSRτLSLτRSLτLSRτRLRτLRL}

(18)

顯然，對于同一個起始投放點和目標(biāo)降落點，精確歸航所需的降落高度(即落地點的τ)τf必須滿足以下條件：

τf≥τmin

(19)

令翼傘以最大的轉(zhuǎn)彎角速度(即最小的轉(zhuǎn)彎半徑)旋轉(zhuǎn)一圈所消耗的高度為τcircle，則高度裕量η，將其定義為超過系統(tǒng)歸航所需的垂直距離的標(biāo)準(zhǔn)化衡量尺度，表示為：

(20)

2.3 改進杜賓曲線

2.2節(jié)所分析的基于時間最優(yōu)的杜賓曲線并不能直接運用于實際的航跡規(guī)劃問題，因為該方法中翼傘歸航所需的下降高度是離散且固定的，并不具有普遍適應(yīng)性。然而，對于任意高度裕量大于0的情況，都可以對上述杜賓曲線進行修改：即用一個更大的轉(zhuǎn)彎半徑的圓弧代替杜賓曲線的圓弧，此時翼傘的轉(zhuǎn)彎角速度變小，以消耗掉多余的高度，最終滿足航跡規(guī)劃的末端條件[8]。

改進杜賓曲線即是找到一個轉(zhuǎn)彎半徑r>Rdubin的杜賓曲線，滿足末端著陸條件。

2.4 最優(yōu)能量控制

在翼傘投放過程，每次對翼傘兩側(cè)操縱繩施加下拉量，其響應(yīng)必然會有一定的遲滯性。因此，為保障系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)避免頻繁的操縱，盡量使控制過程能量消耗最小。

由2.1節(jié)可得，系統(tǒng)需要滿足最優(yōu)控制算法的正則方程，正則向量分別是λx=c2,λy=-c1,λζ=c1x+c2y+c。且此時的性能指標(biāo)：

(21)

控制量在可控范圍內(nèi)時，同樣可以得到不同條件下控制量的取值。

(22)

分析上述的控制量可知，當(dāng)控制量處于不飽和狀態(tài)時，即

u=-λζ=-(c1x+c2y+c)

(23)

可以分析最優(yōu)航跡的一些性質(zhì)[9]：

1)顯然，當(dāng)u=0，即c1x+c2y+c=0時，此直線將平面分成2個部分，一邊嚴(yán)格大于0，一邊嚴(yán)格小于0；

3)與時間最優(yōu)控制相比，能量最優(yōu)控制一般沒有直線滑翔段；

4)控制量在不受邊界控制的情況下，航跡不會出現(xiàn)同一個圓的一段連續(xù)圓弧。

2.5 能量管理控制

當(dāng)高度裕量較大時，以上的航跡規(guī)劃控制方法并不能很好地適用能量管理控制規(guī)劃航跡[10]。可以分成以下幾段：起始是一段杜賓曲線，起點是翼傘投放點，終點是下一階段的圓上。此階段目的是使翼傘盡快靠近目標(biāo)點。第二階段的航跡是一個圓，圓心位于過起點且斜率是±1的直線上，且距離終點水平面上距離較近。此階段的翼傘轉(zhuǎn)彎角速度控制在最大轉(zhuǎn)彎角速度的80%左右，翼傘沿著該圓螺旋下降，直到高度裕量η≤5，該階段結(jié)束。此階段是一個盤旋削高的過程，目的是通過盤旋降低翼傘的高度裕量。最后一個階段是降低高度后運用上節(jié)的能量最優(yōu)控制使得翼傘最終到達目標(biāo)點。

2.6 各控制方法適用性對比

以上幾種最優(yōu)控制算法都可以實現(xiàn)對航跡的規(guī)劃，但每種方法都有其優(yōu)勢及局限性，對于不同的高度，不同的控制方法具有不同的優(yōu)劣性。對于杜賓曲線，固定的投放點，只能實現(xiàn)固定離散高度的航跡規(guī)劃，適用性很差。對于能量最優(yōu)控制，在規(guī)劃航跡之前， 參數(shù)c1,c2,c需要預(yù)估，當(dāng)投放點的高度裕量較小或者距離目標(biāo)點之間的水平距離較大時，預(yù)估參數(shù)較小的偏差都會造成最終降落點較大的偏差[11]。當(dāng)高度裕量小到1時，翼傘系統(tǒng)很難收斂到目標(biāo)點,此時改進的杜賓曲線較為合適。高度裕量大于1時，此時為了減少能量的消耗，更多地運用能量最優(yōu)控制方式。當(dāng)高度裕量大于5之后，能量管理控制方法在處理這種問題時有獨特的優(yōu)勢。因此，對不同高度情況下的翼傘規(guī)劃航跡，首先根據(jù)投放點和目標(biāo)點求出τmin和τcircle，再根據(jù)高度求出高度裕量，根據(jù)以下原則選擇航跡規(guī)劃方法[6]:

1)高度裕量η<0，將翼傘對準(zhǔn)目標(biāo)點直線投放以減少誤差；

2)高度裕量0≤η≤1，運用改進杜賓曲線規(guī)劃航跡；

3)高度裕量1≤η≤5，采用能量最優(yōu)控制方法產(chǎn)生規(guī)劃航跡；

4)高度裕量η≥5，采用能量管理控制。

3 仿真結(jié)果及分析

通過上節(jié)分析可得，對翼傘航跡規(guī)劃，只需求出翼傘的高度裕量，找到對應(yīng)的航跡規(guī)劃最優(yōu)控制方法，再根據(jù)對應(yīng)的航跡規(guī)劃方法規(guī)劃出航跡。

已知翼傘投放過程中，翼傘最大控制量對應(yīng)的最小轉(zhuǎn)彎半徑為180m，則此時轉(zhuǎn)彎一圈所消耗的高度τcircle=1125m。

3.1 高度裕量0≤η≤1

已知投放點坐標(biāo)是(500,-320)，起始投放方向是x軸正方向，末端降落點(0,0)，且最終逆風(fēng)方向也是x軸正方向，由杜賓曲線可得，此時最小下降高度是1700m。假設(shè)此時的下降高度是1840m；則裕量η=0.125，處于0～1之間，根據(jù)上節(jié)分析，此時選擇改進杜賓曲線規(guī)劃航跡。

圖3 η=0.125翼傘控制歸航軌跡

圖3所示，翼傘高度下降為0，即到達水平面時，此時翼傘在水平面的坐標(biāo)正好在目標(biāo)點左右，即說明此時能夠準(zhǔn)確到達目標(biāo)點。

3.2 高度裕量1≤η≤5

當(dāng)投放起點仍是(500,-320)，下降高度升高至3000m時，此時的高度裕量η=1.16，處于1～5之間，選用能量最優(yōu)控制算法。

圖4所示即為起始投放高度為3000m時的投放軌跡，當(dāng)高度降為0時，其著陸點滿足條件。

圖4 η=1.16翼傘控制歸航軌跡

3.3 高度裕量η>5

假設(shè)起始投放點坐標(biāo)是(2000,900)，下降高度是9000m，其高度裕量遠(yuǎn)大于5，其他的條件和上列情況一致，此時選用能量管理控制。

圖5 η>5翼傘控制歸航軌跡

圖5為高度裕量大于5的航跡規(guī)劃，主要分為3段，首先是杜賓曲線段，作用是快速接近目標(biāo)點，然后是盤旋削高段，消耗多余高度。當(dāng)裕量小于5時，用3.2節(jié)內(nèi)容，采用能量最優(yōu)控制到達目標(biāo)點。

4 結(jié)論

將最優(yōu)控制算法應(yīng)用到翼傘航跡規(guī)劃中，分別采用時間最優(yōu)控制、能量最優(yōu)控制以及能量管理控制對翼傘空投控制技術(shù)進行研究，得到不同控制技術(shù)的特點，找出對于不同高度的最優(yōu)的控制方法，并仿真驗證了各方法的可行性，為實際翼傘的投放提供理論基礎(chǔ)。

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The Homing Trajectory Planning of Parafoil System Based on Height Margin

Li Tianming, Yao Min, Xu Chuanjing, Chen Qi

Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211100, China

Asix-degrees-of-freedommodelisestablishedfortheparafoilhomingcontrolling,basedontheoptimalcontroltheory,theminimum-time,theminimum-control-energyandthestudyofimprovedcontrolalgorithmwhichiscomparedwithparafoilairdropcontroltechnology.Bytakingaltitudemarginasthejudgingcriterionofthehomingscheme,theiradvantagesandapplicabilityatdifferentaltitudesarediscussed.Basedonthese,throughSimulinkmodelsimulation,theoptimalhomingtrajectoryatdifferentaltitudesisobtainedandtheoreticalprincipleforactualparafoilairdropisintroduced.

Trajectoryplanning;Optimalcontrol;Model;Altitudemargin

2015-08-27

李天明(1991-)，男，江蘇南通人，碩士研究生，主要研究方向為計算機測控和翼傘歸航控制；姚 敏(1975-)，女，江蘇揚州人，副教授，主要研究方向為計算機、嵌入式系統(tǒng)；徐傳敬(1990-)，男，山東人，主要研究方向為嵌入式系統(tǒng)；陳 奇(1981-)，男，貴州人，講師，主要研究方向為翼傘建模與控制。

V249

A

1006-3242(2016)03-0041-05