徐衛(wèi)敏，雷　霆

(1.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 311231；2.上海容承企業(yè)管理有限公司，上海 210052)

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基于三次B樣條多項(xiàng)式逼近的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度概率評(píng)估方法

徐衛(wèi)敏1，雷霆2

(1.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 311231；2.上海容承企業(yè)管理有限公司，上海 210052)

確定混凝土表面裂縫寬度及其影響因素對(duì)海洋環(huán)境中的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評(píng)估和設(shè)計(jì)非常關(guān)鍵，可作為沿海鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)使用壽命的測(cè)度。在此提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度評(píng)估的概率方法。將混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度達(dá)到容許值的時(shí)間定義為失效時(shí)間，基于三次B樣條多項(xiàng)式逼近方法獲得了與各隨機(jī)變量相對(duì)應(yīng)的失效時(shí)間的均值和變異系數(shù)。結(jié)果表明，當(dāng)鋼筋直徑和銹蝕電流密度均服從正態(tài)分布時(shí)，失效時(shí)間分別服從正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布；保護(hù)層厚度、混凝土抗拉強(qiáng)度和彈性模量的變異性對(duì)失效時(shí)間幾乎沒(méi)有影響。最后，定量評(píng)價(jià)了鋼筋直徑和銹蝕電流密度對(duì)失效時(shí)間的影響。

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)；表面裂縫寬度；評(píng)估；概率方法

沿海地區(qū)的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期處于氯離子含量較高的環(huán)境中，氯離子侵蝕引起鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的嚴(yán)重銹蝕，主要表現(xiàn)為混凝土結(jié)構(gòu)表面出現(xiàn)大量裂縫并伴隨著部分保護(hù)層剝落，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)性能不斷退化[1]。結(jié)構(gòu)加固和維修不僅費(fèi)用昂貴，而且給公眾帶來(lái)諸多不便[2]。在實(shí)際工程中，正常使用極限狀態(tài)下以混凝土保護(hù)層的銹脹開(kāi)裂作為鋼筋混凝土構(gòu)件壽命終結(jié)的標(biāo)志，通常將混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度作為結(jié)構(gòu)加固和維修的依據(jù)。因此，需對(duì)氯離子侵蝕導(dǎo)致結(jié)構(gòu)開(kāi)裂的過(guò)程進(jìn)行研究，觀測(cè)裂縫的發(fā)展并確定裂縫寬度，分析其主要影響因素，這對(duì)于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化維修策略的制訂起著重要的作用。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)氯離子侵蝕引發(fā)混凝土結(jié)構(gòu)表面開(kāi)裂方面展開(kāi)了大量的研究，理論分析大多基于有限法確定銹脹力并預(yù)測(cè)開(kāi)裂后的混凝土性能，Molina等人將混凝土模擬成線性材料，研究混凝土中裂縫的擴(kuò)展[3]。鄭建軍等人考慮混凝土的軟化特性，導(dǎo)出了混凝土保護(hù)層銹脹開(kāi)裂的解析解[4]。Li等人進(jìn)一步提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度的計(jì)算模型[5]。王海龍等人基于鋼筋均勻銹蝕時(shí)混凝土的開(kāi)裂試驗(yàn)現(xiàn)象建立了混凝土保護(hù)層開(kāi)裂的計(jì)算模型，考慮了混凝土和鋼筋的實(shí)際變形情況以及混凝土界面中的原始裂紋與缺陷，裂紋在鋼筋銹蝕膨脹作用下的起裂、擴(kuò)展情況，利用斷裂力學(xué)和彈性力學(xué)得到了混凝土保護(hù)層開(kāi)裂時(shí)鋼筋的膨脹力和均勻銹蝕率的理論預(yù)測(cè)模型[6]。實(shí)驗(yàn)研究中，為了在較短的時(shí)間內(nèi)獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，大多采用各種方法加速鋼筋銹蝕[7-8]。如Andrade等利用電流密度加速法測(cè)得混凝土表面裂縫寬度值隨時(shí)間的發(fā)展，并確定鋼筋截面的減少量與裂縫寬度間的關(guān)系[1]。以上這些研究均基于確定性方法，沒(méi)有考慮混凝土材料性能和外界環(huán)境因素的變異性。程功等人利用Monte-Carlo方法提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度評(píng)估的概率方法。計(jì)算表明，為了達(dá)到穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，需要進(jìn)行大量次數(shù)的模擬[9]。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)各變量的統(tǒng)計(jì)特征，利用三次樣條函數(shù)對(duì)裂縫寬度進(jìn)行擬合，提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度概率評(píng)估方法。

1　混凝土表面裂縫寬度計(jì)算

為了方便起見(jiàn)，在分析混凝土保護(hù)層受力特性時(shí)，通常將它簡(jiǎn)化成如圖1所示由鋼筋和混凝土保護(hù)層所組成的厚壁圓筒[4,10]。圖1中，D表示鋼筋直徑，C表示混凝土保護(hù)層厚度，該圓筒內(nèi)外半徑分別為a=D/2和b=D/2+C。當(dāng)混凝土中的鋼筋銹蝕后，鐵銹厚度ds(t)是時(shí)間、鋼筋直徑和銹蝕電流密度的函數(shù)，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理論分析來(lái)確定[7]。根據(jù)程功等人的理論推導(dǎo)[9]，混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度為

(1)

圖1　混凝土保護(hù)層計(jì)算模型

2　三次B樣條函數(shù)基本理論

設(shè)[a,b]為給定三次樣條函數(shù)逼近區(qū)間，且對(duì)區(qū)間[a,b]有剖分等距Δ：a=x0

(2)

節(jié)點(diǎn)xk上的B樣條基函數(shù)Bk(x)可以由B0(x)向右移動(dòng)k個(gè)節(jié)點(diǎn)確定，即Bk(x)=B0(x-kh+x0)。基函數(shù)Bk-1(x)、Bk(x)、Bk+1(x)以及Bk+2(x)如圖2所示。值得指出是，這4個(gè)基函數(shù)在區(qū)間[xk,xk+1]上均不為零。

圖2　三次B樣條函數(shù)基函數(shù)

節(jié)點(diǎn)x0上的樣條函數(shù)基函數(shù)B0(x)的二階導(dǎo)數(shù)B″0(x)可以表示為：

(3)

同樣地，節(jié)點(diǎn)xk上的B樣條基函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)B″k(x)可以由B″0(x)向右移動(dòng)k個(gè)節(jié)點(diǎn)確定。

區(qū)間[x0,xn]上的函數(shù)三次樣條函數(shù)S(x)可以表示為B樣條基函數(shù)的線性組合，即

(4)

由于基函數(shù)B-1(x)在區(qū)間[x0，x1]、基函數(shù)Bn+1(x)在區(qū)間[xn-1,xn]不為零，因此式(4)求和考慮了B-1(x)與Bn+1(x)對(duì)樣條函數(shù)S(x)的影響。

對(duì)于隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)fx(x)，如果區(qū)間[a,b]取得足夠大，可以假定區(qū)間[a,b]外的函數(shù)值為0。因此，根據(jù)連續(xù)性要求，區(qū)間[a,b]兩端樣條函數(shù)S(x)假設(shè)滿足以下條件：

(5)

根據(jù)B樣條基函數(shù)特點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)x0處，S(x0)=C-1B-1(x0)+C0B0(x0)+C1B1(x0)。B-1(x0)、B1(x0)可由基函數(shù)B0(x)計(jì)算得到，即

(6)

這樣就得到

0=S(x0)=C-1B-1(x0)+C0B0(x0)+

(7)

整理得，

C-1+4C0+C1=0

(8)

同理有，

Cn-1+4Cn+Cn+1=0

(9)

節(jié)點(diǎn)x0上樣條函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)S″(x0)=C-1B″-1(x0)+C0B″0(x0)+C1B″1(x0)，B″-1(x0)、B″1(x0)可由基函數(shù)B″0(x)計(jì)算得到，即

(10)

這樣就得到

0=S(x0)=C-1B-1(x0)+C0B0(x0)+

C1B1(x0)=h(c-1-2C0+C1)

(11)

整理得，

C-1-2C0+C1=0

(12)

同理有，

Cn-1-2Cn+Cn+1=0

(13)

方程(8)、(9)和方程(12)、(13)共建立4個(gè)條件，剩余的n+3-(4)=n-1個(gè)條件可由隨機(jī)變量X的前(n-1)階矩確定。由于高階矩在數(shù)值上存在不穩(wěn)定性，本文在計(jì)算中采用前四階矩。

隨機(jī)變量X的k次矩μk定義為：

(14)

利用樣條函數(shù)S(x)近似逼近概率密度函數(shù)fx(x)，則μk可以表達(dá)為

(15)

3　失效時(shí)間的統(tǒng)計(jì)特征和擬合

本文將表面裂縫寬度達(dá)到該容許值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間定義為失效時(shí)間tf。當(dāng)混凝土保護(hù)層完全開(kāi)裂后，表面裂縫成為氯離子擴(kuò)散的新通道，加速鋼筋銹蝕，導(dǎo)致表面裂縫寬度進(jìn)一步增大?；谶@一點(diǎn)，建筑規(guī)范中通常規(guī)定混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度的容許值wa作為結(jié)構(gòu)加固和維修的依據(jù)，根據(jù)結(jié)構(gòu)形式和環(huán)境條件，wa值一般在0.1～0.4mm之間，而美國(guó)ACI規(guī)范規(guī)定該值為0.3mm[1]。因此，本文在下面分析中，wa一律取為0.3mm。

由上述理論分析可知，影響tf的主要因素包括保護(hù)層厚度、鋼筋直徑、銹蝕電流密度、混凝土彈性模量和抗拉強(qiáng)度，在實(shí)際工程中他們往往具有一定的變異性。我們發(fā)現(xiàn)保護(hù)層厚度、混凝土抗拉強(qiáng)度和彈性模量變異性對(duì)tf幾乎沒(méi)有影響，在下面的分析中一律將它們看成是常數(shù)。因此本文僅對(duì)主要影響因素保護(hù)層厚度、鋼筋直徑和銹蝕電流密度進(jìn)行分析，且均假設(shè)它們服從正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)見(jiàn)表1。在該表中，N()指變量服從正態(tài)分布，LN()指變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

表1　各物理參數(shù)和tf的均值和變異系數(shù)

基于三次B樣條函數(shù)逼近tf概率密度函數(shù)的計(jì)算步驟可歸納如下：

(1)根據(jù)基本隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)特征，對(duì)tf進(jìn)行抽樣；

(2)根據(jù)抽樣結(jié)果，計(jì)算tf統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征，即各階矩；

為了定量評(píng)價(jià)各參數(shù)對(duì)失效時(shí)間tf的影響，在下面的分析中，每次設(shè)其中一個(gè)參數(shù)服從正態(tài)分布，其余參數(shù)為定值，其數(shù)值等于它們各自的均值。

4　鋼筋直徑和銹蝕電流密度變異性的影響

應(yīng)用三次B樣條擬合算法可獲得由鋼筋直徑和銹蝕電流密度變異性引起的tf的概率密度函數(shù)P，其結(jié)果見(jiàn)圖3～6，相應(yīng)的均值和變異系數(shù)見(jiàn)表1。從這4張圖可以看出，tf近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。為了進(jìn)一步驗(yàn)證這一結(jié)論，利用上述采樣所求得的均值和方差可獲得相應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合，其結(jié)果見(jiàn)圖3～6，從而可以看出，證實(shí)tf確實(shí)近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

圖3　由D的變異性引起的tf的概率密度函數(shù)

圖4　由D的變異性引起的tf的累積分布函數(shù)

圖5　由icorr變異性引起的tf的概率密度函數(shù)

圖6　由icorr變異性引起的tf的累積分布函數(shù)

5　鋼筋直徑和銹蝕電流密度變異性對(duì)失效時(shí)間的影響

在分析鋼筋直徑D的變異性對(duì)tf的影響時(shí)，先設(shè)D的變異系數(shù)δD=0.15，可得到tf的均值Mtf與D的均值MD之間的關(guān)系，其結(jié)果見(jiàn)圖7；再設(shè)MD=16 mm，同樣可得到δtf與δD之間的關(guān)系，其結(jié)果見(jiàn)圖8。從圖7和圖8可以看出，Mtf和δtf分別隨著MD和δD的增大而幾乎線性增大，一方面表明由于鐵銹厚度與鋼筋直徑成反比，增大鋼筋直徑可有效地延長(zhǎng)失效時(shí)間；另一方面也表明在設(shè)計(jì)中可以通過(guò)減小D的變異性來(lái)控制tf的變異性。進(jìn)一步數(shù)值分析表明，當(dāng)鋼筋直徑的均值MD從8 mm增大到20 mm時(shí)，Mtf增大149%。

在分析銹蝕電流密度的變異性對(duì)tf的影響時(shí)，先設(shè)銹蝕電流密度的變異系數(shù)δi=0.15，可得到Mtf和銹蝕電流密度的均值Mi之間的關(guān)系，其結(jié)果見(jiàn)圖9；再設(shè)Mi=2.41 μA/cm2，同樣可得到δtf與δi之間的關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖10。從圖9、圖10可以看出，由于鐵銹厚度隨銹蝕電流密度的增大而增大，Mtf隨著Mi的增大而減小，而δtf則隨著δi的增大而幾乎線性增大。進(jìn)一步的數(shù)值分析表明，當(dāng)銹蝕電流密度均值從1.79 μA/cm2增大到3.75 μA/cm2時(shí)，Mtf減小52%。

圖7　Mtf和MD的關(guān)系

圖8　δtf和δD的關(guān)系

圖9　Mtf和Mi的關(guān)系

圖10　δtf和δi的關(guān)系

6　結(jié)　語(yǔ)

本文通過(guò)研究得到如下主要結(jié)論：

1)基于混凝土開(kāi)裂后的控制方程，提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度評(píng)估的概率方法。

2)數(shù)值模擬結(jié)果證實(shí)，當(dāng)鋼筋直徑和銹蝕電流密度均服從正態(tài)分布時(shí)，失效時(shí)間分別服從正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

3)當(dāng)鋼筋直徑的均值從8mm增大到20mm時(shí)，失效時(shí)間增大149%；當(dāng)銹蝕電流密度的均值從1.79μA/cm2增大到3.75μA/cm2時(shí)，失效時(shí)間減小52%。

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Appraisal Method of the Width Probability of Cracks on theSteel Reinforced Concrete Structure Surface Based on theApproximation of Triple B Spline Multinomial

XU Weimin1, LEI Ting2

2016-04-13

徐衛(wèi)敏(1982—)，女，浙江臺(tái)州人，工程師，從事建筑結(jié)構(gòu)教學(xué)工作。

TU375

A

1008-3707(2016)06-0005-05