姚少林，張政保，許　鑫，劉廣凱

（軍械工程學院，石家莊　050003）

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基于估計協(xié)方差MME檢測的頻譜感知算法

姚少林，張政保，許鑫，劉廣凱

（軍械工程學院，石家莊050003）

摘要：針對小采樣數(shù)據(jù)長度下，采樣協(xié)方差矩陣對統(tǒng)計協(xié)方差矩陣估計不準，影響傳統(tǒng)最大最小特征值（MME）檢測算法檢測性能的問題，提出一種基于逼近收縮（OAS）矩陣估計的改進MME檢測算法。首先利用OAS估計量對采樣數(shù)據(jù)做協(xié)方差矩陣估計，再對估計協(xié)方差矩陣特征值分解，將最大最小特征值之比作為檢測統(tǒng)計量，克服了傳統(tǒng)MME算法檢測門限隨采樣點大幅波動的缺陷，提高了檢測門限的魯棒性。仿真結果表明，所提算法的檢測門限具有魯棒性，檢測性能提高了1 dB～2 dB。

關鍵詞：認知無線電，頻譜感知，最大最小特征值，協(xié)方差矩陣估計，隨機矩陣理論

0　引言

頻譜感知是實現(xiàn)認知無線電（Cognitive Radio，CR）技術的關鍵環(huán)節(jié)。次級用戶（Secondary User，SU）對空閑頻段和主用戶（Primary User，PU）信號的準確感知是實現(xiàn)頻譜高效利用的前提［1-2］。

近年來，利用接收信號采樣協(xié)方差矩陣的頻譜感知方法發(fā)展迅速。有學者先后提出協(xié)方差絕對值（Covariance Absolute Value，CAV）、最大最小特征值（MME）、能量最小特征值（Energy-Minimum Eigenvalue，EME）、最大最小特征值之差（Difference Between the Maximum and the Minimum Eigenvalue，DMM）的檢測算法［3-6］。這些算法以高維度隨機矩陣理論（Random Matrix Theory，RMT）為基礎，利用了采樣數(shù)據(jù)長度趨于無窮時，Wishart隨機矩陣最小特征值的漸進極值定理和最大特征值服從Tracy-Widom分布定理，充分利用采樣協(xié)方差矩陣的元素和特征值分布的差異構造檢測統(tǒng)計量，在存在噪聲功率不確定性時，這些算法較ED有更好的檢測性能。然而，這些算法都利用了采樣數(shù)據(jù)長度無窮的假設條件，當采樣數(shù)據(jù)長度較小時，利用采樣協(xié)方差矩陣替代統(tǒng)計協(xié)方差不夠準確，因此，對小采樣數(shù)據(jù)下的統(tǒng)計協(xié)方差矩陣進行有效估計是提高檢測性能的基礎。

統(tǒng)計協(xié)方差矩陣的估計是信號處理領域的一個基本問題［7-8］。采樣數(shù)據(jù)長度趨于無窮時，采樣協(xié)方差矩陣估計量是統(tǒng)計協(xié)方差矩陣的最大似然估計且是無偏估計，但在采樣數(shù)據(jù)長度較小、數(shù)據(jù)維度較高時，采樣協(xié)方差矩陣估計量不滿足最小均方誤差（Minimum Mean-Squared Error，MMSE）的要求，是統(tǒng)計協(xié)方差矩陣的一種比較差的估計量［7-8］。Stein證明了對采樣協(xié)方差矩陣收縮估計的方法可以獲得對統(tǒng)計協(xié)方差矩陣更好的估計性能［9］。Ledoit和Wolf提出了LW（Ledoit-Wolf）估計量［10-11］。此后，有學者提出了RBLW（Rao-Blackwell Ledoit-Wolf）和逼近收縮（Oracle Approximating Shrinkage，OAS）改進的估計量，并將其應用于波束成形和無線傳感器網(wǎng)絡信號檢測，發(fā)現(xiàn)OAS方法有更好的估計性能［8］。

根據(jù)以上分析，本文提出基于OAS方法的估計協(xié)方差矩陣MME檢測算法。算法利用OAS方法得到估計的協(xié)方差矩陣，將估計協(xié)方差矩陣的MME之比作為檢測統(tǒng)計量。仿真結果表明，在采樣數(shù)據(jù)長度較小的情況下，所提算法的檢測門限具有穩(wěn)定性，同時較MME檢測算法有更好的檢測性能。

1　系統(tǒng)模型

在認知無線電網(wǎng)絡（Cognitive Radio Network，CRN）中，假設SU僅有一個接收天線，基于單個SU的觀測對PU信號進行頻譜檢測。令x（t）為經過未知信道的時間連續(xù)的接收信號，Ts為采樣周期，則接收的采樣可以表示為

認知用戶對某頻段信號的檢測實際上屬于二元假設檢驗問題，檢測模型如下：

H0表示接收信號僅含噪聲，PU信號不存在，該頻段空閑。H1表示接收信號包含PU信號和噪聲信號，該頻段被占用。其中，假設w［n］是均值為0、方差為的加性高斯白噪聲，w［n］的每次采樣獨立同分布（i.i.d）。s（n）是經過未知信道且信號分布未知的PU信號采樣，且噪聲和PU信號不相關。

假設在第i個感知周期內的采樣數(shù)據(jù)用矩陣Γx，i表示，Γx，i中列向量的元素為L個連續(xù)采樣數(shù)據(jù)（也被稱為平滑因子），可以用列向量xi來表示，Γx，i中行向量的元素為N個連續(xù)采樣數(shù)據(jù)［12］。采樣數(shù)據(jù)構造的感知矩陣結構如下

其中，xi～N（，Rx），為均值，Rx為統(tǒng)計協(xié)方差矩陣。每個感知周期共包括Ntot個采樣數(shù)據(jù)，根據(jù)感知矩陣的結構可得到下式

實際上，觀測信號的協(xié)方差矩陣是未知的。采樣協(xié)方差矩陣是統(tǒng)計協(xié)方差矩陣Rx的一種經典估計量。假設采樣信號的均值為0，則采樣協(xié)方差矩陣可以表示為

2　基于估計協(xié)方差矩陣的MME檢測算法

頻譜感知作為CR的基礎，要求必須能夠在保證虛警概率（Pfa）的前提下，最快地檢測出某頻段是否被占用。提高采樣數(shù)據(jù)長度，固然能夠提高檢測概率（Pd），同時也會增加感知時間，增加認知設備的計算量，因此，小采樣數(shù)據(jù)長度條件下的頻譜感知尤為重要。小采樣數(shù)據(jù)長度會帶來統(tǒng)計協(xié)方差矩陣估計不準確的問題，同時基于高維度RMT的最大特征值分布定理和最小特征值的極值定理不再適用。

2.1統(tǒng)計協(xié)方差矩陣估計

OAS估計量利用非隨機系數(shù)使其對統(tǒng)計協(xié)方差矩陣估計的均方誤差最小［8］，是以下方程的解。

其中I為L維單位陣，Tr（·）為跡運算。

采用OAS矩陣估計的方法對統(tǒng)計協(xié)方差矩陣進行估計實際上是對采樣協(xié)方差矩陣作了預測，當信號為純噪聲信號時，估計協(xié)方差矩陣就會收縮至目標矩陣，當PU信號存在時，估計協(xié)方差矩陣就會逼近采樣協(xié)方差矩陣。因此，估計協(xié)方差矩陣的特征值結構必然與采樣協(xié)方差矩陣的特征值結構不同。

2.2MME算法

RMT應用于頻譜感知以來，根據(jù)Wishart矩陣特征值極值分布定理和特征值極值定理［13-14］，利用采樣協(xié)方差矩陣最大特征值和最小特征值極值的漸進性質出現(xiàn)了很多算法［15-19］。令Rx的特征值按照順尋排列為λ1≥λ2≥…≥λL。如果PU信號不存在，從理論上講λ1=λ2=…=λL=σ2n，此時λ1/λL=1。PU信號存在時，λ1＞λL，此時λ1/λL=1。因此，可以將最大最小特征值的之比λ1＞λL作為檢測統(tǒng)計量，判斷PU信號有無。最大特征值λ1和最小特征值λL由估計協(xié)方差矩陣OAS特征值分解得到。

檢測統(tǒng)計量為

MME檢測算法將接收數(shù)據(jù)采樣協(xié)方差矩陣的MME之比作為檢測統(tǒng)計量，如果采樣數(shù)據(jù)長度較小，其檢測性能也會相應降低。在高維度小采樣長度情況下，OAS比x對Rx的估計更加精確，因此，利用OAS替代x計算特征值極值得到的檢測算法會更加精確。

2.3改進MME算法的計算步驟

根據(jù)以上分析，本文提出基于OAS方法的估計協(xié)方差矩陣MME檢測算法，并與傳統(tǒng)MME檢測算法做對比。算法的具體計算步驟如下：

步驟1：通過計算機仿真確定相應實驗條件下的檢測門限γ。

步驟2：設定感知矩陣的采樣數(shù)據(jù)長度N，確定感知矩陣Γx，i。

步驟3：檢測過程。

根據(jù)式（10）～式（13）計算OAS矩陣估計方法的收縮系數(shù)OAS和矩陣。

根據(jù)式（17）計算出最大最小特征值之比TN。步驟4：判斷過程。

如果TN＞γ，PU存在。否則，PU不存在。

3　理論分析和檢測門限

3.1RMT的特征值分布定理

在H0假設條件下，x（n）不存在PU信號，則x（n）服從均值為0，方差為IL的L維高斯分布。則噪聲的采樣協(xié)方差矩陣Rn（Ns）服從L維Wishart分布［13］，即

其中，WL（·，·）表示L維Wishart分布。

Wishart隨機矩陣特征值的聯(lián)合概率密度函數(shù)表達式非常復雜。最近，I.M.Johnstone和K.Johansson對Wishart隨機矩陣的最大特征值分布進行了研究［13］，其成果如下

定理1：若噪聲為實噪聲，令A（N）s=（Ns/σ2n）·Rn（N）s，μ=2，υ=（1/3，假設=ρ（0＜ρ＜1），則依概率收斂于Tracy-Widom第1分布。其中，R（nN）s為H0條件下采樣協(xié)方差矩陣，λmin（A（Ns））為矩陣A（Ns）的最大特征值。

白志東等人對Wishart矩陣的最小特征值極限值的研究成果如下［14］

基于以上定理，λmin、λmax分別為矩陣（A（Ns）的最大最小特征值，最大最小特征值可近似表示為

3.2檢測門限的確定

由上式可以推導出MME檢測算法的理論門限值［4］為

式（22）是傳統(tǒng)MME檢測的理論門限的封閉表達式，用于和本文所提改進算法作對比。理論門限的推導需要知道在無PU信號時檢測量取值分布的封閉表達式，通常難以實現(xiàn)。實際頻譜感知過程檢測門限可以通過計算機仿真確定，隨機信號的檢測門限是時變的，滿足虛警為0.1時，多次實驗得到檢測門限也會在一定范圍波動，因此，本文將多次獨立實驗得到的檢測門限值的μ+σ之和作為判決門限，可以滿足每次實驗虛警都小于0.1的需要。

4　仿真分析

為了驗證所提算法性能，利用Matlab仿真的方法，對高斯白噪聲條件下QPSK信號進行檢測。本文采用蒙特卡羅仿真的方法來比較兩種算法的檢測性能。為了便于分析，QPSK信號基帶碼元速率為2 kb/s，載波信號為10 kHz，數(shù)據(jù)采樣速率為50 kHz，滿足奈奎斯特抽樣定理要求。

4.1檢測門限數(shù)值仿真

表1　不同采樣數(shù)下兩種算法實際門限和理論門限對比

表1是不同采樣數(shù)下的兩種算法的實際門限和根據(jù)式（22）得到的理論門限的對比表。在L=30條件下，分別采用兩種算法對AWGN信號進行MME檢測，進行1 000次獨立檢測，并計算每次實驗的TN值，假定Pfa=0.1，得出相應的門限值。檢測統(tǒng)計量TN是隨機變量，做10次獨立仿真實驗，可以得到10個不同的檢測門限值，計算TN的均值μ、均方根σ，并把μ+σ之和作為實際門限值。采樣數(shù)據(jù)長度按照每次增加50個的步長變化時，本文所提算法的實際檢測門限值緩慢增大，但數(shù)值相對穩(wěn)定，且與理論值相差較大。傳統(tǒng)MME檢測算法的實際檢測門限與理論檢測門限變化趨勢相同，且數(shù)值稍大于理論值，因此傳統(tǒng)MME檢測算法利用理論值計算門限有一定的合理性，而本文所提算法采用式（22）計算檢測門限是不可行的?？梢缘贸鋈缦陆Y論，估計協(xié)方差矩陣改變了采樣協(xié)方差矩陣的特征值結構，在采樣數(shù)不同時，兩種假設條件下檢測統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)波動性減小，門限值趨于穩(wěn)定，而傳統(tǒng)MME檢測算法的門限值，隨采樣數(shù)變化波動巨大，對采樣數(shù)變化敏感。在采樣數(shù)據(jù)長度較小時，所提算法的檢測門限具有魯棒性。

表1對門限變化趨勢作了分析，確定門限值只進行了10次實驗，要精確仿真出不同采樣數(shù)據(jù)長度下的具體門限值，需要對檢測門限作更多次數(shù)的仿真。圖1是采樣數(shù)據(jù)長度不同時，本文算法檢測門限的變化情況，并對前20次仿真結果進行了局部放縮。作50次獨立仿真實驗確定門限值，在N=100時，隨機變量TN的均值μ為2.152 5，方差σ2為0.005 0，N=200時，均值μ為2.184 8，方差σ2為0.002 4。本文將μ+σ值大小作為判決門限。因此，本文所提算法，在N=100時，檢測門限為2.222 5，N=200時，檢測門限為2.233 8。本文采用固定檢測門限的方法對PU信號進行頻譜檢測。

圖1　不同采樣長度時的檢測門限

4.2檢測性能分析

頻譜感知算法的檢測性能通常根據(jù)滿足Pfa要求時Pd的大小來衡量。為了保證PU通信不受干擾，一般將Pfa設置為0.1。

圖2是采樣長度不同時檢測概率和虛警概率隨信噪比變化的曲線變化。圖2（a）中，N=100時，本文所提算法的檢測概率明顯優(yōu)于MME檢測算法，在Pd達到0.9時，Pfa全部低于0.1，性能相差大約2 dB。圖2（b）中，N=200時，本文所提算法明顯優(yōu)于MME檢測算法，Pd達到0.9時，Pfa絕大多數(shù)低于0.1，性能相差大約1 dB?？梢钥闯?，本文所提算法在采樣數(shù)較小的情況下較MME算法檢測性能明顯提高。同時說明，采用μ+σ作為檢測門限可以保證虛警概率在0.1之下，并具有很好的穩(wěn)定性。

（a）N=100　?。╞）N=200圖2檢測概率和虛警概率隨信噪比變化的曲線比較

5　結論

以傳統(tǒng)MME檢測算法為基礎，提出一種基于OAS方法的估計協(xié)方差矩陣MME檢測算法。算法利用OAS方法對高維度小采樣數(shù)下的統(tǒng)計協(xié)方差矩陣進行估計，減小了估計誤差，提高了協(xié)方差矩陣估計精度，通過對估計的協(xié)方差矩陣特征值分解得到最大最小特征值。估計協(xié)方差矩陣改變了采樣協(xié)方差的特征值結構，因此，采用計算機仿真實驗確定檢測門限。仿真結果表明，在采樣數(shù)據(jù)較少時，與傳統(tǒng)MME檢測算法相比，本文算法的檢測門限具有魯棒性，檢測性能提高了1 dB～2 dB。該算法適用于低信噪比、小采樣數(shù)據(jù)條件下的頻譜檢測。本文沒有給出所提算法檢測統(tǒng)計量的概率分布，不能給出檢測門限和檢測概率的封閉表達式，這可以作為下一步研究的重點。

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Spectrum Sensing Algorithm Based on Estimated Covariance Matrix MME Detection

YAO Shao-lin，ZHANG Zheng-bao，XU Xin，LIU Guang-kai

（Ordnance Engineering College，Shijiazhuang，050003，China）

Abstract：Aiming at the problem that the inaccurate estimation of sample covariance matrix for the statistical covariance matrix could lead to poor detection performance of the MME detection algorithm while sampling data length is small，a spectrum sensing algorithm based on estimated covariance matrix MME detection is proposed. First，the OAS estimator is used to estimate the statistical covariance matrix of sampling data. Then，the eigenvalue decomposition for the estimated covariance matrix is made. Finally，the ratio of maximum eigenvalue and minimum eigenvalue is taken as the detection statistic，which overcomed the defects that the detection threshold of the traditional MME algorithm fluctuate sharply with the sampling point incearcing，improved the robustness of the detection threshold. Simulation results show that the proposed algorithm has a robust detection threshold. Meanwhile，the detection performance was improved by 1 dB～2 dB.

Key words：cognitive radio，spectrum sensing，Maximum-Minimum Eigenvalue（MME），covariance matrix estimation，Random Matrix Theory（RMT）

中圖分類號：TN92

文獻標識碼：A

文章編號：1002-0640（2016）05-0071-05

收稿日期：2015-04-19修回日期：2015-05-16

作者簡介：姚少林（1992-），男，河南洛陽人，碩士。研究方向：認知無線電頻譜感知。