秦笑春

摘 要：通過對物理學(xué)發(fā)展歷史的分析，確立了問題表征態(tài)的內(nèi)涵，從信息論的角度明確表征態(tài)具有確定性增加的演化特性。本文具體研究了從物理表征到數(shù)學(xué)表征的過程，明確了狀態(tài)數(shù)學(xué)化、過程數(shù)學(xué)化和約束關(guān)系數(shù)學(xué)化三種途徑能引導(dǎo)問題表征態(tài)向著確定度增大的方向演化。通過對實例的分析，進一步明確了這三種途徑對于物理問題解決的價值。

關(guān)鍵詞：問題表征態(tài)；確定性；約束關(guān)系；解題

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）6-0064-4

1 問題的提出背景

表征是信息在人頭腦中的呈現(xiàn)方式，是客觀事物的反映。問題表征則是問題所涉及的信息在人頭腦中呈現(xiàn)出的形態(tài)。1978年，McDermott和Larkin提出了物理問題的4個表征步驟：文字表征、樸素表征、科學(xué)表征、數(shù)學(xué)表征。廖伯琴在此基礎(chǔ)上提出了力學(xué)問題的表征體系，并用口語報告分析法做了研究[1]。而鄧鑄提出了表征態(tài)理論，指出表征態(tài)是一連續(xù)、非線性的變化過程，包含了6種不同層次的表征態(tài)[2]。邢紅軍結(jié)合協(xié)同論提出了自組織表征理論，它是一個連續(xù)與突變、獨立與關(guān)聯(lián)、控制與自發(fā)、協(xié)同與競爭、必然與偶然相結(jié)合的非線性過程，同時又呈現(xiàn)出了7種不同的表征層次[3]。此外，還有眾多的研究者提出了自己的觀點。

總體上，問題表征態(tài)具有動態(tài)性、連續(xù)性、非線性等復(fù)雜系統(tǒng)的特征，但目前只能用一些相對的穩(wěn)態(tài)將整個動態(tài)過程割裂成幾個不同的層次。如此一來，若能對表征態(tài)演化作更細致的表述，將給教師的教學(xué)以參考。同時，物理問題表征態(tài)的具體內(nèi)涵有待確立。

2 問題表征態(tài)的內(nèi)涵與演化

經(jīng)典力學(xué)在時間與空間中研究物質(zhì)運動的規(guī)律與結(jié)構(gòu)特征，它經(jīng)歷了伽利略、開普勒、笛卡爾、惠更斯、牛頓等人的發(fā)展。在本體論承諾、數(shù)學(xué)化表征和發(fā)現(xiàn)型實驗三大主題的交織下，一個具有自我修正、自我發(fā)展的知識結(jié)構(gòu)體系逐漸形成了。本體論是指共享概念模型的形式化規(guī)范說明，本質(zhì)上是對基本模型、基本概念的構(gòu)建。數(shù)學(xué)化表征是指用數(shù)學(xué)語言來表征物理實在、表征自然界的客觀規(guī)律，以方便脫離物理實在進行邏輯推理，避免了生活經(jīng)驗對問題解決的負面影響。而發(fā)現(xiàn)型實驗是通過操控手段來探究自然規(guī)律，能對新理論進行實驗驗證，也能幫助研究者發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律。

問題表征態(tài)的內(nèi)涵應(yīng)該在物理學(xué)的發(fā)展過程中尋找，和物理學(xué)保持一致。物理學(xué)研究的是物質(zhì)運動規(guī)律，因此問題表征態(tài)是圍繞“物質(zhì)運動”這一主題而形成的一個具有范疇性的體系。從本體論看，表征態(tài)由一些基本概念構(gòu)成，例如力學(xué)中的表征態(tài)包含質(zhì)量m、位移x、時間t，以及力F、速度v、加速度a等。從數(shù)學(xué)化表征上看，表征態(tài)也必須呈現(xiàn)物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系，如在力學(xué)中常見的是函數(shù)關(guān)系。因此，問題表征態(tài)的內(nèi)涵包含了物理量和它們間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

表征態(tài)的演化是人類對未知新事物追求認知平衡而發(fā)生的改變，它源于人類物理現(xiàn)象與過程的認知需要。從信息論的角度看，問題表征態(tài)是從不確定到確定、從不完備到完備的方向演化。表征終態(tài)與初態(tài)有很大的不同，它所包含的信息量更多、確定性程度更高，因此在態(tài)的演化過程中必然包含著“確定性信息”的引入。在物理問題中，該“確定性信息”是物理規(guī)律、物理法則等，它存在于問題解決者的頭腦中，蘊藏于表征的最終狀態(tài)中，但不存在于表征的初始狀態(tài)。那么，對于“確定性信息”是如何引入到表征態(tài)并促使其朝終態(tài)演化的，表征態(tài)是如何同化與順應(yīng)物理規(guī)律、問題信息的，這是整個問題的關(guān)鍵所在。

3 物理表征的演化

文字表征、樸素表征和物理表征是解決原始問題的關(guān)鍵步驟，而物理表征和數(shù)學(xué)表征則是解決結(jié)構(gòu)良好的習(xí)題所注重的內(nèi)容。從文字表征到物理表征的過程也是建立物理模型、明確物理量的過程，它涉及定向表征、抽象表征、圖像表征、賦值表征等多種表征層次，是原始問題所關(guān)注的內(nèi)容之一。

從物理表征到數(shù)學(xué)表征的主要思維模式是演繹推理，該過程因此而變得有跡可循。既然表征態(tài)必然依據(jù)實際的物理過程，那么物理量間的關(guān)系建構(gòu)就是物理規(guī)律或其他約束關(guān)系的數(shù)學(xué)化表征。而由于時間與空間是物理過程的主要參量，因此狀態(tài)數(shù)學(xué)化、過程數(shù)學(xué)化以及約束數(shù)學(xué)化這三種有效的途徑能將物理實在包含的信息以數(shù)學(xué)函數(shù)的形式在表征態(tài)中表征出來。

3.1 狀態(tài)數(shù)學(xué)化

狀態(tài)數(shù)學(xué)化是在某時刻利用某物理規(guī)律建立起表征態(tài)中物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系。高中物理知識體系中，最常見的是利用牛頓運動定律建立力學(xué)量和運動學(xué)量之間的關(guān)系，此時初始表征態(tài)中定有力學(xué)信息或運動學(xué)信息。例如，已知某個力的大小、恰好通過圓軌道的最高點、恰好脫離軌道、恰好發(fā)生相對滑動等力學(xué)量的信息，或者如勻加速運動、圓周運動等運動學(xué)量的信息。因此，可以在狀態(tài)數(shù)學(xué)化的作用下引入牛頓定律，建立物理量間的關(guān)系f（Fx，m，xx）=0，該函數(shù)中Fx是指各種力，xx指的是各種運動學(xué)量，且涉及到的都是狀態(tài)量，不顯含時間t。

3.2 過程數(shù)學(xué)化

過程數(shù)學(xué)化是指在某段時間利用某物理規(guī)律，建立表征態(tài)中物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系。一種途徑是從力在時間上的累積來分析，常見的是使用運動學(xué)結(jié)合牛頓定律來建立物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系f（Fx，m，xx，t）=0，且顯含時間t，如平拋運動、勻變速直線運動等可建立位移-時間函數(shù)、速度-時間函數(shù)；另一種途徑是從力在空間上的累積來分析，建立任意兩個狀態(tài)間物理量的數(shù)學(xué)關(guān)系f（Fx，m，xx，x）=0，且顯含位移x，常見的是利用能量的轉(zhuǎn)化與守恒思想，如動能定理、機械能守恒定律等來建立量之間的關(guān)系。

3.3 約束數(shù)學(xué)化

有時僅靠物理規(guī)律來建立函數(shù)關(guān)系并不能反映表征態(tài)所具有的全部關(guān)系，可能還存在著非物理的約束關(guān)系，如空間幾何關(guān)系、時間關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等。例如，在多體問題的數(shù)學(xué)表征中，常常存在著諸如多個物體間的位置關(guān)系等隱藏的關(guān)系，只要將約束關(guān)系用函數(shù)關(guān)系來表征即可解決。

4 實例展示

下面以幾道計算題為例，闡述這三種途徑對于物理問題解決的意義。

例1 一個光滑半圓球固定在水平面上（如圖1），頂部有一個小物體原來處于靜止狀態(tài)，在某種擾動下它向右滑落，求物體飛離半圓球面時其位置與圓心的連線和豎直方向的夾角。

解析 在這個題目中雖然沒有具體給出物理量，但還是能比較容易地構(gòu)建出物理表征態(tài)f（m，N，g，r，θ），下面建立物理量之間的函數(shù)關(guān)系。該問題中小物體共有兩段物理過程，一是沿半圓球的圓周運動，二是飛離半圓球后的拋體運動。小物體在圓周運動時受到了重力和彈力作用，而在做拋體運動時只受重力作用，因此該問題的臨界狀態(tài)是球與物體間的彈力為零的狀態(tài)，即小物體飛離半圓球面時的狀態(tài)。下面就可將過程與狀態(tài)分別數(shù)學(xué)化，該題只求分離時所處位置同球心連線與豎直方向的夾角，因此只需將圓周運動過程數(shù)學(xué)化，用動能定理建立f1（R，θ，v）=0，再將特殊點的狀態(tài)數(shù)學(xué)化，用牛頓第二定律建立f2（R，θ，v）=0，聯(lián)立等式可求得答案cosθ=。

例2 如圖2為一固定在豎直平面內(nèi)的軌道。直軌道AB與光滑圓軌道BC相切，圓弧軌道的圓心角為37 °，半徑r=0.25 m，C端水平，AB段的動摩擦因數(shù)為0.5。豎直墻壁CD的高H=0.2 m，緊靠墻壁在地面上固定一個和CD等高，底邊長L=0.3 m的斜面。一質(zhì)量m=0.1 kg的小物塊（視為質(zhì)點）在斜面軌道上從距離B點l=0.5 m處靜止釋放，后從C點水平拋出。取g=10 m/s2，sin37 °=0.6，cos37 °=0.8，求：

（1） 小物塊運動到C點時對軌道壓力的大小；

（2） 小物塊從C點拋出至擊中斜面的時間；

（3） 改變小物體釋放的初始位置，求小物體擊中斜面時動能的最小值。

解析 此問題的物理表征態(tài)是f（m，N，g，H，L，l，r，θ，μ）以及位置關(guān)系圖，涉及到了9個物理量。這是一個單體多過程的問題，涉及到了兩個過程和一個狀態(tài)以及一個約束關(guān)系，下面只需要將它們分別數(shù)學(xué)化。第一問，由于物體狀態(tài)在C點 ，重力與支持力作用下做圓周運動，可構(gòu)建出f1（N，m，g，vc，r）=0的關(guān)系式。根據(jù)A到C的過程，利用動能定理，建立起f2（g，vc，l，r，θ，μ）=0的關(guān)系式，消去速度vc即可求得答案。第二問是平拋運動，將其數(shù)學(xué)化可獲得f3（x，vc，t）=0和f4（y，g，t）=0，由于和一特定的斜面相碰，存在一約束方程即f5（x，y）=0，將這3個方程聯(lián)立可求得答案。第三問根據(jù)動能定理獲得方程f6（Ek，m，vc，y）=0，若要求最小值，則需要將vc或者y代換，根據(jù)f3、 f4、 f5函數(shù)，消去t和x即可獲得關(guān)系式f7（vc ，y）=0，再聯(lián)立f6=0，消去vc，即可求得最小動能。

例3 如圖3所示，將小砝碼置于桌面上的薄紙板上，用水平向右的拉力將紙板迅速抽出，砝碼的移動很小，幾乎觀察不到，這就是大家熟悉的慣性演示實驗。若砝碼和紙板的質(zhì)量分別為m1和m2，各接觸面間的動摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g。

（1）當紙板相對砝碼運動時，求紙板所受摩擦力的大小；

（2）要使紙板相對砝碼運動，求所需拉力的大?。?/p>

（3）本實驗中，m1=0.5 kg，m2=0.1 kg，μ=0.2，砝碼與紙板左端的距離d=0.1 m，取g=10 m/s2。若砝碼移動的距離一旦超過l=0.002 m，人眼就能感知，為確保實驗成功，紙板所需的拉力至少多大？

解析 對于整個問題而言，物理表征態(tài)是f（F，f，N，m1，m2，d，l，μ，g）以及一個圖像，同時該問題涉及了紙板和砝碼兩個研究對象。第一問可以用隔離法分析物體的受力，考察的是受力分析能力，較為容易建立關(guān)系。第二問，砝碼發(fā)生相對運動時力學(xué)量的要求是摩擦力達到了最大靜摩擦力，依據(jù)此臨界狀態(tài)可列出f1（μ，g，a）=0的關(guān)系式，同時此狀態(tài)下具有相同的加速度，利用整體法可列出f2（F，m1，m2，μ，g，a）=0的關(guān)系式。聯(lián)立消去中間物理量a即求得答案。

對于第三問，首先分析兩個研究對象各自的運動過程。若砝碼在紙板對它的滑動摩擦力下做加速運動的時間為t1，掉下紙板后在桌面摩擦力作用下做減速運動的時間為t2，分析這兩段運動的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)t1=t2，根據(jù)整個運動過程建立f3（l，μ，g，t1，t2）=0的關(guān)系式。紙板在外力和摩擦力作用下一直做加速運動，由于運動的等時性，其運動時間為t1，位移為x，同樣的可建立f4（F，m1，m2，x，μ，g，t1）=0的關(guān)系式。其次，再尋找兩個研究對象間的聯(lián)系。此時，運動的等時性和摩擦力的相互性已經(jīng)在前面兩個式子中體現(xiàn)出來了。而在空間上，由于兩物體的相對運動的位移為d，因此還可以建立f5（l，d，x）=0的關(guān)系式。只要將這幾組等式聯(lián)列即可獲得答案。

5 結(jié)束語

這3個例子展示了物理表征態(tài)的構(gòu)建以及從物理表征到數(shù)學(xué)表征的演化過程，展示了狀態(tài)、過程與約束數(shù)學(xué)化能促進學(xué)生問題解決表征態(tài)的發(fā)展，實現(xiàn)問題解決的目的。雖然它們是力學(xué)問題，但任何物理問題的解決都是在某種方式下將問題所涉及的核心規(guī)律從知識庫中引入表征態(tài)中去，進而用數(shù)學(xué)關(guān)系來表征問題的物理特征，實現(xiàn)用已有的知識同化和順應(yīng)題中信息。另外，本文給出了從物理表征到數(shù)學(xué)表征相對具體的操作步驟，當然這三種途徑也不可能完全展示表征態(tài)演化的每一個步驟，只是在前人的基礎(chǔ)上使之更加具體而已。

參考文獻：

[1]廖伯琴.中學(xué)力學(xué)問題表征體系的動態(tài)特征[J].心理學(xué)報，2001，33（3）：51—54.

[2]鄧鑄.問題解決的表征態(tài)理論[J].心理學(xué)探新，2003（4）：17—20.

[3]邢紅軍.自組織表征理論： 一種物理問題解決的新理論 [J].課程·教材·教法，2009，29（4）：60—64.

（欄目編輯 鄧 磊）