劉超 謝紅英

摘 要：“負負得正”在數(shù)學上是一種規(guī)定，它具有超驗性.基于有效現(xiàn)實情境和數(shù)學情景的整合使用，可以實現(xiàn)初中生對該法則的較高水平的認知.對教師來說，有必要知悉“負負得正”在數(shù)學歷史發(fā)展長河中的“主要故事情節(jié)”，以便在教學中適時、適切地展示問題提出與問題解決的思維過程.

關鍵詞：負負得正；情景模型；數(shù)學模型；整數(shù)環(huán)公理系統(tǒng)；數(shù)學認知

在有理數(shù)乘法教學中，“負負得正”的教學是一個難點.調研發(fā)現(xiàn)，學生對“負負得正”的認識大都停留在“這是數(shù)學上的一個規(guī)定”的層次，并沒有理解其中的算理；教師對“負負得正”的理解主要是基于特定模型的解釋、驗證，并沒有從數(shù)學的角度闡釋“負負得正”.負數(shù)從提出到被認可經歷了近兩千年的時間，“負負得正”要一下子理解確實也困難.我們的教科書用近乎半頁紙就把“負負得正”給“解決”了，總感覺有失妥當.基于此，我們需要反思，對于“負負得正”，教師應該知道什么？鞏子坤教授指出：“從知識發(fā)生的角度看，負數(shù)的產生并不是演繹證明的結果.教學中適當?shù)亟榻B相關材料，可以幫助學生認識有理數(shù)乘法法則的由來和合理性，前提是教師先要知悉這些知識.”[1]筆者認為，為了滿足學生的好奇心抑或說為了遵循數(shù)學學習的認知規(guī)律，至少是教師層面，有必要知悉“負負得正”在數(shù)學歷史發(fā)展長河中的“主要故事情節(jié)”，以備在課堂教學中遇到學生提問時，可以用略略數(shù)語給學生做出解釋和說明，也不至于讓學生云里霧里地一臉茫然.結合已有研究及個人反思，我們從以下幾個方面探究“負負得正”教學的有關問題.

一、為什么“負負得正”難理解？

“負負得正”之所以難以理解，是因為負數(shù)及其運算的相關知識具有超驗性.鞏子坤教授指出，負數(shù)超越了日常經驗，而學生仍然習慣于用測量的結果來表征數(shù)字，不能運用推理的方法理解負數(shù)[2]91.從負數(shù)知識的發(fā)展史來看，數(shù)學家對負數(shù)的認知歷經了兩個一千年.一是，數(shù)學家花了一千年才得到負數(shù)概念；二是，又花了近一千年才承認負數(shù)的存在.這兩千年的跨度預示了學生學習負數(shù)及其運算會存在巨大的困難.一代代數(shù)學家前赴后繼的工作才讓人們逐漸認可了負數(shù).學生在課堂上學習負數(shù)、“負負得正”時也會經歷類似的過程.在初中生的認知層面上，學生對“負負得正”認知的較高層次就是“為了保持數(shù)系擴充過程中相關運算律的一種合乎邏輯的規(guī)定”，遵守這一規(guī)定，運算就能夠順利進行.再者，負數(shù)最早出現(xiàn)于我國的《九章算術》，由于在解方程組的消元過程中遇到了“不夠減”的情形，為了表示小數(shù)減大數(shù)的結果，所以引入了負數(shù).由于我國古代數(shù)學家更多關注負數(shù)的實際應用，所以并沒有像西方那樣對負數(shù)有著太多的誤解（西方數(shù)學家對負數(shù)的認知是從關注負數(shù)存在的合理性起始的）[3].這一認識也使數(shù)學教師反思：在教學中盡可能地先從實用的角度（現(xiàn)實情境模型）引入超驗性的數(shù)學知識也不失為一種好的辦法.因此，教師在教學中應盡可能地聯(lián)系實際，給出有關“負負得正”的一些實例和有效問題情境，這些現(xiàn)實模型在一定程度上會幫助學生加深對“負負得正”的理解和認知.

二、“負負得正”該如何教？

田載今先生指出，“負負得正”這條法則不容易理解，編寫教材時，編者們也為說明這條法則的道理想了很多，各版本初中數(shù)學教材都是借助實際問題為背景來說明[4].由此，結合學生的認知水平和認知特征，創(chuàng)設現(xiàn)實情境模型或數(shù)學模型來驗證“負負得正”，幫助學生達到對有理數(shù)乘法法則的直觀理解（能用語言表達或者用自制模型驗證），而不僅僅局限于程序化的理解，就顯得相當重要了.賈隨軍博士也指出，由于“負負得正”的超驗性，基于有效現(xiàn)實情境的解釋可以確保初中數(shù)學課程對數(shù)學嚴密性及推理的強調沒有超出其應有的邊界[5]79.實際上，國內外的數(shù)學教材大都是這么做的.調研發(fā)現(xiàn)，各版本教材中的驗證“負負得正”成立的模型主要有兩類：現(xiàn)實情境模型和數(shù)學模型.具體涉及歸納模型、分配律模型、相反數(shù)模型、兩組具有相反意義的量的模型數(shù)軸模型、數(shù)軸模型以及分配率模型等.

彭啟科老師指出，現(xiàn)有的“負負得正”理解模型均存在著各種不足與缺陷[6].如歸納模型，“兩個因數(shù)變小了，而乘積卻變大了”，這與學生的已有經驗相矛盾.那么究竟什么樣的驗證模型才是好模型？為了進行比較分析，筆者調研了部分國外數(shù)學教科書中關于“負負得正”的驗證模型的應用情況.分析發(fā)現(xiàn)，國內外教科書關于“負負得正”驗證模型的使用區(qū)別主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

一是國外教科書更加強調數(shù)學模型的使用.注重基于數(shù)學自身特征，基于數(shù)學的本質，用數(shù)學的思維、方法解決問題，現(xiàn)實生活情境只作為引入而已.相比之下，我國教科書應用了較多的現(xiàn)實生活情境，基于學生生活經驗給出合理解釋，幫助學生理解法則的合理性.之所以出現(xiàn)這種差異，究其原因，首當其沖的則是東西方的不同數(shù)學傳統(tǒng).以我國為代表的東方數(shù)學自古以來就重視辯證思維，注重應用，強調理論聯(lián)系實際；西方數(shù)學則重視數(shù)學抽象與形式邏輯，強調推理論證；再者，我國教科書對現(xiàn)實情境模型的較多應用也與課改理念遙相呼應，強調數(shù)學與生活的聯(lián)系，關注學生對知識的認知過程.

二是與國內教科書相比，國外教科書側重同時選用兩種模型進行解釋說明.如“新加坡版（原）（1982版）”“美國加州3版（2008版）”都選用“歸納模型”和“相反數(shù)模型”兩種模型.“新加坡版（原）”先用“歸納模型”得到猜想，再用“相反數(shù)模型”進行驗證；“美國加州3版”先用“相反數(shù)模型”得到猜想，再用歸納模型進行驗證[7].由此，我們不禁要反思：第一，究竟什么樣的“解釋模型”或者“數(shù)學模型”是驗證或解釋“負負得正”的好模型？第二，借鑒國外教科書，數(shù)學模型和現(xiàn)實情境模型的整合使用是否有必要？若有必要，應如何選用、搭配？

三是我國和美國的各版本教科書在表述“負負得正”時只用文字語言，而新加坡版本（1982版、2007版）的教材則用數(shù)學符號語言（In general， where a and b represent positive integer）. 實際上，《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中的相關論述——“經歷運用數(shù)學符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維”[8]，就是要求讓學生應用字母或代數(shù)式等數(shù)學的語言、符號表征抽象的數(shù)量關系及變化規(guī)律，逐步發(fā)展學生的符號感和抽象思維能力.從這一層面來看，新加坡的數(shù)學教科書更加重視培養(yǎng)學生的符號感和抽象能力.因此，建議教科書中對“負負得正”的論述應同時使用文字論述和代數(shù)符號表征.

三、幾點反思

如上，我們結合國內眾多專家學者的研究，從幾個不同的角度分析了“負負得正”的相關內容，關于“負負得正”的認知與教學，我們給出如下幾點建議.

1.教學中不能為了“創(chuàng)設情境”而創(chuàng)設情境，如果選擇的“負負得正”生活情境學生不易理解，那就應該考慮從數(shù)學本身出發(fā)，尋求直接的、更接近數(shù)學本質的方法解決問題.例如，兩組具有相反意義的量的現(xiàn)實模型，雖然直觀，但由于涉及其中的幾個變量關系極為復雜，學生理解起來比較困難，更不可能從中歸納概括出有理數(shù)乘法法則.原人教實驗版教材的“蝸牛爬行問題”背景就是由于涉及時間和方向的相反量，導致學生理解起來有不小的難度，所以修訂版教材就以“觀察數(shù)值變化規(guī)律”取代之.

2.根據(jù)顧泠沅先生的數(shù)學認知水平分層，學生對“負負得正”法則的認知有以下四個層次：只記住“負負得正”；通過模型的解釋，學生能夠接受“負負得正”；通過模型的解釋，學生能夠接受“負負得正”，并能用自己的語言進行表征；學生理解算理，并能自主構建適當?shù)哪Ｐ瓦M行表征和闡釋.其中，后兩個方面的認知為高水平認知.因此，在使用模型解釋“負負得正”時，要結合初中生的認知水平和認知特征，選取或編制符合學生實際的模型.教師首先應考慮應用現(xiàn)實情境模型使學生對“負負得正”達到低水平的認知；在此基礎上，應用“歸納模型”或其他數(shù)學模型，使學生實現(xiàn)對“負負得正”的高水平認知.但也應意識到，由于“負負得正”的超驗性，培養(yǎng)學生的高水平認知也要適度，不能有過高的要求.教師應選擇合適的內容素材進行適時、適度訓練，一以貫之，方能有效.正如鞏子坤教授指出的，有理數(shù)乘法運算的教學目標定位是“熟練地進行有理數(shù)乘法運算，對于一部分學生，能夠結合例子或者模型來說明運算結果的合理性”[2]93.

3.解釋、驗證“負負得正”的現(xiàn)實情境模型和數(shù)學模型的使用如何取舍？張奠宙先生曾指出：“世界上還沒有發(fā)現(xiàn)一個為大家普遍接受的‘負負得正的實際情境.”[9]賈隨軍博士通過對中學數(shù)學各版本教材的考察發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學本身解釋“負負得正”法則的比例大約占了6成.他指出，從數(shù)學本身入手是解釋“負負得正”法則合理性的重要角度，因為數(shù)學本身是情境問題的重要來源[5]79.實際上，多數(shù)教師在呈現(xiàn)“負負得正”法則時，使用有關數(shù)學模型時會用到涉及負數(shù)的乘法交換律和結合律，與數(shù)學自身體系“規(guī)定運算法則在先，驗證運算律是否成立在后”相矛盾.結合初中生實際，對該問題的處理可以“仁者見仁”.考慮到初中生的認知水平，我們認為應在遵循數(shù)學知識體系的同時遵循學生的認知規(guī)律，故選擇數(shù)軸模型、歸納模型等是適切的.當數(shù)學的嚴密性與學生的可接受性產生矛盾時，就需要數(shù)學教師展示智慧，兩者兼顧地化解矛盾.此外，應注重數(shù)學模型和現(xiàn)實情境模型的整合使用，使現(xiàn)實模型的“解釋”作用與數(shù)學模型的“驗證”作用相得益彰，在解釋“負負得正”合理性的同時，促進學生對該法則的高認知水平的理解.

參考文獻：

[1]鞏子坤.“負負得正”教學的有效模型——兼論教科書的編寫[J].教學月刊·中學版（教學參考），2010（1）：6-11.

[2]鞏子坤.課程目標：理解的視角[J].教育研究，2011（7）.

[3]佟巍，汪曉勤.負數(shù)的歷史與“負負得正”的引入[J].中學數(shù)學教學參考，2005（1/2）：126-128.

[4]田載今.“負負得正”的乘法法則可以證明嗎？[J].中學數(shù)學教學參考，2005（3）：3-4.

[5]賈隨軍，等.20世紀以來中學數(shù)學教材中“負負得正”法則解釋方式的研究[J].數(shù)學教育學報，2015，24（4）.

[6]彭啟科.“負負得正”理解模型的有效性分析[J].內江師范學院學報，2013，28（10）：78-82.

[7]謝紅英，劉超.中外初中數(shù)學教材中“負負得正”內容的比較研究[J].中學數(shù)學，2013，（4）：68-70.

[8]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2001：3.

[9]龔烈炯.“負負得正”教學再思考[J].中學數(shù)學教學參考，2008（8）：11-13.