白晶

摘 要：誤差分析與不確定度的表達是溝通物理學科“理想”與“現(xiàn)實”的途徑.中學物理教學應當給予誤差概念必要的重視.學生正確理解誤差概念，才能有效溝通物理的理想與現(xiàn)實，進而有利于正確認識物理學本身的特點，有助于形成良好的物理學科素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：實驗；誤差；不確定度

誤差來源于測量，測量的理想結(jié)果是真實值，測量值與真實值之間總會有差異，這是物理實驗中現(xiàn)實與理想的矛盾.誤差的概念就是為了描述這種理想與現(xiàn)實的差異而引入的.對于以測量某個物理量的值為目的的測量型實驗，理想與現(xiàn)實的矛盾表現(xiàn)為理想測量與現(xiàn)實測量的差異，可以用測量操作者引起的偶然誤差和測量工具引起的系統(tǒng)誤差來描述.對于以驗證某個物理規(guī)律為目的的驗證型實驗，理想與現(xiàn)實的矛盾表現(xiàn)為理想化條件下的物理模型與受非理想因素制約的實際研究對象的差異，這種差異是用系統(tǒng)誤差來描述的.與測量工具引起的系統(tǒng)誤差不同的是，這種系統(tǒng)誤差描述的是理論模型與實際研究對象的差異，其分析過程實際上也是理論模型的修正過程.

中學物理關(guān)于誤差概念的教學存在如下兩個問題：第一，在誤差分析時，往往不能明確界定“理想”與“現(xiàn)實”所指；第二，隨意使用“誤差允許的范圍”這一提法.這兩個問題會給學生帶來困惑甚至誤解.為此，本文結(jié)合人民教育出版社普通高中課程標準實驗教科書物理教材中的三個實驗，探討有關(guān)誤差概念教學的問題，并給出相關(guān)的教學建議.

一、落體的理想與現(xiàn)實——驗證機械能守恒定律

對于必修2第七章《機械能守恒定律》中“驗證機械能守恒定律”實驗，教材給出的實驗方法是通過研究物體自由下落過程，比較下落的重物在某兩點間的動能變化和勢能變化，從而驗證機械能是否守恒.有學生提出如下疑問：“由于實際研究對象并非自由落體，重物在某兩點間的動能變化和勢能變化不可能相等.實際上，測量的誤差越小，某兩點間的動能變化和勢能變化的差別越明顯.換句話說，實驗精確度的提高會導致機械能不守恒的事實更明顯，而實驗目的是驗證機械能守恒，這是不是一個邏輯上的矛盾呢？”

解決上述疑問的關(guān)鍵是對誤差概念的理解.“驗證機械能守恒定律”屬于驗證型實驗，應將研究對象“自由落體運動”視為一個物理模型，且是理想模型.相對這個“理想”，現(xiàn)實是“非自由落體運動”，是存在阻力的落體運動.這里理想與現(xiàn)實的差異可看作是系統(tǒng)誤差.實驗要驗證的機械能守恒定律是建立在理想模型基礎(chǔ)上的，因此，要盡可能減少這種系統(tǒng)誤差.基于此，教材提出問題啟發(fā)學生思考，如：“重物下落的過程中，除重力外會受到哪些阻力？怎樣減少這些阻力對實驗的影響？”由于阻力不可避免，所以實驗結(jié)果總是勢能的變化量大于動能的變化量，這種偏差結(jié)果的單一傾向反映的恰是系統(tǒng)誤差的特點.

應當注意的是，“測量”動能變化與勢能變化和“比較”動能變化與勢能變化的關(guān)系是兩個不同的問題，前者是測量，后者是驗證.對于前者，測量的偶然誤差是理想與現(xiàn)實的主要矛盾，減小這種誤差可以使測量值更接近真實值.對于后者，理論模型與實際研究對象的差異是理想與現(xiàn)實的主要矛盾，減小這種系統(tǒng)誤差可以使實驗結(jié)果對物理規(guī)律的檢驗更有效.在系統(tǒng)誤差確定的情況下，減小偶然誤差必然會導致動能變化量與勢能變化量的差別更明顯.在厘清系統(tǒng)誤差與偶然誤差的概念之后，上述疑問也就得以解決，邏輯上也就沒有了矛盾.

但是新的困惑隨之產(chǎn)生：既然實驗結(jié)果中動能變化量和勢能變化量總是會有差別，怎樣判斷差別已經(jīng)小到可以認為機械能守恒了呢？教學中常見到這樣的表述：“在實驗誤差允許的范圍內(nèi)，驗證重物在某兩點間的動能變化和勢能變化是否相等.”學生對“誤差允許的范圍”這一提法會存在疑問，即怎樣界定“誤差允許的范圍”呢？

被測量對象的真實值是不能確知的，可以設(shè)想真實值就在測量值附近的一個量值范圍內(nèi)[1].基于此，建議在中學物理實驗中引入“不確定度”的概念.設(shè)測量值為x，其測量不確定度為δ，則真實值可能在量值范圍（x-δ，x+δ）之中.對于本實驗，設(shè)動能變化量的測量值為K，其不確定度為δK，勢能變化量的測量值為U，其不確定度為δU，則動能變化量和勢能變化量相等的判據(jù)是量值范圍（K-δK，K+δK）和（U-δU，U+δU）存在重疊區(qū)域.若實驗結(jié)果滿足此判據(jù)，則說明該結(jié)果在“誤差允許的范圍”內(nèi).引入不確定度的概念，解決了“在誤差允許的范圍內(nèi)”這一提法帶來的困惑.關(guān)于不確定度的計算，對于中學生可以暫不作要求，但認識并理解不確定度的概念是必要的.

二、電路的理想與現(xiàn)實——測定電池的電動勢和內(nèi)阻

選修3-1第二章《恒定電流》中的實驗“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”，測量原理是閉合電路歐姆定律. 其中一種實驗方法是通過描繪電源的伏安曲線求出電動勢和內(nèi)電阻，實驗電路如圖1所示，實驗中需采集的數(shù)據(jù)為路端電壓與干路電流.根據(jù)數(shù)據(jù)描繪圖像是處理實驗數(shù)據(jù)的一種重要方法，有效地減小了偶然誤差，但是本實驗中理想電表與現(xiàn)實電表的差異帶來的系統(tǒng)誤差仍然存在.

教學中常用圖像修正的方法對此實驗進行系統(tǒng)誤差分析，如圖2.非理想電壓表的分流作用導致干路電流的測量值偏小，而對路端電壓的測量沒有影響，因此可將U-I圖線1（實線所示）修正為U-I圖線2（虛線所示）.需要指出的是，實際教學中有學生將修正前的圖線1理解為實驗所得圖線，其實是錯誤的.此實驗的系統(tǒng)誤差屬于理論誤差，應通過與理想條件下的理論值進行比較而分析，因此待修正的圖線1不應該是實驗圖線，而應該是忽略電表內(nèi)阻影響的理論上的U-I圖線.讀圖2可知，在僅考慮系統(tǒng)誤差的情況下，電源電動勢的測量值比真實值偏小，電源內(nèi)阻的測量值也偏小.

三、變壓器的理想與現(xiàn)實——探究變壓器線圈兩端的電壓與匝數(shù)的關(guān)系

下面以一道高考題為例說明該實驗系統(tǒng)誤差分析的意義.2011年浙江省高考理科綜合測試中有這樣一道選擇題：如圖3所示，在鐵芯上、下分別繞有匝數(shù)n1=800和n2=200的兩個線圈，上線圈兩端與u=51sin314tV的交流電源相連，將下線圈兩端接交流電壓表，則交流電壓表的讀數(shù)可能是（ ）.提供的選項有：A. 2.0V；B.9.0V；C. 12.7V；D. 144.0V.

顯然該題給出的模型不是理想變壓器，因此原、副線圈的電壓之比應大于兩個線圈的匝數(shù)之比.如果按照理想變壓器的模型計算，結(jié)果為9.0V，因此實際結(jié)果應小于這個值.只有A選項滿足要求，即2.0V，答案為A選項.

然而，不少學生在分析到此時，卻沒有足夠的勇氣選擇A選項，原因是不敢相信實際的結(jié)果會和應用理想變壓器模型算得的結(jié)果差別如此之大.學生沒有足夠的勇氣選擇正確答案的原因是什么呢？如果學生親歷了實驗探究變壓器線圈兩端的電壓與匝數(shù)的關(guān)系，了解實驗系統(tǒng)誤差的來源以及實驗結(jié)果不確定度的大小，就不會在正確選項面前猶豫了.

以上結(jié)合教材中的實驗，對有關(guān)誤差概念的教學問題進行了探討.誤差分析與不確定度的表達是溝通物理學科“理想”與“現(xiàn)實”的途徑.美國麻省理工學院的Walter Lewin教授就曾在課堂上反復強調(diào)如下觀點：如果不考慮測量的不確定度，那么一切測量都是沒有意義的.法國物理學家、科學哲學家迪昂曾說，“我們必須了解我們正在研究的實驗的近似度”[2].中學物理教學應當給予誤差概念必要的重視.學生只有正確理解誤差概念，才能有效溝通物理的理想與現(xiàn)實，進而有利于正確認識物理學本身的特點，有助于形成良好的物理學科素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 楊述武.普通物理實驗1·力學及熱學部分[M].3版.北京：高等教育出版社，2000：3-11.

[2]迪昂（Duhem， P. M. M.）.物理學理論的目的與結(jié)構(gòu)[M].李醒民，譯.北京：商務印書館，2011：200.