劉金霞, 崔志文, 王克協(xié)

吉林大學物理學院, 長春　130012

水平單軸應力與橫波反射系數(shù)

劉金霞, 崔志文, 王克協(xié)

吉林大學物理學院, 長春130012

摘要地球物理勘探中，地下應力的估測是非常重要的.本文利用應力誘導的弱各向異性的各向異性參數(shù), 借助已有的具有水平對稱軸橫向各向同性介質(zhì)顧及高階小量的橫波反射系數(shù)近似公式，針對下介質(zhì)為各向同性受單軸應力作用情況隨應力的增加求取應力精度降低的問題，從橫波反射系數(shù)近似公式的推導出發(fā)，聯(lián)合SH波與SV 波反射系數(shù)給出新的改進的單軸應力與橫波反射系數(shù)的直觀表達式；計算并對比了受單軸應力作用的各向同性介質(zhì)的橫波近似和嚴格的反射系數(shù)，并利用理論得到的橫波反射系數(shù)對應力進行了估值.結(jié)果表明，利用改進后橫波反射系數(shù)與應力的直觀表達式, 當應力增加時，應力估值精度有了明顯的改善，這為利用橫波反射數(shù)據(jù)直觀估測應力提供理論依據(jù).

關鍵詞單軸應力； 弱各向異性； 各向異性參數(shù)； 橫波反射系數(shù)

1引言

地應力在地下是普遍存在的，在地球物理勘探中開展地應力研究具有重要意義.近年來，聲彈性理論的發(fā)展和應用為地下應力的檢測提供了新途徑，為從地震數(shù)據(jù)估測應力提供了新手段.在有限靜應力引起的非線性形變上激發(fā)小擾動波場是典型的非線性聲學中的聲彈性問題(Pao et al., 1984)，也就是“大加小-small on large”問題.依據(jù)聲彈性理論，地應力將誘導出介質(zhì)等效各向異性，Rasolofosaon(1998), Sarkar等(2003)和Prioul等(2004)通過參考構(gòu)形描述的等效彈性常數(shù)把各向異性參數(shù)和主應力大小相聯(lián)系，并通過物理模擬研究驗證了這些關系.聲彈理論支持直觀的預測，一個受三維不等主應力作用的各向同性介質(zhì)呈現(xiàn)近似的正交各向異性，一個存在單軸應力的各向同性介質(zhì)呈現(xiàn)近似的橫向各向同性.

在地震勘探方法中，人們一直在努力利用縱、橫波的振幅資料，以獲取更多的介質(zhì)信息.而地應力引起的靜形變不僅僅影響介質(zhì)中的聲速，也會影響波的振幅(Liu et al., 2007；2012)，如果能將振幅資料與聲彈性理論相結(jié)合，從反射幅度直接估測地應力將更有意義.彈性波振幅特征是波傳播的基本問題之一，在地球物理勘探和天然地震中均具有重要意義.關于流-固和固-固界面，介質(zhì)為各向同性或各向異性的彈性波折、反射問題已被廣泛研究(Mandal,1991; Ainslie and Burns,1995; Carcione,1997).由于在各向異性介質(zhì)中縱波和橫波反射系數(shù)對AVO研究的重要性而被廣泛研究 (Rüger,1996,1997,1998).而通常的AVO分析都是以縱波、橫波反射系數(shù)的解析表達式為基礎.既然，受應力作用的介質(zhì)可以等效為各向異性，就可以利用這些已有的縱波、橫波的反射系數(shù)公式獲取應力信息.Liu等(2009)參考Rasolofosaon等(1998)的工作,采用中間坐標研究了上介質(zhì)為各向同性，下介質(zhì)為各向同性受單軸應力作用的縱、橫波位移振幅反射系數(shù).此工作的結(jié)果表明：(1)可利用橫波反射系數(shù)估算單軸應力；(2)各向異性參數(shù)的正負取值可作為區(qū)分單軸應力誘導的還是本征的具有水平對稱軸的橫向各向同性的(簡稱HTI地層)一個依據(jù)；(3)反射系數(shù)隨方位的變化可幫助我們初步判斷應力的方位.

然而，利用橫波反射系數(shù)求取應力的結(jié)果是隨應力的增加準確度降低，特別是當應力較大時(Liu et al., 2009).本文針對隨應力的增加準確度降低的問題，在Liu 等(2009)工作的基礎上，從橫波反射系數(shù)近似公式的推導出發(fā)分析并改進了單軸應力與橫波反射系數(shù)的直觀表達式，聯(lián)合SH波和SV波反射系數(shù)給出了單軸應力與橫波反射系數(shù)的直觀表達式；將理論得到的橫波反射系數(shù)，分別代入改進的直觀表達式進行應力估值并與已有的結(jié)果進行對比，驗證了當應力增大時利用改進后的關系得到的應力估值精度有了明顯的改善.這一改進的表達式，為利用橫波反射數(shù)據(jù)直觀估測應力提供理論依據(jù).

2等效的彈性模量和應力誘導的各向異性參數(shù)

我們可以用聲彈理論描述應力函數(shù)的等效彈性模量矩陣.聲彈性理論的前提是在有限靜形變(偏置)上疊加小(線性)擾動(Pao et al., 1984).描述介質(zhì)的位移可以用參考坐標、中間坐標和當前坐標，這三種坐標分別對應介質(zhì)的三種不同狀態(tài)，即未變形狀態(tài)、靜形變偏置狀態(tài)和在該狀態(tài)上疊加小擾動的形變狀態(tài)(曹正良等，2003;李剛等，2006).與其對應有三種不同形式的描述介質(zhì)質(zhì)點的運動方程.本文選中間坐標及相應的運動方程來描述形變物理量.一般地下巖層所受的應力狀態(tài)比較復雜，可以分解成均勻靜水壓力與偏應力的和.均勻靜水壓力的大小可以等于在某一深度點主應力的平均壓力或上覆巖壓力.本文將巖層受均勻靜水壓力時的狀態(tài)選為參考狀態(tài)，偏應力與均勻靜水壓力相比其量值要小得多.中間狀態(tài)等效的剛度張量Hijkl可表示為

Hijkl=τikδjl+cijkl-cijklwn,n+cijklmnEmn

+cpjklwi,p+cipklwj,p+cijplwk,p+cijkpwl,p.

(1)

(2)

可見方程(2)是具有水平對稱軸的等效橫向各向同性介質(zhì).二階彈性模量與拉梅系數(shù)的關系為c11=λ+2μ, c12=λ和c55=μ，三階彈性模量c144和c155可分別表示為c144=(c112-c123)/2和c155=(c111-c112)/4.

Rasolofosaon(1998), Sarkar等(2003)和Prioul等(2004)已經(jīng)開展了應力誘導的各向異性研究，本文僅限于討論施加于各向同性介質(zhì)的水平單軸應力，此時應力誘導的弱各向異性參數(shù)可表示為

(3)

3改進的應力與橫波反射系數(shù)關系公式

已有的本征HTI介質(zhì)顧及高階小量的(Rüger，1996)橫波反射系數(shù)近似公式為

(4)

由方程(4)入射平面與對稱平面成0°和90°的橫波反射系數(shù)分別做差可得

(5)

(6)

方程(5)與Liu等(2009)得到的方程是一樣的，而方程(6)與Liu等(2009)的工作相比較多了最后顧及的高階項.由方程(5)和方程(3)可得到Liu等(2009)的與SH波有關的方程：

(7)

由方程(6)忽略第三項依據(jù)方程(3)可得Liu等(2009)的與SV波有關的方程：

(8)

(9)

4計算考察

這部分計算模型的上介質(zhì)為各向同性，下介質(zhì)是各向同性受單軸應力作用.計算參數(shù)見表1，上介質(zhì)是各向同性的Castlegate砂巖，下介質(zhì)分別是參數(shù)1和2(Liu et al.,2009).本文的單軸應力為壓縮應力,用負號代表壓縮應力.我們計算對比了橫波近似和嚴格的反射系數(shù).并利用改進后的橫波反射系數(shù)與應力的直觀表達式,估測應力，并與Liu等(2009)給出的直觀公式結(jié)果作對比.嚴格的反射系數(shù)的計算主要基于在巖石中存在塑性形變的聲波折反射系數(shù)的計算(見Liu et al.(2007)公式(15)，或劉金霞(2007)公式(3.8)).當應力沒有引起塑性形變時，即可退化為本文彈性靜形變情況.對比了已有文獻的結(jié)果(Yardley et al.,1991)，數(shù)值結(jié)果和文獻的結(jié)果是一致的，證實了我們計算結(jié)果的可信度.

表1　地層參數(shù)

圖1和圖2給出了從各向同性介質(zhì)入射到受單軸應力作用(沿X1)的介質(zhì)，入射平面和對稱平面成0°和90°的SH和SV波的反射系數(shù).實線是嚴格的理論結(jié)果；虛線是由近似公式(4)計算的結(jié)果.在近似的橫波反射系數(shù)與理論計算的嚴格結(jié)果的對比中可以看到，在小的入射角，小的單軸應力例如-3 MPa理論值和橫波的近似值基本一致，但隨著應力的增加在方位90° 的SH波和方位0°的SV波甚至在較小的入射角偏差明顯變大.而Rüger(1996)等給出的橫波近似公式，恰對方位0° 的SV波和方位90° 的SH波近似公式進行了進一步的近似處理.這一明顯的偏差與Rüger(1996)等的進一步近似處理有直接關系.

圖1　入射平面和對稱平面成0°和90°的SH波的反射系數(shù)(a)和(b)下介質(zhì)參數(shù)為Berea A，應力分別是-3和-10 MPa; (c)和(d)下介質(zhì)參數(shù)為Berea B，應力分別是-3和-10 MPa; 實線是嚴格的理論結(jié)果，虛線是由近似公式計算的結(jié)果.Fig.1　SH-wave reflection coefficients at an interface between an isotropic medium and an anisotropic medium induced by uniaxial horizontal stressSolid line denotes the exact solution and dashed line denotes weak anisotropic approximation for azmuthal angles 0° and 90°. (a) -3 MPa for Berea A; (b) -10 MPa for Berea A; (c) -3 MPa for Berea B; (d) -10 MPa for Berea B.

圖2　入射平面和對稱平面成0°和90°的SV波的反射系數(shù)(a)和(b)下介質(zhì)參數(shù)為Berea A，應力分別是-3和-10 MPa; (c)和(d)下介質(zhì)參數(shù)為Berea B，應力分別是-3和-10 MPa; 實線是嚴格的理論結(jié)果，虛線是由近似公式計算的結(jié)果.Fig.2　SV-wave reflection coefficients at an interface between an isotropic medium and an anisotropic medium induced by uniaxial horizontal stressSolid line denotes the exact solution and dashed line denotes weak anisotropic approximation for azmuthal angles 0° and 90°. (a) -3 MPa for Berea A; (b) -10 MPa for Berea A; (c) -3 MPa for Berea B; (d) -10 MPa for Berea B

圖3是由理論計算求得嚴格的SH波反射系數(shù)，再代入改進前的近似公式(7)式求應力值.由圖3a，在入射角小于10°的范圍，所求應力幾乎與入射角度無關，求得的應力值分別約為-2.68 MPa、-4.20、-6.16、-7.30 MPa和-8.32 MPa.相對誤差分別約為10.7%、16.0%、23.0%，27.0%和30.7%. 由圖3b，在入射角小于10°的范圍，分別求得的應力值約為-2.74、-4.36、-6.56、-7.92 MPa和-9.20 MPa，其相對誤差分別約為8.7%、12.8%、18.0%、20.8%和23.3%.可以看到隨著應力的增加由改進前的(7)式求應力值的準確度開始降低.分析其原因有兩方面：一、隨應力的增加各向異性明顯變大，導致偏離的增加；二、由于Rüger(1996)等的進一步近似，隨應力增加反射系數(shù)近似結(jié)果偏離增加，導致估測精度降低.

圖4是由理論計算求得嚴格的SV波反射系數(shù)，再代入改進前的近似公式(8)式求應力.由圖4a，在入射角小于10°的范圍，所求應力值分別約為-2.68～-2.44 MPa、-4.20～-3.75 MPa、-6.16～-5.34 MPa、-7.29～-6.18 MPa和-8.31～-6.89 MPa.相對誤差分別約為10.7%～18.7%、16.0%～25.0%、23.0%～33.3%、27.1%～38.2%、30.8%～42.5%.由圖4b，在入射角小于10°的范圍，所求應力值分別約為-2.74～-2.57 MPa、-4.36～-4.05 MPa、-6.56～-6.00 MPa、-7.91～-7.16 MPa和-9.20～-8.23 MPa.相對誤差分別約為8.7%～14.3%、12.8%～19.0%、18.0%～25.0%、20.9%～28.4%、23.4%～31.4%.可以看到隨著應力的增加由改進前的 (8)式求應力值的準確度也開始降低.

圖5是由理論計算求得嚴格的橫波反射系數(shù)，再代入本文改進后的公式(9)式求應力，由圖5a可以看出，在入射角小于10°的范圍，所求應力值分別約為-3.65～-3.53 MPa 、-6.02～-5.76 MPa,

圖3　由改進前的與SH波有關的公式 (7)求應力(a) 下介質(zhì)為參數(shù)Berea A，實際的應力分別是-3，-5，-8，-10和-12 MPa; (b) 下介質(zhì)為參數(shù)Berea B，實際的應力分別是-3，-5，-8，-10和-12 MPa.Fig.3　The stress inverted by the relationship between SH-wave reflection coefficients and uniaxial stress.(a) Lower rock is Berea A; (b) Lower rock is Berea B.

圖4　由改進前的與SV波有關的公式(8)求應力(a) 下介質(zhì)為參數(shù)Berea A，實際的應力分別是-3，-5，-8，-10和-12 MPa； (b) 下介質(zhì)為參數(shù)Berea B，實際的應力分別是-3，-5，-8，-10和-12 MPa.Fig.4　The stress inverted by the relationship between SV-wave reflection coefficients and uniaxial stress.(a) Lower rock is Berea A; (b) Lower rock is Berea B.

-9.51～-8.94 MPa、-11.83～-11.00 MPa和-14.13～-12.93 MPa.相對誤差分別約為 17.7%～21.7%、15.2%～20.4%、11.8%～18.8%、10.0%～18.3%和7.8%～17.8%.由圖5b，在入射角小于10°的范圍，所求應力值分別約為-3.42～-3.33 MPa、-5.64～-5.43 MPa, -8.91～-8.45 MPa、-11.08～-10.40 MPa和-13.24～-12.30 MPa.相對誤差分別約為11.0%～14.0%，8.6%～12.8%，5.6%～11.4%，4.0%～10.8%和2.4%～10.4%.對比可見對壓縮應力大于5 MPa，由改進后的橫波公式求得的應力精度明顯提高，仍以-10 MPa為例，其誤差在4.0%～18.3%.而對壓縮應力小于5 MPa，其誤精度沒有改善.究其原因是，應力較小時，兩個方位橫波反射系數(shù)的差別比較小，而近似和嚴格的橫波反射系數(shù)結(jié)果基本一致，而這種橫波反射系數(shù)的差再相加可能又擴大了其他的近似處理所引起的誤差.

圖6給出了方程(9)的分子和分母隨入射角的變化.點劃線代表與橫波有關的分子，虛線是與橫波有關的的分母，實線是他們的比值.圖示結(jié)果表明方程(9)的分母隨角度快速增加，而分子隨角度緩慢增加，因此其比值除了在較小的角度外也會比較穩(wěn)定(見實線).由實線可見在1°～10°的范圍都是穩(wěn)定的，因此是可應用的.

圖5　由改進后的橫波有關的公式 (9)求應力(a)下介質(zhì)為參數(shù)Berea A，實際的應力分別是-3，-5，-8，-10和-12 MPa； (b)下介質(zhì)為參數(shù)Berea B，實際的應力分別是-3，-5，-8，-10和-12 MPa.Fig.5　The stress inverted by the relationship between shear-wave reflection coefficients and uniaxial stress.(a) Lower rock is Berea A; (b) Lower rock is Berea B.

圖6　方程(9)分子分母隨角度的變化虛線代表方程的分母，點劃線代表方程的分子，實線是分子和分母的比值.Fig.6　The numerator and denominator of the formulation(9) as a function of the incident angleDash dot line，dash line and thick line denote the numerator，denominator of formulation, and the ratios of numerator to denominator dRS(θ)/DRS(θ) respectively.

5結(jié)論

本文利用應力誘導的弱各向異性的各向異性參數(shù), 借助已有的本征HTI介質(zhì)顧及高階小量的橫波反射系數(shù)近似公式，針對下介質(zhì)為各向同性受單軸應力作用情況隨應力的增加求取應力精度降低的問題，對相對大些的單軸應力情況，發(fā)現(xiàn)通過將在入射平面與HTI介質(zhì)對稱軸成0°和90°的橫波反射系數(shù)差相加的方法，可以消除由于在推導橫波近似公式采用的一些近似所帶來的誤差.聯(lián)合SH波與SV波反射系數(shù)給出了改進的單軸應力與橫波反射系數(shù)的直觀表達式；計算并對比了受單軸應力作用的各向同性介質(zhì)的橫波近似和嚴格的反射系數(shù)，并利用理論得到的橫波反射系數(shù)對應力進行了估值.以-10 MPa的單軸應力為例，在入射角小于10° 的范圍內(nèi)，改進前的結(jié)果其估測的相對誤差在20.8%～38.2%，利用改進后橫波反射系數(shù)與應力的直觀表達式其估測的相對誤差在4.0%～18.3%，應力估值精度有了明顯的改善.這一改進的表達式，為相對大些的單軸應力情況(例如本文當單軸應力大于5 MPa)，利用橫波反射數(shù)據(jù)估測應力提供理論依據(jù).因此，我們可以用已有的應力與橫波的直觀公式(Liu et al.,2009)，利用橫波反射數(shù)據(jù)對應力進行估測和預判，再利用本文改進的公式進行修正，這對實現(xiàn)用橫波反射數(shù)據(jù)估測單軸應力具有指導意義.

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(本文編輯汪海英)

Relationships between uniaxial stress and S-wave reflection coefficients

LIU Jin-Xia, CUI Zhi-Wen, WANG Ke-Xie

CollegeofPhysics,JilinUniversity,Changchun130012,China

AbstractThe investigation of subsurface stress is most important for geophysical exploration. This paper analyzed relationships between uniaxial stress and S-wave reflection coefficients based on the known weak-anisotropy approximations for the anisotropic parameters in stressed media and the reflection coefficients in anisotropic media. We proposed a new simple relationship to improve the estimation accuracy of larger uniaxial stress for an interface between an isotropic overburden and an anisotropic medium induced by horizontal uniaxial stress. The approximate S-wave reflection coefficients are compared with the exact ones in stressed media by numerical calculations, and the improved direct relationships between uniaxial stress and S-wave reflection coefficients are used to estimate the magnitude of stress. The results show the simple formulations given in this paper are stable and useful except degree is close to zero, and the error of uniaxial stress estimated from S-wave become smaller than before when uniaxial stress is more than 5 MPa. Therefore, the improved direct relationships between uniaxial stress and S-wave reflection coefficients will be helpful to estimate the magnitude of stress.

KeywordsUniaxial stress; Weak-anisotropy; Anisotropic parameters; S-wave reflection coefficients

基金項目國家自然科學基金項目(41474098，41004044，11134011)資助.

作者簡介劉金霞,女,1977年生,博士,主要從事聲彈性、聲波測井理論與應用方法研究. E-mail:jinxiajlu@163.com; cuizw@jlu.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160427 中圖分類號P631

收稿日期2014-12-02，2016-01-13收修定稿

劉金霞, 崔志文, 王克協(xié). 2016. 水平單軸應力與橫波反射系數(shù).地球物理學報，59(4):1469-1476,doi:10.6038/cjg20160427.

Liu J X, Cui Z W, Wang K X. 2016. Relationships between uniaxial stress and S-wave reflection coefficients.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(4):1469-1476,doi:10.6038/cjg20160427.