鄧心歡， 馬海濤*， 李月， 楊寶俊

1 吉林大學(xué)通信工程學(xué)院， 長(zhǎng)春　130012 2 吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 長(zhǎng)春　130026

空間局部加權(quán)回歸自適應(yīng)TFPF

鄧心歡1， 馬海濤1*， 李月1， 楊寶俊2

1 吉林大學(xué)通信工程學(xué)院， 長(zhǎng)春130012 2 吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 長(zhǎng)春130026

摘要時(shí)頻峰值濾波(TFPF)算法是一種非常有效的去噪方法.但是傳統(tǒng)的TFPF采用的單一窗長(zhǎng)，并且僅沿時(shí)間方向進(jìn)行濾波，忽略了信號(hào)的空間信息，并且TFPF近似等效成一個(gè)時(shí)不變的低通濾波器，不能追蹤快速變化的信號(hào).針對(duì)這些問題，引入空間局部加權(quán)回歸自適應(yīng)TFPF (SLWR-ATFPF).鑒于隨機(jī)噪聲在各個(gè)位置的方向隨機(jī)性，以及有效信號(hào)在各個(gè)位置的方向確定性，首先利用空間局部加權(quán)回歸(SLWR)，對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行空間加權(quán)，從而使加權(quán)之后的信號(hào)包含空間信息.然后，再引入凸集和Viterbi的思想，對(duì)空間加權(quán)之后的信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)濾波.從而，完成時(shí)空域二維自適應(yīng)濾波.將SLWR-ATFPF應(yīng)用于合成記錄和實(shí)際的共炮點(diǎn)記錄，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的方法與原算法相比，能夠在壓制低信噪比(SNR)隨機(jī)噪聲的同時(shí)更好地保留有效信號(hào).

關(guān)鍵詞時(shí)頻峰值濾波(TFPF)； 自適應(yīng)； 空間局部加權(quán)回歸(SLWR)； 凸集； Viterbi算法

To solve these problems, we introduce the spatial locally weighted regression adaptive TFPF (SLWR-ATFPF). Due to the randomness of the random noise at each location and the definiteness of the valid signal at each location, we first apply the spatial locally weighted regression (SLWR) to achieve the space weighting of the noisy signal, which would make the signal contain spatial information. Then, we introduce the idea of convex sets and the Viterbi′s algorithm to finish the adaptive filtering of the spatially weighted signal. Finally, we complete the spatiotemporal adaptive filtering.

To verify the feasibility and effectiveness of the proposed approach, we use synthetic and real seismic records to test it. Through the comparison of waveforms and spectrums, it is easy to see that SLWR-ATFPF could preserve valid signals, including peaks and troughs more effectively. Moreover, the results of SLWR-ATFPF are closer to the noise-free signal both on high- and low-frequency components. In the real seismic record, the results of SLWR-ATFPF recover the reflection events more continuously and smoothly. In addition, some originally buried events are revealed clearly.

SLWR-ATFPF as an improvement method of TFPF could achieve better random noise attenuation and higher continuity and clarity of reflection events than conventional TFPF and adaptive TFPF (ATFPF). Therefore, this method has large applied space.

1引言

在地震勘探資料中，有效信號(hào)往往被湮沒在強(qiáng)隨機(jī)噪聲中，阻礙有效信息的恢復(fù).因此，壓制低SNR地震資料中隨機(jī)噪聲并最大限度保留有效信號(hào)，是地震勘探學(xué)界研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn).

時(shí)頻峰值濾波(TFPF)是消減地震勘探隨機(jī)噪聲的有效方法之一(金雷等, 2005; Lin et al.,2007; 林紅波等, 2008)，具有約束條件少，對(duì)低SNR地震資料適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì).為了有效壓制噪聲且恢復(fù)有效信號(hào)，則要求信號(hào)是線性的(Boashash and Mesbah, 2004).因此，在應(yīng)用TFPF處理實(shí)際地震資料時(shí)，采用加窗的Wigner-Ville分布(WVD), 即PWVD來實(shí)現(xiàn)地震信號(hào)的局部線性化(李月等, 2009).現(xiàn)有研究表明，有效的壓制隨機(jī)噪聲和信號(hào)幅度保持對(duì)窗長(zhǎng)的要求是矛盾的，為了得到理想的去噪效果需要大窗長(zhǎng)，但在大窗長(zhǎng)內(nèi)信號(hào)是非線性的，從而導(dǎo)致信號(hào)幅度衰減(Tian and Li, 2014).此外，由于地震勘探資料具有非平穩(wěn)的特征，單一窗長(zhǎng)無法同時(shí)滿足復(fù)雜地震信號(hào)的局部線性化條件，從而導(dǎo)致該方法處理含噪信號(hào)時(shí)存在有效信號(hào)損失及噪聲壓制不足的問題(Lin et al.,2014; Zhuang et al., 2015).為此，Zeng等(2015)提出了基于凸集和Viterbi算法的自適應(yīng)TFPF(ATFPF).該方法將不同窗長(zhǎng)的TFPF濾波結(jié)果組成一個(gè)凸集，然后在這個(gè)凸集上通過Viterbi算法尋找最小化給定的全局二次泛函所在位置的濾波結(jié)果作為有效信號(hào)的最優(yōu)估計(jì).該方法在去噪的基礎(chǔ)上，能夠快速地跟蹤信號(hào)變化，無畸變地恢復(fù)出有效信號(hào).但此方法也存在一定的問題：首先，該方法是時(shí)域一維濾波，并沒有考慮到信號(hào)的空間信息；其次，該方法使用的全局二次泛函是能量函數(shù)，所以當(dāng)處理較低SNR的含噪信號(hào)時(shí)，不能很好地估計(jì)出有效信號(hào).

為了解決上述問題，本文提出了空間局部加權(quán)回歸自適應(yīng)TFPF (SLWR-ATFPF)的二維濾波算法.首先，對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行空間局部加權(quán)回歸 (SLWR)，使處理之后的信號(hào)包含空間信息(Deng et al., 2010, 2011).然后，再對(duì)包含空間信息的含噪信號(hào)進(jìn)行基于凸集和Viterbi算法的自適應(yīng)TFPF，從而完成時(shí)空二維自適應(yīng)濾波.

2空間局部加權(quán)回歸自適應(yīng)TFPF

2.1空間局部加權(quán)回歸 (SLWR)

本文所考慮的地震勘探資料可以用如下方程建模：

(1)

(2)

式中，Crk為道間回歸系數(shù)，Ctk為時(shí)間回歸系數(shù).

由于地震勘探信號(hào)具有非平穩(wěn)的性質(zhì)，我們引入局部的思想.對(duì)含噪信號(hào)s進(jìn)行SLWR(玄海燕等, 2013).選用的局部空間的大小為m×n(m，n均為奇數(shù)).則局部道間回歸系數(shù)crk可以通過局部加權(quán)最小二乘得到.具體的過程如下：

設(shè)對(duì)應(yīng)于采樣點(diǎn)t(n-1)/2上r1～rm地震道的觀測(cè)值為s(n-1)/2,j=[s(n-1)/2,1,…,s(n-1)/2,m]，進(jìn)行加權(quán)最小二乘擬合，即使得

令R為Vandermonde矩陣，βr為擬合系數(shù)矩陣，Wr為加權(quán)矩陣，且需要滿足文獻(xiàn)(Cleveland, 1979)中的4個(gè)要求.利用加權(quán)最小二乘理論，得到的道間加權(quán)回歸值為(虞樂和肖基毅, 2012)：

(3)

則在r(n-1)/2,j處的擬合值為：

(4)

上述求解crk的過程可以通過相應(yīng)的變換進(jìn)行簡(jiǎn)化.如下所示：

由于加權(quán)矩陣Wr為對(duì)角陣，因此可以對(duì)其進(jìn)行Cholesky分解，得到：

(5)

把(5)式代入(3)式中，可以得到：

S(n-1)/2,j=(SrR)[(SrR)T(SrR)]-1(SrR)Ts(n-1)/2,j,

(6)

對(duì)公式(6)的證明見附錄A.令B=SrR,Pr=B(BTB)-1BT,則得到S(n-1)/2,j=Prs(n-1)/2,j.不難發(fā)現(xiàn)，Pr為正交投影矩陣(龐善起, 2005).對(duì)矩陣B進(jìn)行正交三角分解，得到：

(7)

則

Pr=B(BTB)-1BT

(8)

綜上可知，局部道間回歸系數(shù)：crk=Pr(:,(m-1)/2).

從而，完成對(duì)局部道間回歸系數(shù)求解的簡(jiǎn)化.同理可以得到沿采樣點(diǎn)方向的局部時(shí)間回歸系數(shù)ctk=Pt((n-1)/2,:)，其中Pt為時(shí)間方向上的正交投影矩陣.則

E(S)=E(crksctk)

=E(crk(x+g)ctk)

=E(crkxctk)+E(crkgctk).

(9)

由于隨機(jī)噪聲在各個(gè)位置的方向隨機(jī)性，以及有效信號(hào)在各個(gè)位置的方向確定性，可以得到：

(10)

(11)

因此，經(jīng)過SLWR處理之后得到的空間加權(quán)信號(hào)中，有效信號(hào)部分得到了增強(qiáng)，隨機(jī)噪聲得到了衰減.2.2TFPF

TFPF是一種基于時(shí)頻分析理論的噪聲消減算法(Boashash and Mesbah, 2004).以(1)式含噪信號(hào)的模型為例，簡(jiǎn)述一下TFPF的實(shí)現(xiàn)過程.

首先，對(duì)含噪信號(hào)s進(jìn)行調(diào)頻，使其成為調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率(IF)，

(12)

其中，μ>0為調(diào)頻系數(shù).

然后，計(jì)算關(guān)于z的PWVD：

(13)

最后，從(W)i,f中得到峰值處的瞬時(shí)頻率作為x的估計(jì).

(14)

簡(jiǎn)化上述三個(gè)步驟，TFPF最終可以等效成一個(gè)低通濾波(Zeng et al., 2015)，表示成如下形式：

(15)

(16)

2.3SLWR-ATFPF

conv(H)={hc∶hc=∑αvhLv,αv≥0,∑αv=1},

(17)

顯然，conv(H)為凸集，hc為不同窗長(zhǎng)TFPF沖激響應(yīng)的凸組合(Zeng et al., 2015).根據(jù)卷積運(yùn)算的線性特點(diǎn)，空間加權(quán)信號(hào)S的估計(jì)集合Yc為：

(18)

也為凸集.且Yc=conv(Y), Y={yLv=hLv*S,hLv∈H}.從Yc中選擇y等效于從conv(H)中選擇hc.再根據(jù)Hilbert投影定理，可知某定義在n的距離泛函J(y)一定可以在Yc上取得全局最小值(Boyd and Vandenberghe, 2004).

令定義在Yc上的距離泛函J(y)為：

J(y)=‖A(y-S)‖2+‖D(By)‖2, l≤y≤u

(19)

J(y)的表達(dá)式中，第一項(xiàng)表示對(duì)觀測(cè)信號(hào)的跟蹤，第二項(xiàng)表示對(duì)觀測(cè)信號(hào)的平滑.A，B控制著跟蹤與平滑程度之間的平衡.為了使y能夠自適應(yīng)于信號(hào)的變化，一個(gè)合理的想法是選取參數(shù)為(Zeng et al., 2015)：

(20)

其中，A體現(xiàn)了對(duì)Yc內(nèi)信號(hào)最大衰減幅度的跟蹤，B體現(xiàn)了對(duì)噪聲最大衰減的跟蹤.hui和hli分別為上下邊界處等效成的濾波器，σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值.由于該最優(yōu)化問題往往是病態(tài)的，故選擇Viterbi算法作為求解工具(Forney, 1973).SLWR-ATFPF的具體步驟如下：

(1) 對(duì)含噪信號(hào)s進(jìn)行SLWR處理，得到空間加權(quán)信號(hào)S.

(2) 給定濾波器序列H，求解空間加權(quán)信號(hào)S的估計(jì)集合Yc，以及Yc的上下邊界u，l.

(3) 在每個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)處取區(qū)間[li,ui]的分割點(diǎn)集Pi，使得Pi={yi,k:yi,k=li+k(ui-li)/N,k=0,1,2,…,N}，其中N為層數(shù)，以yi,k為頂點(diǎn)，可以組成網(wǎng)格圖1.

圖1　SLWR-ATFPF的網(wǎng)格圖Fig.1　Trellis diagram of SLWR-ATFPF

(4) 根據(jù)泛函J(y)定義相鄰頂點(diǎn)的距離如下表達(dá)式所示：

(21)

其中，yi,a，yi-1,b分別為Pi和Pi-1中的頂點(diǎn)，且其方向?yàn)镻i-1指向Pi.Si∈S，為對(duì)應(yīng)空間加權(quán)信號(hào)中，第i個(gè)采樣點(diǎn)處的值.

(5) 根據(jù)Viterbi算法，在網(wǎng)格圖中尋找距離最短路徑y(tǒng)，也就是使得J(y)最小的最優(yōu)解，則y即為有效信號(hào)x的最優(yōu)估計(jì).

3仿真實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用

應(yīng)用SLWR-ATFPF處理單炮反射地震資料模型.采用Ricker子波構(gòu)建模擬地震記錄，包含兩個(gè)反射軸，主頻分別為45 Hz，30 Hz，對(duì)應(yīng)的速度為2100 m·s-1，2600 m·s-1，采樣頻率為500 Hz.加入高斯白噪聲使SNR為-5 dB，如圖2a所示.分別采用TFPF(窗長(zhǎng)為7)，ATFPF(H={h1,h13,h53,h1023})以及本文提出的SLWR-ATFPF(H={h1,h13,h53,h1023})對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行處理, 得到的結(jié)果如圖 2所示.對(duì)比圖2a—2d，不難發(fā)現(xiàn)圖2d軸向更連續(xù).為了使效果更加明顯，我們?nèi)〕龅?3道進(jìn)行幅度和頻譜的對(duì)比，如圖3所示.通過對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，SLWR-ATFPF在波峰、波谷處幅度的保持，以及頻譜成分的跟蹤均優(yōu)于前兩種方法.這主要是由于TFPF僅采用單一窗長(zhǎng)，而且沒有包含道間相關(guān)信息；ATFPF雖然在時(shí)間方向上可以得到最優(yōu)解，但是當(dāng)SNR較低時(shí)，基于能量泛函J(y)的最優(yōu)解判斷，就會(huì)把有效信號(hào)當(dāng)成噪聲去掉；而SLWR-ATFPF克服了上述問題，通過時(shí)空二維濾波，先將信號(hào)進(jìn)行空間加權(quán)，再處理，從而得到較為理想的結(jié)果.表1列舉了不同方法處理之后的SNR，不難發(fā)現(xiàn)SLWR-ATFPF處理之后得到的SNR最高.

表1　信噪比定量對(duì)比(單位：dB)

將本文提出的SLWR-ATFPF應(yīng)用于168道，4000采樣點(diǎn)，采樣頻率為1000 Hz共炮點(diǎn)記錄(見圖4).其中，圖4a為原始記錄，圖4b為窗長(zhǎng)為9的TFPF處理結(jié)果，圖4c是ATFPF(H={h1,h9,h49,h499})處理的結(jié)果，圖4d是本文提出方法(H={h1,h9,h49,h499})的處理結(jié)果.對(duì)比四幅圖片，不難看出SLWR-ATFPF處理的結(jié)果中對(duì)隨機(jī)噪聲有更好的壓制效果，為了體現(xiàn)改進(jìn)算法的保幅效果，我們對(duì)方框里的結(jié)果進(jìn)行了放大，對(duì)應(yīng)的放大圖如圖 5所示.通過對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，SLWR-ATFPF處理之后，同相軸更加連續(xù).

圖2　合成地震記錄結(jié)果比較(a) 含噪合成地震記錄; (b) TFPF處理結(jié)果；(c) ATFPF處理結(jié)果; (d) SLWR-ATFPF處理結(jié)果.Fig.2　Comparison of results of synthetic records(a) Noisy synthetic seismic records; (b) Result of TFPF; (c) Result of ATFPF; (d) Result of SLWR-ATFPF.

圖3　單道合成地震記錄結(jié)果比較(a) 23道45 Hz的波形; (b) 23道45 Hz的頻譜；(c) 23道30 Hz的波形; (d) 23道30 Hz的頻譜.Fig.3　Comparison of results of single channel synthetic records(a) Waveform of 45 Hz of 23rd channel; (b) Spectrum of 45 Hz of 23rd channel; (c) Waveform of 30 Hz of 23rd channel; (d) Spectrum of 30 Hz of 23rd channel.

圖4　共炮點(diǎn)記錄處理結(jié)果對(duì)比(a) 實(shí)際地震勘探記錄； (b) TFPF處理結(jié)果； (c) ATFPF處理結(jié)果； (d) SLWR-ATFPF處理結(jié)果.Fig.4　Comparison of common shot point seismic data processing results(a) Real seismic record; (b) Result of TFPF; (c) Result of ATFPF; (d) Result of SLWR-ATFPF.

圖5　局部共炮點(diǎn)記錄處理結(jié)果對(duì)比(a) 局部實(shí)際地震勘探記錄； (b) TFPF處理局部放大結(jié)果； (c) ATFPF處理局部放大結(jié)果； (d) SLWR-ATFPF處理局部放大結(jié)果.Fig.5　Comparison of local common shot point seismic data processing results(a) Local real seismic record; (b) Local enlarged result of TFPF; (c) Local enlarged result of ATFPF; (d) Local enlarged result of SLWR-ATFPF.

4結(jié)論

本文針對(duì)傳統(tǒng)的TFPF僅采用單一窗長(zhǎng)且沒用利用空間相關(guān)信息的問題，研究了SLWR對(duì)TFPF的影響，并提出了SLWR-ATFPF.通過分析TFPF的特點(diǎn)，將SLWR處理之后的空間加權(quán)信號(hào)作為輸入，再進(jìn)行ATFPF，從而完成時(shí)空二維濾波.仿真實(shí)驗(yàn)和共炮點(diǎn)記錄處理結(jié)果表明，本文提出的算法降低了濾波后有效信號(hào)在波峰和波谷處的衰減，具有更好的保幅性，同時(shí)對(duì)噪聲有良好的壓制作用；在實(shí)際的地震資料處理中，該方法也得到了較好的處理效果.

附錄A對(duì)公式(6)的證明

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(本文編輯何燕)

Spatial locally weighted regression adaptive time-frequency peak filtering

DENG Xin-Huan1, MA Hai-Tao1*, LI Yue1, YANG Bao-Jun2

1CollegeofCommunicationandEngineering,JilinUniversity,Changchun130012,China2CollegeofGeo-explorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China

AbstractThe time-frequency peak filtering (TFPF) algorithm is an effective method for random noise attenuation. Recently, TFPF has been widely applied to seismic random noise attenuation. Whereas, TFPF still has some shortcomings. (1) The conventional TFPF uses a fixed window length for all frequency components. As a consequence, serious loss of the valid information or insufficient suppression of the noise is unavoidable. (2) TFPF carries out filtering only along the time direction, which lacks consideration of the spatial correlation. (3) TFPF is approximately equivalent to a time-invariant low-pass filer, which means that the frequency components of signal higher than some cut-off frequency would be attenuated.

KeywordsTime-frequency peak filtering (TFPF); Adaptive; Spatial locally weighted regression (SLWR); Convex sets; Viterbi algorithm

基金項(xiàng)目國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(41130421)資助.

作者簡(jiǎn)介鄧心歡, 男, 吉林省人, 漢, 吉林大學(xué)信號(hào)與信息處理專業(yè)研究生，研究方向?yàn)榈卣鹦盘?hào)處理.E-mail:dengxinhuan@yeah.net *通訊作者馬海濤，男，副教授，從事地震勘探信號(hào)處理.E-mail:mahaitao04@yeah.net

doi:10.6038/cjg20160525 中圖分類號(hào)P631

收稿日期2015-01-23，2016-03-04收修定稿

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