施云

（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，浙江杭州310027）

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四元Heisenberg群上的鏈和R-圓及其性質(zhì)

施云

（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，浙江杭州310027）

定義了四元雙曲空間上的鏈和R-圓，并給出了鏈在垂直投影下的性質(zhì).證明了經(jīng)過Heisenberg群上固定兩點(diǎn)的鏈的唯一性，R-球的qc-水平性，并給出了R-圓與純虛R-圓之間的關(guān)系.

四元雙曲空間；四元Heisenberg群；鏈；R-圓

§1　引　言

近年來，四元切觸幾何有許多深入系統(tǒng)的研究和應(yīng)用，參見［1-11］等.四元切觸幾何是多復(fù)變中CR幾何的四元對應(yīng)物.四元Heisenberg群和四元雙曲空間是研究四元切觸幾何的最簡單的模型.［9］中介紹了復(fù)雙曲空間HnC的球模型和Siegel域模型，并給出了HnC上的鏈和R-圓的定義及其性質(zhì).在［12］中，Jacobowitz給出了鏈和R-圓的等價定義并用其他方法得出了類似的性質(zhì).本文介紹了四元雙曲空間，四元Heisenberg群，Siegel域，并對四元Heisenberg群上的鏈和R-圓進(jìn)行了一些研究. Cartan證明了與Von Staudt定理相類似的鏈保持定理（參見［9］p.136），在復(fù)的情況下，R-圓被應(yīng)用于PU（n，1）的離散子群的研究（參見［9］p.149）.我們期望四元情況下也有類似的鏈保持定理，R-圓也能被應(yīng)用于PSp（n，1）的離散子群的研究.

§2回顧了四元雙曲空間的基本定義，Heisenberg群H上的自同態(tài)（參見［13］p.81）以及四元Heisenberg群與Siegel域之間的關(guān)系（參見［6］p.145）.§3引入了四元雙曲空間上的鏈的定義，給出了有限鏈和垂直鏈在垂直投影下與Hn-1的關(guān)系，證明了經(jīng)過Heisenberg群上兩點(diǎn)的鏈的存在唯一性以及經(jīng)過Heisenberg群上一點(diǎn)與垂直切空間上一點(diǎn)相切的鏈的存在唯一性.§4引入了四元雙曲空間下的R-球和R-圓，定義了純虛R-圓，證明了任何R-球均是qc-水平的子流形以及任何一個R-圓可以看成是由純虛R-圓在Heisenberg作用下變換而得.

§2　預(yù)備知識

四元切觸流形（M，g，Q）是由一個（4n - 1）-維流形（n≥2）M和一個余維數(shù)為三的分布H構(gòu)成的，局部的，H可以表示成一個R3-值的1-形式Θ=（θ1，θ2，θ3）的核，稱H為水平空間，g是其上的度量.進(jìn)一步地，H有Sp（n）Sp（1）-結(jié)構(gòu)，即其上配有秩為3的叢:

其中殆復(fù)結(jié)構(gòu)I1，I2，I3是H上的自同態(tài)，局部的，滿足四元交換律:

它們與度量Hermitian相容:

且對于任意的X，Y∈H，s = 1，2，3滿足相容條件

記I :=（I1，I2，I3）.

四元Heisenberg群H = Hn-1⊕R3上有乘法

其中，x =（x1，···，xn-1），y =（y1，···，yn-1），t =（t1，t2，t3），s =（s1，s2，s3），xˉy = x1ˉy1+···+ xn-1ˉyn-1，且它的原點(diǎn)是e =（0，0）.對于任意的ξ=（x，t），定義它的模為

H上有如下自同態(tài)（參見［13］p.81）:

（1）脹縮:

（2）左平移:

（3）旋轉(zhuǎn):

其中

（4）反射:

（5）Sp（1）的作用:

其中在第一個因子上的作用是左乘σ∈H且|σ| = 1，在第二個因子上的作用與SO（3）同構(gòu).

（6）共軛:

把（4）-（9）式中若干映射的復(fù)合稱為Heisenberg作用.

令（M，g，Q）為一個四元流形，稱它的一個k-維子流形S∈M為水平的，當(dāng)且僅當(dāng)它處處切于H，即對于任意的s∈S，它的切空間TsS∈Hs.

四元Heisenberg群H的乘法寫成實(shí)變量的形式可以表示成

其中s = 1，2，3，y =（y1，y2，···，y4n-4），y′=（y′1，y′2，···，y′4n-4）∈R4n-4，t =（t1，t2，t3），t′= （t′1，t′2，t′3）∈R3（參見［8］（2.15））.四元Heisnberg群H上的左不變向量場可以表示成

l = 0，···，n - 2，j = 1，···，4（參見［8］（2.17））.

四元Heisenberg群的水平子空間HH:= span｛Y1，···，Y4n-4｝.

令Hn，1為一個（n + 1）-維四元線性空間，它包含

其中q′=（q1，···，qn）∈Hn，qn+1∈H.在Hn，1上定義內(nèi)積

n-維四元射影空間P（Hn+1）是Hn+1中左四元直線的集合.精確的

其中～是等價關(guān)系:如果（p′1，···，p′n+1）～（q′1，···，q′n+1）∈Hn+1，則存在非零四元數(shù)λ使得

稱向量Q∈Hn，1為負(fù)（零，正），當(dāng)且僅當(dāng)＜0（ = 0，＞0）.直線l∈Hn，1稱為負(fù)（零，正），當(dāng)且僅當(dāng)l由負(fù)（零，正）向量組成. P（Hn，1）的包含Hn，1中的負(fù)直線的子集稱為n維四元雙曲空間，記為HnH.

P（Hn+1）在Sp（n，1）的誘導(dǎo)作用下，存在三個不變子空間

作為Sp（n，1）的齊性空間，D-等價于四元雙曲空間HnH. HnH中的點(diǎn)的穩(wěn)定子是Sp（n，1）的最大緊子群，記為Sp（n）×Sp（1）（參見［14］p.524）. Sp（n，1）是保持<·，·>的（n + 1）×（n + 1）四元數(shù)矩陣. 在Hn上定義內(nèi)積

Sp（n）保持?·，·?不變.

取q∈?HnH，與其相應(yīng)的零線由零向量Q∈Hn，1生成.存在唯一的與?H相切于q的H-超平面H（q），與之相應(yīng)的線性超平面是）上與H（q）互補(bǔ)且包含的仿射片是一個無界區(qū)域.可以把嵌入映射表示為，令Q為向量

對應(yīng)于球模型的南極，其中0′=（0，···，0）∈Hn-1，因此H（?p∞）由所有

表示的點(diǎn)組成，其中q =（q1，···，qn-1）.

映射

是所需的仿射嵌入.

（1）球模型

可以把HnH和單位球

通過如下映射等同起來.令

為把Hn嵌入到P（Hn，1）的映射（在齊性坐標(biāo)下qn+1/= 0）.由于當(dāng)qn+1= 0時，Hn，1中的向量是正的，故有HnH?A（Hn），且A把B4n和HnH，以及?B4n= S4n-1?Hn和?HnH等同起來.

（2）Siegel域模型

四元雙曲空間HnH還可以等同于一個無界域，即Siegel域

通過Cayley變換:

等同起來（參見［6］p.145）.

反射ι把原點(diǎn)映到∞，如果Dδ是原點(diǎn)處的一個漲縮，那么

令E為四元向量空間.如果數(shù)量乘法只考慮R∈H，則存在實(shí)向量空間ER，稱為E下的實(shí)向量空間.定義ER上的關(guān)于I1，I2，I3不變，非退化的雙線性形式

子空間S?ER稱為全實(shí)的當(dāng)且僅當(dāng)S，I1S，I2S，I3S在（（，））下垂直.

流形M的一個子流形N稱為在x處是全測地的，如果對于任意的X∈TxN，M上由x和X定義的測地線也是N上的測地線.如果對于N上的所有點(diǎn)N都是全測地的，則稱N為M的全測地子流形.如果N?M既是全實(shí)的又是M的全測地子流形，則稱N為全實(shí)全測地子流形.

§3　鏈

四元Heisenberg群上的鏈起到的作用與Riemann幾何上測地線起到的作用類似.與復(fù)的情況相類似，對于任意的x∈B4n，存在g∈Sp（n，1）把x映射到球心e，令F′?TeBn為過球心的一個k-維四元線性子空間，存在唯一的一個過球心且與F′相切的全測地子流形.記g（F′）= F.由于g是等距的，通過g-1可得唯一的包含x且與F相切的全測地子流形.把這種子流形叫作Hk-平面.把H1-平面叫作四元測地線. Hk-平面和?HnH的交是的一個光滑嵌入，稱為Hk-鏈.把H1-鏈就叫作鏈.

類似的，四元超平面和HnH的交是一個全測地四元超曲面，稱為在HnH上的四元超平面，它的邊界是光滑嵌入?HnH中的（4n - 1）-維球，稱為超鏈.

若（x，t）∈H，則把x = 0叫作垂直軸，記為V.經(jīng)過∞的鏈可以表示成垂直投影

的纖維.把這樣的鏈叫作垂直鏈.不經(jīng)過∞的鏈叫作有限鏈.

如果C是四元線性子空間，那么存在唯一的一個穩(wěn)定點(diǎn)集是C的反射，記作ιC.比如，保持垂直軸x = 0的反射就是通常的歐幾里德反射（x，t）■→（-x，t），表示成對角矩陣

其中In-1是（n - 1）×（n - 1）單位矩陣.

其中反射在HnH的球模型和Siegel模型上分別為

和

令L?HnH為一個Hk-平面且它的邊界?L =ˉL∩?HnH是一個Hk-鏈.那么通過判斷∞是否在?L內(nèi)，可以分成如下兩種情況.如果∞∈?L，稱?L是垂直的；如果∞/∈?L，稱?L是有限的. 把L中的反射記為ιL.如果?L是有限的則ιL（∞）∈H叫做?L的中心，記為OL.

例3.1取Hk-平面L =｛（0，···，0，ξn-k+1，···，ξn）∈Hn｝，則

為球B4n上的鏈，通過Cayley變換可以把它變換為Siegel域上的垂直鏈

特別的，取k = 1，n = 2時，得到鏈｛（q1，q2）∈H2；Req2= 0｝，投影到H上為｛（0，q2）｝.

例3.2取Hk-平面L =｛（ξ1，···，ξk，0，···，0）∈Hn｝，則

為球B4n上的鏈，通過Cayley變換可以把它變換為Siegel域上的有限鏈

通過§2中的映射（16），可以把如上有限鏈投影為Heisenberg群上的有限鏈

進(jìn)一步地，垂直投影ΠV: H→Hn-1可以把?L投影到Hn-1的一個實(shí)（4k - 1）-維球

定理3.1令?L??HnH= H∪｛∞｝為一個Hk-鏈且ΠV: H→Hn-1為垂直投影.那么1.如果?L是垂直的，則ΠV（?L -｛p∞｝）是Hn-1的一個（k - 1）-維H-仿射子空間且

p∞是Siegel域Σ中的無窮遠(yuǎn)點(diǎn).

2.如果?L是有限的，則ΠV是?L到Hn-1的一個實(shí)（4k - 1）-維球的一個雙射.

3.兩個Hk-鏈的垂直投影之間相差一個垂直變換.

證1.由于p∞∈?L，ιL在L中是一個保持p∞的變換，因此也保持與?HnH相切于p∞處的四元超平面H（p∞）.相應(yīng)地，在Σ的仿射片上，ιL為仿射變換，它的穩(wěn)定點(diǎn)集L-｛p∞｝是一個四元仿射空間.由于通過p∞的四元直線有界于垂直鏈，?L是一些垂直鏈的集合，因此ΠV（?L）是（k - 1）-維四元仿射子空間.

2.假設(shè)?L是中心為OL的有限Hk-鏈.存在唯一的包含L的垂直Hk+1-鏈L+.由1，ΠV（?L+）是Hn-1中的一個k-維仿射子空間.把Hn-1由ΠV（?L+）代替，可以假設(shè)k = n - 1.

令τ為把OL映到V上的變換，則τ（L）是中心在V上的一個Hk-鏈.因此可以假設(shè)OL∈V. V是唯一的包含OL和∞的鏈，且ιL交換OL和∞.因此ιLV = V，即L和V是正交的.因此2成立.

3.證明與2類似.

當(dāng)n = 2時，由定理3.1可以直接得到如下推論.

推論3.1鏈在H上的垂直投影為一個點(diǎn)或者一個圓.

推論3.2如果兩個鏈的垂直投影相同，則他們之間只相差一個垂直變換.

如果c∈H是一個有限鏈，那么把ΠV（c）∈H的半徑定義為鏈c的半徑.

定理3.2 1.令p，q∈H，則存在唯一的鏈經(jīng)過p，q.

2.令p∈H且ξ∈TpH - Hp是經(jīng)過p點(diǎn)的切向量，那么存在唯一的鏈經(jīng)過p且與ξ相切.

證1.存在唯一的P（Hn，1）中的投射直線經(jīng)過p，q∈P（Hn，1）.那么它的邊界就是所求的鏈.

2.由于ξ是一個非零的切向量，存在唯一的經(jīng)過p與ξ相切的投射直線.因為p∈H且ξ/∈Hp，故這條直線不與?HnH?P（Hn，1）相切，那么它與?HnH的交是所求的鏈.

令α?H2H為四元測地線｛0｝×H1H有界于垂直軸V∈H .記

進(jìn)一步地，把投影Πα: H2H→α限制在H - V的邊界上，這把雙曲幾何嵌入到Heisenberg幾何中，即雙曲平面對應(yīng)于H - V中與V垂直的鏈.這些鏈覆蓋H - V，且通過

把雙曲度量變換到H - V上的度量.

V的穩(wěn)定子是如下復(fù)合的像

嵌入Sp（1，1）■→Sp（2，1）為

其中D∈Sp（1，1）. Sp（1，1）的中心是固定V的反射.在球模型中，正交投影Πα: H2H→α可以表示為Πα（q1，q2）=（0，q2）.

§4　 R-圓

鏈提供了很多Heisenberg群上的幾何對象.另一方面，與鏈相類似，也可以考慮全實(shí)測地子空間的邊界.

把Hk-平面定義中的全測地子流形用全實(shí)全測地子流形代替，可以得到Rk-平面的定義，即對于任意的x∈B4n，存在g∈Sp（n，1）把x映射到球心e，令F′?TeBn為過球心的一個k-維四元線性子空間，存在唯一的一個過球心且與F′相切的全實(shí)全測地子流形.記g（F′）= F.由于g是等距的，通過g-1可得唯一的包含x且與F相切的全實(shí)全測地子流形.把這種子流形叫作Rk-平面. 把Rk-平面的邊界稱作Rk-1-球. R1-球叫作R-圓.把HnH中的Rn-球叫作R-形式. Rk-1-球是光滑的實(shí)（k - 1）-維流形.

下面給出HHn上的R-球的一些性質(zhì)（復(fù)雙曲空間下相應(yīng)的結(jié)論參見［9］§4，另一種研究復(fù)雙曲空間下R-球的方法參見［12］§9）.定義實(shí)球

回顧子流形S??HnH是qc-水平的定義，有

定理4.1 P∈HnH是一個Rk-平面，那么R-球?P??HnH是qc-水平的子流形.

證令p∈?P，標(biāo)準(zhǔn)的qc-水平空間可以定義為

只需要證明

通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，可以假設(shè)P = BkR×｛0n-k｝=（x1，···，xk，0，···，0），其中xj∈R且p =（1，0，···，0）.那么Tp（?H）= ImH×Hn-1，IkTp（?HnH）= ImH×Hn-1，k = 1，2，3且Tp（?P）=｛0｝×Rk-1×｛0｝，則

同理可證，I2Tp（?P）?ImH×Hn-1和I3Tp（?P）?ImH×Hn-1.命題成立.

與鏈類似，Heisenberg幾何中的R-球分為有限R-球和無限R-球兩種.如果R-球S包含∞則稱S是無限R-球，如果不包含∞則稱S是有限R-球.

例4.1取Rk-平面L =｛（0，···，0，xn-k+1，···，xn）∈Rn｝，則

為實(shí)球B4nR上的R-球，通過Cayley變換可以把它變換為Siegel域上的垂直R-球

這是一個拋物面.

例4.2取Rk-平面L =｛（x1，···，xk，0，···，0）∈Rn｝，則S =ˉL∩?BnR=（x1，···，xk，0，···，0）∈Rn；x21+···+ x2k= 1

為實(shí)球BnR上的R-球，通過Cayley變換可以把它變換為Siegel域上的有限R-球

通過§2中的映射（16），可以把如上有限R-球投影為Heisenberg群上的有限R-球

性質(zhì)4.1令S?M為四元切觸流形（M4n-1，g，Q）的一個水平子流形，那么有dimS＜n.

證對于任意的s∈S，把dΘ限制到Hs上是一種反對稱結(jié)構(gòu). Xs，Ys是切向量，把他們延拓為S上的光滑向量場，在這種結(jié)構(gòu)下TsS∈Hs是迷向的.那么，因為Xs，Ys和［X，Y］（s）∈TsS均屬于Hs= Ker（Θ），則

由于TsS是迷向的，所以dimTsS≤14dimHs= n - 1.

例4.3與標(biāo)準(zhǔn)的全實(shí)子空間HR2?HH2對應(yīng)的無限R-圓是實(shí)軸

任何一個H中的無限R-圓可以從R×｛0｝通過一個Heisenberg等距變換得到.

為了簡便起見，本節(jié)的余下部分只考慮n = 2的情況，即只考慮實(shí)維數(shù)為7的Heisenberg群上的R-圓.有限R-圓R的中心由∞在反射ιR下的像定義（無限R-圓的中心定義為∞）.有QB2R?B8，k = 1，2，3，其中Q由 §2中的（1）定義.

考慮一個以原點(diǎn)為中心且包含于QB2R?B8的R-圓.把這種R-圓叫作純虛的R-圓，記為RQ.為了簡便起見，只考慮以原點(diǎn)為中心，包含于I1B2R的R-圓，記為RI1.把（x，t）寫成柱坐標(biāo)的形式，為（x = a + bi + cj + dk = re?nθ，t = t1i + t2j + t3k），其中

（參見［15］p.1646）.

（x，t）∈H在Cayley變換下對應(yīng)于球上的點(diǎn)

因此RI1在柱坐標(biāo)下可以由如下方程決定:

即:

定理4.2任何一個R-圓可以看成是RQ在Heisenberg作用下的像.

證顯然可以通過Heisenberg作用把RQ變換成RI1，因此只需要證明任何一個R-圓可以看成是RI1在Heisenberg作用下的像.考慮有限R-圓R?H，它的反射是ιR: H→H .可以通過Heisenberg作用把R的中心ιR（∞）變換到原點(diǎn)0∈H，因此不妨假設(shè)R的中心是0.反射ιR不改變包含0和∞=ιR（0）的鏈，即垂直軸V.把ιR限制到V上是一個反對和，它有兩個固定點(diǎn).由于ιR交換0和∞，如果ιR|V的固定點(diǎn)是（0，±r20i），其中r0＞0.通過Heisenberg漲縮可以假設(shè)ιR固定（0，±i）∈V.

ιI1表示反射，由于（0，±i）∈RI1且ιI1（V）= V，則ιR?ιI1保持V不變，且固定（0，0），（0，±i），∞.因此ιR?ιI1固定V，令

有:

如果R是一個有限R-圓，存在唯一的Heisenberg變換T使得T（R）的中心是原點(diǎn).那么存在一個Heisenberg變換

使得T（R）=δ（RI1）.把四元數(shù)r2e2?nθ定義為R-圓R的半徑.顯然RI1的半徑是1.

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Chain and R-circle on quaternionic Heisenberg group and their properties

SHI Yun
（Department of Mathematics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

This paper defines chain and R-circle on quaternionic hyperbolic space，and gives the property of chains under the vertical projection. The uniqueness of chain passing through two distinct points and qc-horizontality of R-circles are proved，and the relationship between R-circle and pure imaginary R-circle is given.

quaternionic hyperbolic space；quaternionic Heisenberg group；chain；R-circle MR Subject Classification: 53C15；53C56

O184

A

1000-4424（2016）01-0090-11

2015-11-13

2016-01-15

國家自然基金（11171298；11571305）