王宇譜呂志平 孫大雙 王 寧

(1解放軍信息工程大學地理空間信息學院鄭州450001)(2地理信息工程國家重點實驗室西安710054)

一種改進鐘差二次多項式模型的導航衛(wèi)星鐘差預報方法?

王宇譜1,2?呂志平1孫大雙1王 寧1

(1解放軍信息工程大學地理空間信息學院鄭州450001)
(2地理信息工程國家重點實驗室西安710054)

為了更好地反映鐘差特性并提高其預報精度,建立一種能夠同時考慮星載原子鐘物理特性、鐘差周期性變化與隨機性變化特點的鐘差預報模型.首先采用附有周期項的二次多項式模型進行擬合提取衛(wèi)星鐘差(Satellite Clock Bias,SCB)的趨勢項與周期項,然后根據擬合殘差的特點采用時間序列ARIMA(Auto-Regressive Integrated Moving Average)模型對殘差進行建模;最后將兩種模型的預報結果結合得到最終鐘差預報值.使用IGS(International GNSS Service)精密鐘差數據進行預報試驗,將新方法與二次多項式模型、灰色模型及ARIMA模型進行對比,證明了新方法能夠更高精度地預報衛(wèi)星鐘差,且可以一定程度上改善ARIMA存在模型識別與定階不準的不足.

天體測量學:時間,方法:數據分析

1 引言

衛(wèi)星導航系統(tǒng)中星載原子鐘的鐘差預報在優(yōu)化導航電文中的鐘差參數、滿足實時動態(tài)精密單點定位的需求、提供衛(wèi)星自主導航所需的先驗信息等方面具有重要的作用[1].因此,針對衛(wèi)星鐘差預報,國內外學者進行了大量的研究,建立起了大量的鐘差預報模型[2?7].但這些已有的預報模型主要是一些單一模型,而對于像衛(wèi)星鐘差這種異常復雜的非線性、非平穩(wěn)隨機序列很難使用單一的模型進行有效預報[8].

本文同時考慮星載原子鐘的物理特性、周期性變化特點與隨機變化部分,在鐘差二次多項式附加周期項模型的基礎上,采用時間序列ARIMA模型對衛(wèi)星鐘的隨機項進行建模,得到一種更加完善的衛(wèi)星鐘差組合預報模型.該方法首先采用附有周期項的二次多項式模型進行擬合來提取衛(wèi)星鐘差的趨勢項與周期項,然后對擬合殘差進行一次差分,得到便于ARMA模型確定的平穩(wěn)時間序列,進而完成殘差預報;最后將附有周期項的二次多項式模型和ARIMA模型的預報結果結合得到最終鐘差預報值.采用IGS提供的GPS精密鐘差數據,將新方法與二次多項式(QP)模型[5]、灰色模型(GM(1,1))[6]及ARIMA模型[7]進行對比,證明了新方法能夠更高精度地預報衛(wèi)星鐘差,而且可以一定程度上改善ARIMA存在模型識別與定階不準的不足.

2 算法原理

根據星載原子鐘的物理特性,在構造精密鐘差模型時,通常采用包含表征衛(wèi)星鐘時頻特性的相位(鐘差)、頻率(鐘速)、頻率漂移率(鐘漂)的二次多項式模型,其具體表達式為[4]:

其中,Li是ti時刻的衛(wèi)星鐘差,t0為星歷表參考時刻,ti表示歷元時刻;待估參數a0、a1和a2分別表示參考時刻t0的相位、頻率及頻率漂移率;Δ為觀測誤差.當已知鐘差數據不少于3個時,便可擬合求得待估參數.此外,在鐘差的擬合預報中,除了以二次多項式來反映鐘差的趨勢項部分,還應考慮鐘差的周期變化特性;附加周期項的二次多項式(MQP)模型表達式為[9]:

式中,p為主要周期函數的個數,Ak、fk、φk分別為對應周期項的振幅、頻率和相位,其余符號的含義與二次多項式模型的表達式相同.p與fk的值可利用頻譜分析來確定,而本文根據文獻[10]的研究結果,直接取12 h、6 h作為主周期項.此外,為了更好地反映鐘差特性并提高鐘差預報精度,在考慮星載原子鐘物理特性和周期變化特點的基礎上,還應考慮其隨機項部分[11].ARIMA模型是一種將自回歸模型與滑動平均模型有機組合起來的高級預報方法,適合用來預報像鐘差隨機項這種隨機時間序列.基于差分處理的ARIMA(p,d,q)模型,記為{xt}～ARIMA(p,d,q),其中{xt}是數據序列,p、q為模型的階,d為差分的次數;當d為0時,ARIMA模型即為ARMA模型,定義為[7]:

式中,ai、bj為相應的待估參數,分別稱為自回歸參數和滑動平均參數;εt為白噪聲序列.使用ARIMA模型進行鐘差建模和預報時,模型及其階數的合理確定是關鍵.本文首先根據自相關函數和偏相關函數的截尾性初步確定模型和模型的階數,在模型確定以后,利用AIC(Akaike Information Criterion)準則來準確確定模型的階數;模型及其階數確定以后,通過已知數據使用較為常用的最小二乘估計方法來求解模型參數[12].最后,本文所建立的鐘差預報模型的表達式可以寫為:

式中各參數的含義與前面提到的參數一樣,需要說明的是式中的時間參數ti和t0均以秒為單位.新方法的工作原理如圖1所示.

圖1 新方法的鐘差預報原理Fig.1 SCB prediction principle of the proposed method

3 試驗與分析

為了驗證所提方法(QARIMA模型)的有效性,采用IGS提供的GPS系統(tǒng)15 min采樣間隔的精密鐘差數據進行試算分析.以2012年9月19號到2012年9月25號的數據為例,考慮當前在軌運行的GNSS(Global Navigation Satellite System)星載原子鐘主要是銣原子鐘(Rb鐘),而該時間段內GPS星載Rb鐘包含4種類型:BLOCK IIA Rb鐘、IIR Rb鐘、IIR-M Rb鐘及IIF Rb鐘,隨機選取該時間段內數據完整的每種類型鐘對應的1顆衛(wèi)星,本文選取的是PRN01、PRN17、PRN21和PRN26 4顆衛(wèi)星進行預報試驗.另外,以預報時間段對應的已知精密鐘差值為基準值,采用均方根誤差(RMS)和極差(最大、最小誤差之差的絕對值,記作Range)作為預報結果的統(tǒng)計量進行對比與分析,其中RMS表征預報結果的精度,Range代表預報結果的穩(wěn)定性.

3.1 試驗一

首先分析新方法的建模過程及其預報特性.以PRN17衛(wèi)星為例,采用MQP模型對9月19號的鐘差數據進行擬合,圖2為其鐘差的擬合殘差.從該圖可以看出,擬合殘差仍呈現出一定的變化趨勢,這將不利于ARMA建模.對殘差進行一次差分后(如圖3)可以看出變化趨勢得到較好的消除.其他衛(wèi)星類似,通過對擬合殘差進行一次差分方便對ARMA建模.

在此分析基礎上,4顆衛(wèi)星使用各自對應9月19號的精密鐘差數據,分別對QP、MQP和QARIMA進行建模,預報9月20號一整天的鐘差.表1給出4顆衛(wèi)星擬合殘差進行ARIMA建模時p,d,q的取值情況.圖4～7為4顆衛(wèi)星在3種模型下的預報結果.對比圖中4顆衛(wèi)星在3種模型下的預報結果看出,本文所提的QARIMA模型預報誤差比QP模型與MQP模型預報誤差小且發(fā)散慢,說明考慮鐘差隨機項并使用ARIMA對其進行建模是合理的.為了對預報結果進行定性分析,表2給出了4顆衛(wèi)星預報結果的統(tǒng)計值.

圖2 PRN17衛(wèi)星的鐘差擬合殘差Fig.2 SCB fitting residual of satellite PRN17

圖3 PRN17衛(wèi)星的鐘差擬合殘差一次差序列Fig.3 Once di ff erence series of the SCB fitting residual of satellite PRN17

表1 4顆衛(wèi)星在ARIMA模型中參數的取值Table 1 Parameters’values for the ARIMA models of four satellites

圖4 PRN01衛(wèi)星的預報結果Fig.4 Prediction results of satellite PRN01

圖5 PRN17衛(wèi)星的預報結果Fig.5 Prediction results of satellite PRN17

圖6 PRN21衛(wèi)星的預報結果Fig.6 Prediction results of satellite PRN21

圖7 PRN26衛(wèi)星的預報結果Fig.7 Prediction results of satellite PRN26

表2 4顆衛(wèi)星預報結果的統(tǒng)計值(單位:ns)Table 2 Statistics of prediction results from four satellites(unit:ns)

從該試驗預報結果統(tǒng)計表中可以看出,每顆衛(wèi)星的預報結果中QARIMA模型的RMS值與Range值最小,其次是MQP模型,而QP模型的統(tǒng)計值最大;說明本文所建模型的預報精度與預報穩(wěn)定性最好,該模型能夠在鐘差物理特性和周期特性的基礎上考慮鐘差的隨機項得到更加完善的鐘差模型.根據4顆衛(wèi)星預報結果的平均值可知,精度方面新模型比常用的QP模型提高2倍多,而新模型預報結果的穩(wěn)定性也有較大程度的改善.

3.2 試驗二

將本文所提方法與常用的QP模型、GM(1,1)模型及ARIMA模型進行對比,進一步分析新方法較3種常用模型的預報特性.采用9月24號4顆衛(wèi)星一整天的鐘差數據進行建模,預報接下來9月25號一整天的鐘差;而其中GM(1,1)的建模方案類似于文獻[6],即使用9月24號最后2 h的鐘差數據進行建模.表3給出了本試驗中單一ARIMA模型及新方法中ARIMA對應的參數取值.圖8～11是4顆衛(wèi)星在各模型下的預報誤差.從圖中可以看出,本文所提方法的預報誤差相對較小且發(fā)散較慢,同時誤差的波動范圍也較小,因此說明新方法的預報效果優(yōu)于其他3種模型.表4為本試驗下4顆衛(wèi)星預報結果的統(tǒng)計情況.

表3 2種模型下對應ARIMA參數的取值Table 3Parameters’values of the ARIMA models corresponding to the two models

表4 4顆衛(wèi)星預報結果的統(tǒng)計值(單位:ns)Table 4 Statistics of prediction results from four satellites(unit:ns)

圖8 PRN01衛(wèi)星的預報誤差Fig.8 Prediction errors of satellite PRN01

圖9 PRN17衛(wèi)星的預報誤差Fig.9 Prediction errors of satellite PRN17

圖10 PRN21衛(wèi)星的預報誤差Fig.10 Prediction errors of satellite PRN21

圖11 PRN26衛(wèi)星的預報誤差Fig.11 Prediction errors of satellite PRN26

根據表4的統(tǒng)計結果可知,不論是單顆衛(wèi)星的預報結果還是4顆衛(wèi)星預報結果的平均值,在預報精度(RMS值)與預報穩(wěn)定性(Range)上,本文所提方法均優(yōu)于其他3種模型,進一步說明本文所提方法的有效性以及采用ARIMA模型對鐘差隨機項建模的正確性.對比4顆衛(wèi)星預報結果的平均值可以看出,在鐘差建模數據一定的條件下,QP模型與GM(1,1)模型的鐘差預報效果優(yōu)于ARIMA模型,這是由于ARIMA模型在建模數據較少時存在著模型識別與定階不準的不足;同時從表中ARIMA模型與新方法QARIMA的預報結果可知,采用組合預報的方法比單純使用ARIMA模型進行鐘差預報時的預報效果要好;因此可以說明,采用本文所提方法進行鐘差預報,不但可以在鐘差物理特性與周期特性的基礎上考慮鐘差的隨機特性,而且能夠一定程度上改善單獨使用ARIMA模型進行鐘差預報時存在的不足.另外,新方法較3種傳統(tǒng)方法的優(yōu)效性說明考慮鐘差的隨機項可以進一步提高鐘差預報的效果.

4 總結

為了改進鐘差預報模型、提高鐘差預報精度,本文在鐘差二次多項式模型的基礎上顧及了鐘差的主要周期項并將鐘差的隨機項部分考慮到鐘差預報建模中,建立了一種更加完善的鐘差預報模型.通過鐘差預報試驗得到了以下結論:

(1)在衛(wèi)星鐘差預報中,顧及鐘差的周期特性與隨機項部分能夠進一步提高鐘差預報的效果;

(2)采用ARIMA模型對鐘差隨機項進行建模是合適的,同時基于附加周期項的二次多項式模型與ARIMA模型的組合鐘差預報模型,能夠一定程度上克服單獨使用ARIMA模型進行鐘差預報時的不足,并且取得較ARIMA模型更好的預報效果;

(3)本文所提方法能夠有效地進行鐘差預報且預報效果優(yōu)于常用的QP模型和GM(1,1)模型.

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A New Navigation Satellite Clock Bias Prediction Method Based on Modi fied Clock-bias Quadratic Polynomial Model

WANG Yu-pu1,2LV Zhi-ping1SUN Da-shuang1WANG Ning1
(1 School of Surveying and Mapping,The PLA Information Engineering University, Zhengzhou 450001)
(2 State Key Laboratory of Geo-information Engineering,Xi’an 710054)

In order to better express the characteristics of satellite clock bias(SCB) and improve SCB prediction precision,this paper proposed a new SCB prediction model which can take physical characteristics of space-borne atomic clock,the cyclic variation, and random part of SCB into consideration.First,the new model employs a quadratic polynomial model with periodic items to fit and extract the trend term and cyclic term of SCB;then based on the characteristics of fitting residuals,a time series ARIMA (Auto-Regressive Integrated Moving Average)model is used to model the residuals; eventually,the results from the two models are combined to obtain final SCB prediction values.At last,this paper uses precise SCB data from IGS(International GNSS Service) to conduct prediction tests,and the results show that the proposed model is effective and has better prediction performance compared with the quadratic polynomial model, grey model,and ARIMA model.In addition,the new method can also overcome the insufficiency of the ARIMA model in model recognition and order determination.

astrometry:time,methods:data analysis

P127;

:A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2016.01.008

2015-05-26收到原稿,2015-06-10收到修改稿

?國家自然科學基金項目(41274015)、國家863計劃項目(2013AA122501)、地理信息工程國家重點實驗室開放研究基金資助項目(SKLGIE2015-M-1-6)資助

?987834660@qq.com