董喬月，李洪雙

(南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，南京　210016)

增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法

董喬月，李洪雙

(南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，南京210016)

摘要：傳統(tǒng)的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法在求解多設(shè)計變量、多約束條件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題時，存在諸多不足，針對上述問題，基于增廣拉格朗日約束處理方法和子集模擬優(yōu)化方法發(fā)展一種新的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法——增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法(ALSSO)。該方法首先利用拉格朗日乘子法處理多重約束條件，然后利用子集模擬優(yōu)化方法對轉(zhuǎn)化后的無約束優(yōu)化問題進(jìn)行求解；對罰函數(shù)因子的更新方法進(jìn)行改進(jìn)，以保證收斂過程的穩(wěn)定性；利用兩個算例對該方法的計算精度、穩(wěn)健性以及計算效率進(jìn)行驗證，并與其他優(yōu)化方法進(jìn)行對比。結(jié)果表明：增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法具有非常優(yōu)秀的尋優(yōu)性能。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計；子集模擬優(yōu)化方法；拉格朗日乘子法；罰函數(shù)因子

0引言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中較為常見，20世紀(jì)40年代以前，多采用圖解法、數(shù)學(xué)求極值和經(jīng)典力學(xué)分析法研究簡單結(jié)構(gòu)的最小質(zhì)量設(shè)計問題；20世紀(jì)50年代后，隨著數(shù)學(xué)建模和計算機(jī)技術(shù)的完善，對工程系統(tǒng)進(jìn)行自動優(yōu)化設(shè)計技術(shù)得到迅速發(fā)展和應(yīng)用。計算機(jī)能在給定條件下得到最優(yōu)設(shè)計方案，縮短設(shè)計周期，提高設(shè)計質(zhì)量[1]。

工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題通常是在多重約束條件下使所設(shè)計結(jié)構(gòu)的重量最輕或者費用最低，約束條件是指對結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、位移、屈曲等力學(xué)響應(yīng)量的限制。而在實際應(yīng)用中，求解有約束優(yōu)化問題是非常困難的，其原因是：①設(shè)計變量的數(shù)量多，②可行域的高度不規(guī)律，③約束條件的數(shù)量多。因此，人們不斷尋求、探索既能在復(fù)雜設(shè)計區(qū)域中進(jìn)行最優(yōu)解的搜索，又可處理多重約束條件的優(yōu)化方法。

目前，工程上所用的優(yōu)化方法大致可分為兩類：一類是基于梯度的數(shù)值優(yōu)化方法，另一類是基于自然現(xiàn)象的啟發(fā)而發(fā)展的隨機(jī)型優(yōu)化方法。隨著工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題越來越復(fù)雜，采用基于梯度的數(shù)值優(yōu)化方法進(jìn)行求解后的優(yōu)化結(jié)果的可信度也在逐漸減小，其原因是當(dāng)求解優(yōu)化問題遇到上文所提的三個問題時，數(shù)值優(yōu)化方法得出的優(yōu)化結(jié)果通常不是全局最優(yōu)的，甚至可能是不可行的。而隨機(jī)型優(yōu)化方法在處理上文所提的三個問題時，能夠彌補數(shù)值優(yōu)化方法的缺點和不足，因此受到了高度關(guān)注。雖然目前已有較多的隨機(jī)型優(yōu)化方法且在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，例如遺傳算法[2]、粒子群優(yōu)化算法[3]、模擬退火算法[4]、蟻群優(yōu)化算法[5]、和聲搜索算法[6]等，但仍沒有一種優(yōu)化方法可以求解所有的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，尋找更加高效、穩(wěn)健的隨機(jī)型優(yōu)化方法是未來努力的方向。

本文基于子集模擬優(yōu)化方法，結(jié)合拉格朗日乘子法，發(fā)展一種用于求解有約束優(yōu)化問題的增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法，采用兩個典型算例驗證所發(fā)展方法的尋優(yōu)能力、穩(wěn)健性以及計算效率，并與其他優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行對比。

1子集模擬優(yōu)化方法原理

子集模擬(Subset Simulation)是一種高效的蒙特卡羅策略，最初被用于求解高維小失效概率結(jié)構(gòu)可靠性問題[7]，后期研究表明，子集模擬也是一種隨機(jī)型優(yōu)化方法[8-9]。其基本思想是：一個極值事件(優(yōu)化問題)可以看作是一個稀有事件(可靠性問題)的特例，二者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1所示。

圖1　優(yōu)化問題與可靠性問題之間的轉(zhuǎn)換

考慮如下無約束全局優(yōu)化問題：

maxh(x)x∈S

(1)

式中：h(x)為目標(biāo)函數(shù)；x∈S為設(shè)計變量集合；S為問題定義域。

為了在可靠性問題的框架內(nèi)研究優(yōu)化問題，人為地令設(shè)計變量x為隨機(jī)變量并且指定(用戶定義)概率分布類型，因此所得到的目標(biāo)函數(shù)也是隨機(jī)變量，并且具有其自身的概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)。上述將確定性的變量“拓展”為隨機(jī)變量的概念是利用蒙特卡羅策略解決復(fù)雜問題的一種計算方法。設(shè)定hopt是h的全局最大值，此時有x=xopt。累積分布函數(shù)的性質(zhì)決定了累計分布函數(shù)曲線必定是右連續(xù)且單調(diào)不減的?？煽啃詥栴}中所尋找的“失效概率”PF定義為

PF=P(F)=P[h(x)≥hopt]

(2)

式中：失效事件F=[h(x)≥hopt]。

顯然，失效概率等于0，因為hopt為全局最大值。在優(yōu)化問題中，并不關(guān)注該失效概率，而是重點研究目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的點或區(qū)域。

子集模擬方法的思想為：在式(2)中，P[h(x)≥hopt]可以表示為一系列條件概率的乘積。條件概率{pi:i=1,2,…}用于定義中間失效事件，中間失效事件相應(yīng)的分界值{hi:i=1,2,…}由式(3)估計給出。

(3)

式中：Fi為由模擬過程中的目標(biāo)函數(shù)值所確定的中間事件。

根據(jù)乘法定理有：

(4)

在子集模擬優(yōu)化中，改進(jìn)的Metropolis-Hasting(MMH)算法[7]用于生成條件樣本，并逐漸靠近目標(biāo)函數(shù)的最大值。這相當(dāng)于把可靠性問題中的稀有事件區(qū)域逐漸發(fā)掘出來。對于擁有至少一個全局最大值的優(yōu)化問題，可以將尋找hi→hopt的過程看作是尋找PF→0的過程。在優(yōu)化過程中，子集模擬算法生成一系列中間目標(biāo)函數(shù)的值{hi:i=1,2,…}，它們最終趨向全局優(yōu)化點hopt。同時，樣本分布逐漸從概率密度函數(shù)(用戶指定)定義的寬廣區(qū)域，變?yōu)榘謨?yōu)化方案xopt在內(nèi)的狹小區(qū)域。

子集模擬優(yōu)化方法的運行過程如下：

(1) 選擇輸入變量的分布參數(shù)。在確定性優(yōu)化算法中，每一個輸入設(shè)計變量都是確定性參數(shù)，但是在子集模擬優(yōu)化算法中，輸入設(shè)計變量是隨機(jī)的，并且有一個假設(shè)的概率密度函數(shù)(PDF)fi(xj)。

(3)MMH算法用于生成中間事件中的條件樣本。在第k層迭代中，從Fk-1中每個“種子”樣本開始生成一條馬爾可夫鏈。由于初始樣本服從條件分布，所有馬爾可夫鏈都是平穩(wěn)的，并且每條馬爾可夫鏈上的樣本都滿足條件分布。每條馬爾可夫鏈的長度為1/pk-1(k=2,…)，其中pk-1為上一層迭代的條件概率。為新生成的樣本目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行計算與排序，從序列里確定第N(1-pk)個樣本和相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，這些篩選出的樣本為下一層迭代提供了“種子”樣本。

(4) 重復(fù)上述步驟直到滿足收斂條件或者達(dá)到最大可負(fù)擔(dān)計算量。

(5) 關(guān)于無約束子集模擬優(yōu)化方法的描述和討論，詳見參考文獻(xiàn)[8]。

2增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法

2.1增廣拉格朗日約束處理方法

拉格朗日乘子法將約束條件加入目標(biāo)函數(shù)中，形成拉格朗日函數(shù)：

(5)

式中：λj為第j個約束的拉格朗日乘子；gj(x)為約束條件。

類似于罰函數(shù)方法，式(5)將有約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題。拉格朗日函數(shù)可以作為無約束目標(biāo)函數(shù)使用，原因是有約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解同樣適用于該無約束優(yōu)化問題。但因為該解不一定是拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解，所以為了保證該解的可行性與最優(yōu)性，在增廣拉格朗日函數(shù)中加入一個增廣函數(shù)θ[10]，則整個函數(shù)為

(6)

(7)

式中：h(x)為第i個樣本的目標(biāo)函數(shù)值；ei(x)為等式約束違反值；gj(x)為不等式約束違反值；-λj/2rp,j從基于梯度的優(yōu)化問題中選擇得到[11]。

增廣拉格朗日乘子法不同于標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日乘子法，因為多了罰函數(shù)一項；其也不同于標(biāo)準(zhǔn)的罰函數(shù)法，因為多項式里包括了拉格朗日乘子。在增廣拉格朗日函數(shù)里，每個約束的可行性將使用一個單獨的罰函數(shù)因子rp來判定。因為每個約束條件的罰函數(shù)因子是一個有限值，所以得出的結(jié)果必定是一個局部最優(yōu)解[10]。最優(yōu)點處的拉格朗日乘子和罰函數(shù)因子是未知的，且根據(jù)問題的不同而不同。每一層迭代過程中，拉格朗日乘子和罰函數(shù)因子都保持固定。每一層迭代之后，拉格朗日乘子根據(jù)該層優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行如下更新[10]：

(8)

在迭代過程中，通過增大罰函數(shù)因子來阻止結(jié)果向不可行性方向發(fā)展，當(dāng)約束值低于約束違反限定值εg時，罰函數(shù)因子便會減小[10]：

(9)

式中：ψj(xk)為等式或者不等式約束的約束違反值。

ψj(xk)的定義為

(10)

式中：ei(x)為等式約束的約束違反值；gj(x)為不等式約束的約束違反值。

罰函數(shù)因子的下限值為

(11)

2.2增廣拉格朗日子集模擬方法的基本框架

增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法由兩部分組成：外部循環(huán)用來構(gòu)成增廣拉格朗日函數(shù)，更新拉格朗日乘子和罰函數(shù)因子，并且檢驗優(yōu)化過程是否收斂；在內(nèi)部循環(huán)中，子集模擬優(yōu)化算法求解無約束全局最優(yōu)問題，即拉格朗日乘子和罰函數(shù)因子在內(nèi)部循環(huán)中均保持固定值。增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法的流程圖如圖2所示。

圖2　增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法流程圖

內(nèi)部循環(huán)中所使用的子集模擬優(yōu)化方法在解決高維設(shè)計變量優(yōu)化問題上具有優(yōu)勢，而本文發(fā)展的增廣拉格朗日約束處理方法能夠很好地處理多約束條件。增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法在處理多設(shè)計變量、多約束、復(fù)雜可行域的優(yōu)化問題上表現(xiàn)出非常優(yōu)秀的性能，將在第3節(jié)中通過多設(shè)計變量、多約束算例對此進(jìn)行驗證。

2.3初始化與迭代

最優(yōu)解x*不能僅通過求解一個無約束優(yōu)化問題而得到，這是因為拉格朗日乘子和罰函數(shù)因子的值是未知的，并且根據(jù)問題的不同而不同。因此，需要對拉格朗日乘子和罰函數(shù)因子設(shè)定初始值，在后續(xù)的迭代過程中，還應(yīng)對二者進(jìn)行更新，根據(jù)文獻(xiàn)[10，12-13]，將拉格朗日乘子的初始值設(shè)定為0。

罰函數(shù)因子的初始值假設(shè)為一個單位矩陣，即r0=[1,…,1]T。K.Sedlaczek等[10]提出了一個更新罰函數(shù)因子的方法，即式(9)，但是該方法經(jīng)常會造成罰函數(shù)因子的值在每層迭代時都產(chǎn)生數(shù)值上的變化，從而導(dǎo)致拉格朗日乘子在收斂過程中不穩(wěn)定并且增加了計算量。

本文采用如下更新公式：

(12)

式中：φi(x*k)為計算約束違反值函數(shù)，對于等式約束，φi(x*k)=ei(x*k)，對于不等式約束，φi(x*k)=|gi(x*k)|。

與原始更新方法不同，改進(jìn)后的更新方法只有在前一層迭代沒有使得優(yōu)化結(jié)果變好的情況下才會增加罰函數(shù)因子的值，當(dāng)最優(yōu)解x*k是一個可行解時，罰函數(shù)因子將保持一個確定值。

為了保證拉格朗日乘子更新的有效性，為所有罰函數(shù)因子值設(shè)定一個下限值：

(13)

在最初的迭代過程中，由于罰函數(shù)因子太小而不能得到有效的最優(yōu)解，該下限值具有重要作用。

2.4收斂準(zhǔn)則

收斂準(zhǔn)則是對于外部循環(huán)而言的，經(jīng)過增廣拉格朗日方法處理過的優(yōu)化問題的最初收斂準(zhǔn)則為：如果λk-1和λk差的絕對值小于或等于給定的容限值ε，則可以判定優(yōu)化過程已經(jīng)收斂。但由于收斂過程中的不穩(wěn)定性，改進(jìn)后的優(yōu)化方法使用另外一個收斂準(zhǔn)則來保證優(yōu)化結(jié)果的可行性。假設(shè)x*k是第k層迭代后得到的全局最優(yōu)解，程序終止時，最優(yōu)解滿足：

ρ(x*k)≤ε

(14)

式中：ρ(x*k)為可行性標(biāo)準(zhǔn)。

ρ(x*k)的定義為

(15)

拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法在大多數(shù)情況下能夠給出很好的優(yōu)化結(jié)果，但在某些情況下，如果程序運行到最大迭代次數(shù)后仍未滿足收斂準(zhǔn)則，則最后一次迭代的最優(yōu)解也可被看作是該優(yōu)化問題的近似解。

3算例驗證

將增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法用于求解桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，并與其他著名優(yōu)化算法進(jìn)行對比。

桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題計算單層所用樣本數(shù)為100、200和500，機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題單層所用樣本數(shù)為100。所用條件概率p均為0.1。內(nèi)部循環(huán)的子集模擬優(yōu)化最大迭代次數(shù)選擇為20，外部循環(huán)的最大迭代次數(shù)選擇為50。子集模擬優(yōu)化以及所有的約束容限都設(shè)定為ε=10-4。在桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例中，算例被運行30次來驗證所發(fā)展優(yōu)化算法的統(tǒng)計學(xué)性能，包括最好優(yōu)化解、最差優(yōu)化解以及平均優(yōu)化解，并驗證所發(fā)展算法的穩(wěn)健性。

3.172桿空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化

72桿空間桁架結(jié)構(gòu)如圖3所示，桁架桿件材料的彈性模量為10 000ksi，材料密度為0.1lb/in3。

(a) 側(cè)視圖

(b) 俯視圖

(c) 斜視圖

節(jié)點載荷工況1/ksi載荷工況2/ksiPxPyPzPxPyPz175.05.0-5.00.00.0-5.0180.00.0 0.00.00.0-5.0190.00.0 0.00.00.0-5.0200.00.0 0.00.00.0-5.0

72桿空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題已被遺傳算法(GA)、蟻群優(yōu)化算法(ACO)[14]、和聲搜索算法(HS)[6]、粒子群優(yōu)化算法(PSO)[15]及增廣拉格朗日粒子群優(yōu)化算法(ALPSO)[12]等多種優(yōu)化算法求解過。增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法(ALSSO)的優(yōu)化結(jié)果與上述優(yōu)化算法優(yōu)化結(jié)果的對比如表 2所示，表中同時給出了最優(yōu)設(shè)計變量值、最小重量的優(yōu)化結(jié)果、最大應(yīng)力和最大位移的值。

表2　72桿空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果對比

從表2可以看出：遺傳算法、和聲搜索算法、增廣拉格朗日粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果均違反了位移約束條件，同時，和聲搜索算法還違反了最大應(yīng)力約束條件，故采用上述三種優(yōu)化算法求解所得的最優(yōu)解均為不可行解；在所有具有可行解的優(yōu)化結(jié)果中，增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法的最終優(yōu)化結(jié)果(379.59lb)優(yōu)于蟻群優(yōu)化算法的最終優(yōu)化結(jié)果(380.24lb)和粒子群優(yōu)化算法的最終優(yōu)化結(jié)果(381.91lb)，表明增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法具有很好的尋優(yōu)準(zhǔn)確性。

隨著優(yōu)化迭代次數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)重量的優(yōu)化過程如圖4所示，優(yōu)化過程所用單層樣本數(shù)為500。

圖4　72桿空間桁架結(jié)構(gòu)迭代過程

從圖4可以看出：在72桿空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法在第17次迭代時便已收斂，得出的最優(yōu)重量值為379.59lb，表明增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法的計算效率高、收斂快。

在72桿空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法的統(tǒng)計學(xué)性能如表3所示，表中變異系數(shù)(COV)一列用來反映優(yōu)化方法的穩(wěn)健性。所有結(jié)果都是在30次獨立運算后取得，所用單層樣本數(shù)量分別為100、200和500。

表3　72桿空間桁架結(jié)構(gòu)統(tǒng)計學(xué)性能

從表3可以看出：三種樣本量的變異系數(shù)值均很小，表明增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法具有很好的穩(wěn)健性。

3.2機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)如圖5所示，該結(jié)構(gòu)關(guān)于x -y平面(結(jié)構(gòu)中心面)對稱。

圖5　機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)

選取機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)的上半部分作結(jié)構(gòu)說明，在該結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題中，對于桿件單元，取桿件的橫截面積為設(shè)計變量，橫截面積的下限為0.1in2、上限為2.0in2。對于平面板，取板的厚度為設(shè)計變量，平面板分為受拉板(CST)和受剪板(SSP)，受拉板單元由矩形區(qū)域1243、矩形區(qū)域3465以及三角形單元567構(gòu)成，其中兩個矩形區(qū)域可分別看作由兩個三角形受拉板構(gòu)成，三個區(qū)域的受拉板厚度分別獨立，受拉板厚度的下限為0.02in、上限為1.00in；受剪板厚度的下限為0.02in、上限為1.00in。機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)的節(jié)點坐標(biāo)、桁架桿單元的編號與設(shè)計變量分組、受拉板單元的編號與設(shè)計變量分組以及受剪板單元的編號與設(shè)計變量分組參見參考文獻(xiàn)[16]。整個機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)共16個設(shè)計變量，分別為5個桿件的橫截面積，3個受拉板的厚度以及8個受剪板的厚度。在節(jié)點1和節(jié)點2處三個方向的位移邊界條件為0。桁架桿、受拉板和受剪板所用材料相同，材料許用應(yīng)力為10 000lb/in2，彈性模量為107lb/in2，密度為0.02lb/in3，泊松比為0.3。結(jié)構(gòu)有兩種載荷工況，分別為：在節(jié)點7處受沿z軸正向，大小為5 000lb的集中力；在節(jié)點5處受沿z軸正向，大小為10 000lb的集中力。機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)所受位移約束為各節(jié)點在z方向上的位移均不得超過2in，所受應(yīng)力約束為各單元的許用應(yīng)力是10 000lb/in2。

在Abaqus中通過參數(shù)化建模建立機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)的有限元模型。受拉板和受剪板采用S4R殼單元建立，桁架采用T3D2桿單元建立。整個模型結(jié)構(gòu)通過共節(jié)點裝配得到，邊界條件設(shè)定為左邊界四節(jié)點鉸支。載荷工況設(shè)定為：在分析步1中設(shè)定模型結(jié)構(gòu)受工況1中載荷作用，并在分析步2中取消工況1中的載荷作用；在分析步2中設(shè)定模型結(jié)構(gòu)受工況2中的載荷作用。為了保證結(jié)構(gòu)在兩種工況下均達(dá)到最優(yōu)設(shè)計，分別取分析步1與分析步2中的應(yīng)力與位移分析結(jié)果，并設(shè)定兩個分析步所得結(jié)果的最大值作為該優(yōu)化問題的應(yīng)力與位移約束結(jié)果。

利用增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法對該機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，并與其他優(yōu)化方法相比較，優(yōu)化結(jié)果如表4所示，表中包括最優(yōu)設(shè)計變量值和最小重量。ACCESS1優(yōu)化方法[16]為NASA報告中提出的一種基于梯度的優(yōu)化算法，Gallatly&Berke方法和Gallatly方法為R.A.Gallatly等[17-18]提出的優(yōu)化算法。上述三種優(yōu)化方法均為基于梯度的優(yōu)化方法，并且所得出的最優(yōu)解均滿足結(jié)構(gòu)所要求的位移及應(yīng)力約束條件。

表4　機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

從表4可以看出：增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法得出的最優(yōu)設(shè)計明顯優(yōu)于其他方法所得的最優(yōu)設(shè)計，表明增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法具有優(yōu)秀的尋優(yōu)能力。

機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計迭代過程如圖6所示，所用單層樣本數(shù)為100。

圖6　機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代過程

從圖 6可以看出：在第15次循時該翼盒結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程達(dá)到收斂，表明增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法具有較高的計算效率。

4結(jié)論

本文將拉格朗日乘子法與子集模擬優(yōu)化方法結(jié)合起來，發(fā)展了一種可用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法，并利用兩個工程算例對該方法的尋優(yōu)能力和穩(wěn)健性進(jìn)行了驗證。增廣拉格朗日子集模擬優(yōu)化方法是對原始子集模擬優(yōu)化方法的改進(jìn)與拓展，在求解多設(shè)計變量、多約束條件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題上，具有更為優(yōu)異的性能。

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Augmented Lagrangian Subset Simulation Optimization Method

Dong Qiaoyue, Li Hongshuang

(College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract:In solving the structural optimization problems with multiple design variables and multiple constraints, traditional optimization design method of engineering structure has many disadvantages. A new structural optimization method, which is based on subset simulation optimization(SSO) and the Lagrangian multiplier method, is developed to solve structural optimization problems under constraints. The Lagrangian multiplier method is used to handle multiple constraints. Then, SSO is used to solve the transformed unconstrained problem and search for the global optimum. In order to guarantee the robustness of convergence, the updating method of penalty factor is modified for this purpose. The accuracy, robustness and efficiency of the proposed method are demonstrated by two examples. The optimization results of proposed method are compared with those obtained by other optimization methods available in the literature. It indicates that the proposed method has excellent performance on searching for the global optimum.

Key words:structural optimization design; subset simulation optimization; Lagrangian multiplier method; penalty factor

收稿日期：2016-03-01；修回日期：2016-04-01

基金項目：國家自然科學(xué)基金(U1533109,11102084)

通信作者：李洪雙,hongshuangli@nuaa.edu.cn

文章編號:1674-8190(2016)02-165-09

中圖分類號：V214.19

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.16615/j.cnki.1674-8190.2016.02.005

作者簡介：

董喬月(1991-)，男，碩士研究生。主要研究方向：飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計、飛行器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

李洪雙(1978-)，男，博士，副教授。主要研究方向：飛行器可靠性工程、飛行器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

(編輯：馬文靜)

江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目