陳慧穎

分類思想是化整為零、分別對待、各個擊破的一種思維策略，是數(shù)學學習的重要思想方法.運用的關(guān)鍵在于正確地進行分類，即選擇一個分類標準，對所討論的對象進行全面分類，確保分類的科學——既不重復，也不遺漏.運用分類討論，可以把一個復雜問題拆分成若干個簡單問題，有利于培養(yǎng)同學們思維的條理性、縝密性、科學性.現(xiàn)以2015年中考試題為例加以歸類說明.

一、 方程中的分類討論

例1 （2015·臺州）關(guān)于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下三個結(jié)論：①當m=0時，方程只有一個實數(shù)解；②當m≠0時，方程有兩個不等的實數(shù)解；③無論m取何值，方程都有一個負數(shù)解，其中正確的是_______.（填序號）

綜上所述，正確的結(jié)論是①③.

【點評】對于含字母系數(shù)的方程，如果沒有明確說明是一元二次方程還是一元一次方程，要分方程是一元二次方程和一元一次方程兩種情況討論.所以，對于含有字母系數(shù)的方程問題，要根據(jù)字母系數(shù)的不同取值范圍進行討論.

二、 函數(shù)中的分類討論

例2 （2015·黃石）一食堂需要購買盒子存放食物，盒子有A，B兩種型號，單個盒子的容量和價格如表. 現(xiàn)有15升食物需要存放且要求每個盒子要裝滿，由于A型號盒子正做促銷活動：購買三個及三個以上可一次性返還現(xiàn)金4元，則購買盒子所需最少費用為_______元.

綜合①②可得，購買盒子需要的最少費用為29元.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最小值的問題. 由于沒有明確購買盒子的個數(shù)情況，所以要分0≤x<3和x≥3兩種情況分類討論，然后再取舍.

三、 等腰三角形中的分類討論

例3 （2015·西寧）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是______.

解：此題要分情況討論：

①當?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時，腰上的高在外部，

所以根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+20°=110°；

②當?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，腰上的高在其內(nèi)部，頂角是90°-20°=70°.

故答案為：110°或70°.

【點評】由于沒有明確說明三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，所以要分兩種情況討論.如果原三角形是鈍角三角形，則高在三角形外；若原三角形是銳角三角形，則高在三角形內(nèi).若等腰三角形已知的邊沒有明確是底邊還是腰，或者已知的角沒有明確是底角還是頂角，都要分情況討論.同時要考慮三邊的長是否滿足三角形的三邊關(guān)系，即對解的情況要進行檢驗，以保證最后的解正確無誤，防止犯“顧此失彼”的錯誤.

四、 直角三角形中的分類討論

例4 （2015·南昌）如圖1，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為 _______.

【點評】在Rt△PAB中，由于∠PAB不可能是直角，而在∠PBA與∠APB中沒有明確哪個角是直角，所以要根據(jù)∠PBA=90°和∠APB=90°兩種情況討論.對于∠APB=90°，動點P可能在△ABC的外部，也可能在△ABC的內(nèi)部，所以還要對動點P的位置進行分類討論.

五、 平行四邊形中的分類討論

例5 （2015· 綏化）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點P在AB上.若將△DAP沿DP折疊，使點A落在矩形對角線上的A′處，則AP的長為________.

解：①點A落在矩形對角線BD上，如圖5，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，

②點A落在矩形對角線AC上，如圖6，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知DP⊥AC，

故答案為：或.

【點評】由于沒有明確點A落在矩形的哪條對角線上，所以要分點A落在矩形對角線BD上和點A落在矩形對角線AC上兩種情況討論.當點A′在BD上時，需構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決，當點A′在AC上時，需構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決.以對角線為依據(jù)來確定點的位置是解決平行四邊形問題最常用的方法.

六、 圓中的分類討論

例6 （2015·梅州）如圖7，直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3）.

（1） 求直線l的函數(shù)表達式；

（2） 若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當圓M與直線l相切時，求點M的坐標.

解：（1） ∵直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3），

設直線l的解析式為：y=kx+b，代入函數(shù)解析式得：

∴0=4k+b，3=b，解得：k=-，b=3，

∴直線l的解析式為：y=-x+3.

（2） ∵OA=4，OB=3，∴AB=5.

①如圖7，⊙M與直線l相切，切點為N，點N在點B的上方，連接MN，則MN⊥AB，

在Rt△ABO中，sin∠ABO===sin∠MBN==，∴BM=2.5，

∴OM=OB+BM=5.5，

∴點M的坐標為（0，5.5）.

②⊙M與直線l相切，切點為N′，點N′在點B的下方，連接MN′，則MN′⊥AB，

∴∠MN′B=90°，

同理可得BM=2.5，∴OM=OB-BM=0.5，

∴點M的坐標為（0，0.5）.

綜上可得：當⊙M與此直線l相切時點M的坐標是（0，0.5）或（0，5.5）.

【點評】圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在沒有明確圖形位置的情況下，符合題意的圖形可能有多種，因此應注意圓的問題的多樣性，不要忘記分情況討論.直線與圓相切，圓可能在直線上方，也可能在直線下方，所以本題應分兩種情況討論.

七、 運動圖形中的分類討論

例7 （2015·葫蘆島）如圖8，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動；同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同. 設點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像是（ ）.

解：當F在PD上運動時，△AEF的面積為y=AE·AD=2x（0

當F在DQ上運動時，△AEF的面積為y=AE·AF=x（6-x）=-x2+3x（2

故選A.

【點評】對動態(tài)幾何的分析必須找準變化過程的分界點，逐段討論.在動中求靜，以靜制動，正確確定分類對象，進行合理分類是解決這類問題的關(guān)鍵.

所以，周密思考，運用分類思想，以防止漏解是十分必要的.對于分類討論解決問題的方法，要弄清為什么要分類和怎樣分類這兩個關(guān)鍵問題.只有抓住分類的動因，把握分類的標準，才能做到分類時條理清楚、標準一致，在解答問題時就不會重復和遺漏，保證解題正確無誤.