李帥領(lǐng)

“新定義”型問題是指在問題情境中定義一些沒有學(xué)過的新概念、新運算、新符號，需要大家結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的知識進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型. 近年來中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)“新定義”型問題，同學(xué)們在復(fù)習(xí)中應(yīng)該重視培養(yǎng)閱讀理解新知識并應(yīng)用新知識解決問題的能力.

例1 （2015·慶陽）定義運算max{a，b}，當(dāng)a≥b時，max{a，b}=a；當(dāng)a

（1） max，3=_______；

（2） 已知y1=和y2=k2x+b在同一坐標(biāo)系中的圖像如圖1所示，若max

，k2x+b=，結(jié)合圖像，直接寫出x的取值范圍；

（3） 用分類討論的方法，求max{2x+1，x-2}的值.

【思路突破】（1） 比較與3的大小；

（2） 根據(jù)題意可以得出≥k2x+b；

（3） 分2x+1≥x-2和2x+1

【解答】（1） max，3=3.

（2） x的取值范圍為-3≤x<0或x≥2.

（3） ①當(dāng)2x+1≥x-2，即x≥-3時，max{2x+1，x-2}=2x+1；

②當(dāng)2x+1

【解后反思】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題的應(yīng)用，分類討論思想等.

例2 （2015·永州）定義[x]為不超過x的最大整數(shù)，如[3.6]=3，[0.6]=0，[-3.6]=-4. 對于任意實數(shù)x，下列式子中錯誤的是（ ）.

A. [x]=x（x為整數(shù)）

B. 0≤x-[x]<1

C. [x+y]≤[x]+[y]

D. [n+x]=n+[x]（n為整數(shù)）

【思路突破】“定義[x]為不超過x的最大整數(shù)”可解釋為小于或等于x的最大整數(shù).

【解答】當(dāng)x是整數(shù)時，A成立；x為任意數(shù)時，B成立.

C不成立. 例如，[（-5.4）+（-3.2）]=[-8.6]=-9，[-5.4]+[-3.2]=-6+（-4）=-10，

∵-9>-10，

∴[-5.4-3.2]>[-5.4]+[-3.2].

D項也是成立的.

故選：C.

【解后反思】閱讀并理解[x]的含義：不超過即小于或等于是解決本題的關(guān)鍵.

例3 （2015·天水）定義運算：a？茚b=a（1-b）. 下面給出了關(guān)于這種運算的幾種結(jié)論：①2？茚（-2）=6，②a？茚b=b？茚a，③若a+b=0，則（a？茚a）+（b？茚b）=2ab，④若a？茚b=0，則a=0或b=1，其中結(jié)論正確的序號是（ ）.

A. ①④ B. ①③

C. ②③④ D. ①③④

【思路突破】根據(jù)題意得：

2？茚（-2）=2×[1-（-2）]=6，選項①正確；

a？茚b=a（1-b）=a-ab，b？茚a=b（1-a）=b-ab，不一定相等，選項②錯誤；

（a？茚a）+（b？茚b）=a（1-a）+b（1-b）=a+b-a2-b2=a+b-（a+b）2+2ab=2ab，選項③正確；

若a？茚b=a（1-b）=0，則a=0或b=1，選項④正確，故選D.

【解后反思】此題考查了整式的混合運算，以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

例4 （2015·崇左）4個數(shù)a，b，c，d排列成a bc d，我們稱之為二階行列式. 規(guī)定它的運算法則為：a bc d=ad-bc. 若x+3 x-3x-3 x+3=12，則x=_______.

【思路突破】根據(jù)所給的二階行列式的概念，把行列式x+3 x-3x-3 x+3=12轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程，算出方程的解得到答案.

解：行列式x+3 x-3x-3 x+3=12可以化為方程（x+3）2-（x-3）2=12，解得，x=1.

【解后反思】對于新定義的題，首先要看懂運算的法則，把新定義問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學(xué)問題來解決. 本題新定義的實質(zhì)是將四個整式交叉相乘再求差化簡，最后轉(zhuǎn)化為解方程確定結(jié)果.

例5 （2015·臨沂）定義：給定關(guān)于x的函數(shù)y，對于該函數(shù)圖像上的任意兩點（x1，y1），（x2，y2），當(dāng)x1

①y=2x；②y=-x+1；③y=x2（x>0）；④y=

-.

【思路突破】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k>0時，y隨x增大而增大；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=ax2的圖像過原點，當(dāng)a>0時開口向上，對稱軸為y軸，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大；反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，當(dāng)k<0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.應(yīng)用這些性質(zhì)便可輕易地解決問題.

【解答】y=2x，k>0，所以①是增函數(shù).

y=-x+1，k=-1<0，所以②不是增函數(shù).

y=x2，當(dāng)x>0時，是增函數(shù)，所以③是增函數(shù).

y=-，當(dāng)x1=1時，y1=-1，當(dāng)x2=-1時，y2=1，x1>x2，y1

【解后反思】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握各種函數(shù)的性質(zhì)以及條件是解決問題的關(guān)鍵.