尹琳琳

課本的例題和習(xí)題中有不少問(wèn)題可以通過(guò)增加、變換情境，改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，將一般性問(wèn)題改為拓展遷移型問(wèn)題. 該類(lèi)型試題通過(guò)提供一段文字、素材或圖表材料，來(lái)展示一個(gè)數(shù)學(xué)要領(lǐng)、結(jié)論的形成和應(yīng)用過(guò)程，或一個(gè)新數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，或介紹一種解題方法等. 近年來(lái)，此類(lèi)題在中考試卷中頻頻出現(xiàn)，值得關(guān)注.

（2015·莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC，PE.

特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）.

問(wèn)題探究：把圖1中的△AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

（1） 如圖2，若點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2） 如圖3，若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3） 記=k，當(dāng)k為何值時(shí)，△CPE總是等邊三角形？（請(qǐng)直接寫(xiě)出k的值，不必說(shuō)明理由）

【思路突破】本題的“特殊發(fā)現(xiàn)”雖然不要求證明，但必須理解透徹. 這一步是利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半這一定理. 這個(gè)問(wèn)題中所涉及的證明思路和基本圖形將為下面問(wèn)題的解決打下基礎(chǔ).

問(wèn)題探究（1） 通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，得對(duì)應(yīng)邊相等，從而可以出現(xiàn)直角三角形斜邊上中線(xiàn)這一基本圖形，得到結(jié)論.

問(wèn)題探究（2） 以問(wèn)題探究（1）的解題思路為背景，同樣通過(guò)作輔助線(xiàn)得直角三角形，利用斜邊中線(xiàn)性質(zhì)解題，只是解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)說(shuō)明所構(gòu)造的三角形是直角三角形是難點(diǎn)，需要利用兩步全等給予解決. 注意∠EAF=∠CAB是隱含條件.

問(wèn)題探究（3） 從△CPE是等邊三角形入手，結(jié)合圓周角定理得到k的值.

解：（1） PC=PE成立，理由如下：

（2） PC=PE成立，理由如下：

（3） ∵△CPE是等邊三角形，

【解后反思】該試題設(shè)計(jì)的3個(gè)問(wèn)題由淺入深，特殊發(fā)現(xiàn)給我們暗示了探究的方向和解題方法，問(wèn)題（1）（2）是以特殊發(fā)現(xiàn)為基礎(chǔ)，在改變點(diǎn)E、F位置的過(guò)程中，圖形的形狀雖然發(fā)生了變化，但解決問(wèn)題的方法不變，△CPB和△MPF的全等關(guān)系不變，即問(wèn)題的本質(zhì)不變. 想方設(shè)法尋找旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的“變”與“不變”，其核心是找到“變”中的“不變”，解題的關(guān)鍵是抓住題目中的“題根”，聯(lián)想基本圖形，尋找解題的多種策略.