曹潔

【摘 要】數(shù)學(xué)方法論是關(guān)于數(shù)學(xué)方法的理論，不僅是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，也是數(shù)學(xué)知識的精髓。新課程改革中注重并且加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成良好思維品質(zhì)的關(guān)鍵。而數(shù)學(xué)方法論同樣為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了理論指導(dǎo)，有利于學(xué)生由傳統(tǒng)的機(jī)械化的模仿式解題轉(zhuǎn)向能夠創(chuàng)新的以實(shí)踐為基礎(chǔ)的解題習(xí)慣，以數(shù)學(xué)思維方法的分析去帶動(dòng)和促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)與應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】方法論；數(shù)學(xué)方法論；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾在《方法導(dǎo)論》一書中總結(jié)出四條規(guī)則：

（一）不要把任何事物看成是真的，除非對它已經(jīng)認(rèn)識清楚了；

（二）利用逐步分析的方法去系統(tǒng)地解決一個(gè)問題；

（三）思考時(shí)，由簡到繁；

（四）要徹底復(fù)查（檢查）一切之前的各種工作，做到確實(shí)無遺漏。

將這四條規(guī)律映射在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也就是說，首先，要小心避免一些“眾所周知”的事情，除非像公理、定理或者之前得到的可靠地結(jié)論才可以放進(jìn)判斷的標(biāo)準(zhǔn)之中。其次，把所遇見的每一個(gè)難題盡可能的分解成許多個(gè)與之關(guān)聯(lián)的細(xì)小的，并且可以輕松解決或者是曾經(jīng)解決過的問題，當(dāng)然這個(gè)“問題”或許已經(jīng)不是問題。然后，從最簡單、最容易認(rèn)識的對象開始，按照順序逐步上升到復(fù)雜的難以一下子解決的問題，從已知到未知，從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象。最后，檢驗(yàn)。把所有想到的情形盡可能的全部羅列出來，確保毫無遺漏。

這四條規(guī)則與新課改中所提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法在一定程度上相互吻合：第一，體現(xiàn)出了合情推理與演繹推理的相輔相成的關(guān)系，“想象（猜想）的規(guī)律要經(jīng)過驗(yàn)證才能應(yīng)用”。第二，體現(xiàn)出了整體與局部的關(guān)系和轉(zhuǎn)化化歸的思想，這要求學(xué)生在解題的過程中要注意問題的轉(zhuǎn)化化歸，由繁到簡、由難到易、由未知到已知，要注意整體代換思想的滲透，要注意一般和特殊的關(guān)系等等。第三，體現(xiàn)出了學(xué)習(xí)應(yīng)循序漸進(jìn)的原則。學(xué)習(xí)應(yīng)有序而為，循序漸進(jìn)，不可越節(jié)而施。第四，體現(xiàn)出了分類與整合思想、窮舉法等數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)方法論，主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律（宏觀），數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則（微觀）的一門學(xué)問。數(shù)學(xué)是一門工具性很強(qiáng)的科學(xué)，它具有較高的抽象性、嚴(yán)密性、符號性等特征，為了有效地學(xué)習(xí)它、應(yīng)用它、改進(jìn)它、發(fā)展它，就要求對這門科學(xué)的發(fā)展規(guī)律、研究方法、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明等法則都有所掌握。學(xué)生在有效的數(shù)學(xué)方法論的指導(dǎo)下，再加上所學(xué)內(nèi)容的不斷加大以及知識建構(gòu)體系的不斷拓展，有益于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的建構(gòu)，將數(shù)學(xué)學(xué)懂，學(xué)活在很多人眼里，數(shù)學(xué)方法不過是深刻挖掘數(shù)學(xué)教課書中所提到的各種問題，教會老師如何去上好這門課，較高的學(xué)術(shù)水平才是保證教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在。他們不明白，教育既是一門科學(xué)，又是一門技術(shù)，只有高深學(xué)問，不懂得教育規(guī)律是教不好學(xué)生的。在課堂中不斷向?qū)W生輸送好的數(shù)學(xué)方法，遠(yuǎn)比一味的讓學(xué)生埋頭做題效果要好的多。

讓我們來看美籍匈牙利數(shù)學(xué)教喬治·波利亞在其《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中講到的一道題。

例1：給定三角形的三條邊a，b，c，求做一個(gè)三角形。

這道題，在現(xiàn)代學(xué)生看來，只能算是一到基本的作圖題，甚至可能都不會出現(xiàn)在考試卷中。大家都會這樣做（圖1）：

1.做一條線段等于線段a，端點(diǎn)分別為B，C；

2.分別以B，C為圓心，線段b，c的長為半徑畫圓，兩圓相交于點(diǎn) A或點(diǎn)A′；

3.連接AB，AC和A′B，A′C，則？駐ABC以及？駐A′BC就是所求的三角形。

圖1

相信基本所有的學(xué)生遇見這道題做到這里就結(jié)束了，但是我們回頭再看這道題，按照波利亞的《怎樣解題》中提到步驟，一步步來分析。

首先，從問題的敘述開始。問題很簡單，是要求做一個(gè)三角形。第二，考慮怎么做三角形呢？很簡單，三條線段順次首位相連，或者連接不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)。再回到問題中，當(dāng)我做出了一條線段BC即線段a之后，就等于我已經(jīng)確定好三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)了，如果在確定一個(gè)頂點(diǎn)A，順次相連就可以了。那么第三步，實(shí)施計(jì)劃。確保計(jì)劃進(jìn)行中每一步的準(zhǔn)確性，做出一個(gè)完美的三角形。第四，回顧。也就是我們現(xiàn)在要做的事。我們把一道求做三角形的題，轉(zhuǎn)化成了已知兩點(diǎn)B，C，求第三點(diǎn)A的問題，條件是，點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為c，到點(diǎn)C距離為b，如果只看條件，到點(diǎn)B的距離為c的點(diǎn)和到C點(diǎn)距離為b的點(diǎn)必然會是兩條軌跡，我們所要求的點(diǎn)A，就是這兩條軌跡的交點(diǎn)。當(dāng)然了，這樣的交點(diǎn)有兩個(gè)。這樣看來，我們就把已知三邊求做一個(gè)三角形的問題轉(zhuǎn)化成了一道確定兩條軌跡交點(diǎn)的問題，這就是一種解題模式——雙軌跡模式。

波利亞是這樣概括雙軌跡模式的：第一，把問題歸結(jié)為要確定一個(gè)點(diǎn)；第二，對于每一部分的條件，未知點(diǎn)都會形成相應(yīng)的一條軌跡；第三，所有軌跡的交點(diǎn)就是滿足所求問題的所有點(diǎn)的集合。這樣一來，這就不是一道簡單的作圖題，我們在它之上找到了一種適合解所有類似問題的解題模式，這才是這道題的意義所在。例如把相對較復(fù)雜的求做一角形的內(nèi)切圓、外接圓，等等一系列問題經(jīng)過雙軌跡解題模式分析之后，就會很輕松容易解決了。以此類推當(dāng)然還有三軌跡模式以及多軌跡模式。

再來看一道題。

相信提到解方程，很多人一下就會想到經(jīng)典的雞兔同籠問題，看看波利亞是怎么看這個(gè)問題的。

例2：一個(gè)農(nóng)民有若干只兔子和雞，這些家畜一共有50個(gè)頭和140條腿。問這個(gè)農(nóng)民有多少只兔子多少只雞？

這個(gè)問題有很多種解法：

1.嘗試法。假設(shè)出全部是兔子或者全部是雞的兩種極限模式，列出一個(gè)表把所有的可能性羅列出來，結(jié)合實(shí)際情況，找到答案（表1）。

2.巧解法。將兔子和雞的腿數(shù)減半，這樣一共有70條腿，其中，雞的頭數(shù)和腿數(shù)相等，而兔子的腿數(shù)是頭數(shù)的兩倍，從而70-50=20，既為兔子的個(gè)數(shù)，當(dāng)然雞為30只?；蛘甙央u的翅膀也當(dāng)做“腿”，同樣可以推算出兔子和雞的個(gè)數(shù)。

3.代數(shù)法。按照笛卡爾“任何問題都能劃歸為代數(shù)問題”的“萬能原理”，我們來翻譯這道題（表2）。

顯然，我們成功的把題目翻譯成了兩個(gè)未知數(shù)和兩個(gè)方程，接下來的工作就是聯(lián)立方程解方程組。得到方程組的解，x=20y=30這道題也就成功的解答了。那對于這道題，我們要對其“回顧”什么呢？嘗試著把給定的數(shù)字換成字母，我們再來解這道題。已知這些家畜一共有h個(gè)頭，l條腿（表3）。

繼續(xù)聯(lián)立解方程組得。不難看出，對于新的方程組所得到的兩個(gè)解，恰巧可以翻譯成巧解法中的兩種情況。

對于第一種解法，我們稱其為“試湊法”，也可以稱為“逐次試驗(yàn)法”，我們有理由相信，在一次次的錯(cuò)誤嘗試之后，最終肯定會得到一個(gè)滿意的結(jié)果。但是相對于較大的數(shù)值而言，這個(gè)方法顯然是不可取的，不僅浪費(fèi)時(shí)間精力，也有可能在不經(jīng)意的粗心計(jì)算下，錯(cuò)過正確的解答。相比較第一種解法，第二種解法要取巧得多，正所謂“巧解法”，然而這個(gè)解法與實(shí)際的聯(lián)系并不十分緊密。也正是所謂“巧”，很多學(xué)生在做題時(shí)不會考慮到這些，即便考慮到了，在數(shù)學(xué)表述方面也會猶豫不決，再或者說，這個(gè)“巧”僅僅只適合于這道題目。對于第三種代數(shù)法，既為笛卡爾的解題模式，要求雞兔各多少只，那就先就把它們假設(shè)出來當(dāng)做已知，設(shè)兔子x只，雞y只，緊接著，根據(jù)題目中僅有的兩個(gè)條件，有50個(gè)頭140條腿，列出代數(shù)式，即x+y=50，4x+2y=140，發(fā)現(xiàn)可以聯(lián)立二元一次方程組，接下來，就是解方程組的問題了。

對于笛卡爾模式，波利亞是這樣總結(jié)的：首先，在了解問題的基礎(chǔ)上，把問題歸結(jié)為確定若干個(gè)未知量；其次，根據(jù)已知條件，在未知量和已知量之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，既為方程；最后，聯(lián)立解方程組。同樣的，在笛卡爾解題模式下，我們可以更容易的解答有更多未知數(shù)的題目，他們歸根到底，就是解方程組的問題。

當(dāng)然，波利亞提出的數(shù)學(xué)模式還有很多，所列出的方法也有很多。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)，就是計(jì)算就是不斷的做題，除此之外沒有什么意思。通過對以上的兩道題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，其實(shí)每一道數(shù)學(xué)題，都有它自己的存在意義，每一道數(shù)學(xué)題的背后，都有很深的理論等待我們的發(fā)現(xiàn)。如果每個(gè)學(xué)生在完成題目之后都可以稍加回顧，相信對他來說會是一個(gè)不小的進(jìn)步。同時(shí)，通過對以上兩道題的仔細(xì)分析，我們看到數(shù)學(xué)方法論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義：

第一，提高理解能力和閱讀能力。數(shù)學(xué)的思想和方法對理解和閱讀問題是十分重要的。例如我們要理解和認(rèn)識接觸到的信息比如文字、圖形、聲音等方式包含的內(nèi)容時(shí)，常常會用到我們的數(shù)學(xué)思想和方法。通過抽象與概括、分析與歸納、還有比較與分析等方法來加深理解。這些數(shù)學(xué)的思想和方法對于我們提高理解能力和閱讀能力有著十分重要的作用。

第二，培養(yǎng)良好的邏輯思維。雖然數(shù)學(xué)方法論并不是主要討論邏輯科學(xué)和思維科學(xué)，但是數(shù)學(xué)方法論實(shí)質(zhì)上就是思維活動(dòng)的方法。數(shù)學(xué)方法論主要討論數(shù)學(xué)邏輯的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)、方法與規(guī)律在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，從而推廣到我們?nèi)粘５膶W(xué)習(xí)和生活當(dāng)中的應(yīng)用，對于培養(yǎng)自己良好的邏輯思維有重要的作用。

第三，思考方式的轉(zhuǎn)變。我們在中學(xué)學(xué)習(xí)具體解決數(shù)學(xué)題目的方法，主要在培養(yǎng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而在高等數(shù)學(xué)中就要認(rèn)識解決問題的思想和方法。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論，把以前學(xué)過的一些數(shù)學(xué)思想和方法，例如函數(shù)的思想、微分和積分的思想、無限和逼近的思想、抽象與概括、歸納與演繹、歸類與分類、比較與類比、分析與綜合、聯(lián)想和直覺等進(jìn)行了概括和總結(jié)。思考方式有了重大的轉(zhuǎn)變，解決問題要想到的不僅僅是眼前看到的一些特點(diǎn)，更加重要的是利用什么樣的數(shù)學(xué)的思想和方法使問題簡單化來達(dá)到解決問題。

第四，有用的工具。數(shù)學(xué)的思想和方法并不僅僅是單純進(jìn)行理論討論的內(nèi)容，現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)學(xué)的思想和方法對于解決實(shí)際問題有重要的作用，是解決問題的有力工具。比如在日常經(jīng)濟(jì)和管理的決策實(shí)踐當(dāng)中面對一些問題時(shí)候，如果沒有學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的思想和方法是很難找到解決的方法的。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論。我們便可以想到比如函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合、微分和積分的思想方法來解決問題。同時(shí)，數(shù)學(xué)的思想和方法對于日常生活的規(guī)劃也是產(chǎn)生了重要的幫助。

第五，數(shù)學(xué)的思想和方法是一個(gè)永遠(yuǎn)值得去研究的學(xué)科。數(shù)學(xué)的思想和方法影響是巨大的，小到我們?nèi)粘５募彝ド詈蛯W(xué)習(xí)，大到一個(gè)國家宏觀的經(jīng)濟(jì)和管理以及成千上萬的公司企業(yè)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)都離不開數(shù)學(xué)的思想和方法。特別是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)和管理的復(fù)雜性越來越要求更高的數(shù)學(xué)知識技能和解決實(shí)際問題的思想和方法。因此數(shù)學(xué)的思想和方法是很值得深入研究的。

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[責(zé)任編輯：楊玉潔]