于憲煜，胡友健，牛瑞卿

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院，湖北 武漢 430074)

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地表移動(dòng)負(fù)指數(shù)函數(shù)預(yù)計(jì)法的參數(shù)確定方法研究

于憲煜1，胡友健1，牛瑞卿2

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院，湖北 武漢 430074)

[摘要]負(fù)指數(shù)函數(shù)法的預(yù)計(jì)精度主要取決于其預(yù)計(jì)參數(shù)a,b的精度和可靠性，而采動(dòng)影響程度(系數(shù)) 對參數(shù)a,b的影響最大。提出利用礦區(qū)下沉典型曲線來建立參數(shù)a,b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的定量關(guān)系并將定量關(guān)系式用于確定參數(shù)a,b。利用實(shí)測數(shù)據(jù)對所提出的參數(shù)確定方法的實(shí)用效果進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明:參數(shù)a,b與采動(dòng)影響系數(shù)之間存在密切的相關(guān)關(guān)系，其關(guān)系可以用線性函數(shù)定量地表示。

[關(guān)鍵詞]地表移動(dòng)預(yù)計(jì)；負(fù)指數(shù)函數(shù)法；預(yù)計(jì)參數(shù)；采動(dòng)影響系數(shù)

礦山開采可能對位于采動(dòng)影響范圍內(nèi)的人工地物和自然環(huán)境(建筑物、鐵路、公路、水體、土地，滑坡體等) 造成有害影響，而地表移動(dòng)預(yù)計(jì)可為科學(xué)、合理地制訂地下開采方案和采取地面防護(hù)措施，盡可能地避免或減小地下開采對人工地物和自然環(huán)境的有害影響，提供必需的基礎(chǔ)資料[1-3]。國內(nèi)外現(xiàn)已建立并應(yīng)用的地表移動(dòng)預(yù)計(jì)方法有許多種，如典型曲線法[4-5]、概率積分法[6-7]、負(fù)指數(shù)函數(shù)法[8]、威布爾分布函數(shù)法[9]、雙曲函數(shù)型剖面函數(shù)法[10]和下沉格網(wǎng)法[11]等。負(fù)指數(shù)函數(shù)法因可以通過變動(dòng)其預(yù)計(jì)參數(shù)a,b靈活地描述不同分布形態(tài)的下沉曲線，具有較高的預(yù)計(jì)精度且便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，是應(yīng)用較為廣泛的地表移動(dòng)預(yù)計(jì)方法之一[8,12-13]。利用該方法進(jìn)行預(yù)計(jì)時(shí)，必須確定其預(yù)計(jì)參數(shù)a,b，而a，b的數(shù)值與采動(dòng)影響程度(系數(shù))、煤層傾角和上覆巖層的性質(zhì)有關(guān)[12,14]。一般認(rèn)為,采動(dòng)影響程度對參數(shù)a，b的影響最大[12,15]。因此，嚴(yán)格說來，在某個(gè)非充分采動(dòng)條件下求得的參數(shù)a，b的值，只能用于相同的采動(dòng)影響程度下進(jìn)行預(yù)計(jì)。

為了提高負(fù)指數(shù)函數(shù)法的預(yù)計(jì)精度，已有學(xué)者對其預(yù)計(jì)參數(shù)a，b進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[15] 研究了參數(shù)a，b的物理意義，結(jié)論認(rèn)為:參數(shù)a反映巖性的影響，而參數(shù)b反映采動(dòng)影響程度(系數(shù))的影響。文獻(xiàn)[16]分析了參數(shù)a，b的確定方法在實(shí)際應(yīng)用中存在的問題，重點(diǎn)討論了半盆地長度L對所求參數(shù)值的影響，并得出了如下結(jié)論:確定半盆地長度L的精度不影響確定參數(shù)a，b的精度,但是，如果用于確定參數(shù)a，b的半盆地長度與用于預(yù)計(jì)地表下沉曲線所用的半盆地長度不一致，則會(huì)降低預(yù)計(jì)精度。文獻(xiàn)[17] 也研究了半盆地長度L對參數(shù)a，b的影響，認(rèn)為選擇不同的半盆地長度L對參數(shù)b和下沉盆地剖面的形態(tài)不產(chǎn)生影響，但L值的差異會(huì)引起參數(shù)a發(fā)生變化。文獻(xiàn)[18] 則針對粗差對參數(shù)a，b的影響，提出了采用加權(quán)最小二乘法確定參數(shù)a，b的抗差估計(jì)法,并利用實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了此方法的有效性。

已有相關(guān)文獻(xiàn)對負(fù)指數(shù)函數(shù)法參數(shù)a，b的物理意義及其確定方法進(jìn)行研究，得出了具有重要意義和參考價(jià)值的結(jié)論，但尚未研究和建立參數(shù)a，b與其主要影響因素——采動(dòng)影響程度之間的定量關(guān)系。因而，目前對負(fù)指數(shù)函數(shù)法參數(shù)a，b的變化規(guī)律的認(rèn)識還不夠深入和全面。在實(shí)際工作中，往往因確定的預(yù)計(jì)參數(shù)a，b存在較大偏差，而使預(yù)計(jì)的地表移動(dòng)和變形值產(chǎn)生較大的偏差。為此，本文提出利用礦區(qū)下沉典型曲線來研究和建立負(fù)指數(shù)函數(shù)法的參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的定量關(guān)系的方法，將其定量關(guān)系式用于確定參數(shù)a，b并利用實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證采用本文提出的方法確定參數(shù)a，b的有效性和實(shí)用性。

1預(yù)計(jì)參數(shù)a，b的確定方法

1.1參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)間定量關(guān)系的研究

在許多礦區(qū)，已經(jīng)利用開采沉陷監(jiān)測數(shù)據(jù)建立了下沉典型曲線，例如河北省的峰峰礦區(qū)、河南省的平頂山礦區(qū)、山東省的龍口礦區(qū)等都已建立其下沉典型曲線[5，8，12-13]，前蘇聯(lián)的各主要煤田以及在一個(gè)大煤田的不同區(qū)域都建立了其下沉典型曲線[19]，英國國家煤炭局編制出版了一整套下沉典型曲線[20]。尚未建立下沉典型曲線的礦區(qū)，只要在不同采動(dòng)影響程度下設(shè)置過一定數(shù)量的地表移動(dòng)觀測站，并進(jìn)行過較系統(tǒng)的觀測，就可以利用觀測數(shù)據(jù)建立其下沉典型曲線?；诖?，本文提出利用礦區(qū)下沉典型曲線來研究和建立負(fù)指數(shù)函數(shù)法的參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的定量關(guān)系的方法。

如圖1所示，在傾向主斷面內(nèi)負(fù)指數(shù)函數(shù)法的地表下沉預(yù)計(jì)公式為(走向與傾向主斷面內(nèi)下沉預(yù)計(jì)公式相同)[8]：

(1)

式中，x為地表點(diǎn)的橫坐標(biāo)；w(x)為地表點(diǎn)的下沉值；L為半盆地長度；wm為地表最大下沉值；a，b為與地質(zhì)采礦條件有關(guān)的預(yù)計(jì)參數(shù)。

圖1　傾向主斷面內(nèi)的地表下沉預(yù)計(jì)坐標(biāo)系統(tǒng)和下沉曲線

為便于研究，對公式(1)線性化。將公式(1)兩邊除以wm，并令Z=x/L可得：

w(x)/wm=e-aZb

(2)

式中，w(x)/wm為下沉分布系數(shù)。

對公式(2)兩邊取對數(shù)得：

-lg(w(x)/wm)=aZblge

(3)

再對公式(3)兩邊取對數(shù)得:

lg(-lg(w(x)/wm))=blgZ+lg(alge)

(4)

令X=lgZ，A=lg(alge)，Y=lg(-lg(w(x)/wm))，可得:

Y=A+bX

(5)

公式(5)即為公式(1)的線性形式。對于任意一條下沉典型曲線，可組成法方程如下:

(6)

式中，N為點(diǎn)數(shù)。

參數(shù)b的值可由式(6)直接解得，而參數(shù)a可由公式A=lg(alge)反算求得。這樣，對于任意一條下沉典型曲線，可以通過最小二乘擬合計(jì)算出與其采動(dòng)影響系數(shù)相對應(yīng)的一組參數(shù)a，b。采動(dòng)影響系數(shù)定義為[21]：

n1=k1D1/H0

(7)

n3=k3D3/H0

(8)

式中，n1和n3分別為在煤層傾向方向和走向方向的采動(dòng)影響系數(shù)；D1和D3分別為煤層傾向方向和走向方向的開采尺寸；H0為煤層平均開采深度；k1和k3為介于0和 1之間的系數(shù)，其值主要與上覆巖層的性質(zhì)有關(guān)，一般堅(jiān)硬巖層時(shí)取0.7，中硬巖層時(shí)取0.8，軟弱巖層時(shí)取0.9。

采動(dòng)影響系數(shù)與地表充分采動(dòng)程度之間的關(guān)系：n1<1，n3<1，傾向和走向方向均為非充分采動(dòng)；n1<1，n3>1，傾向方向?yàn)榉浅浞植蓜?dòng)，走向方向?yàn)槌浞植蓜?dòng)；n1>1，n3<1，傾向方向?yàn)槌浞植蓜?dòng)，走向方向?yàn)榉浅浞植蓜?dòng)；n1=1，n3=1，傾向和走向方向均達(dá)到充分采動(dòng)；n1>1，n3>1，傾向和走向方向均達(dá)到超充分采動(dòng)。

對于在煤層傾向或走向半盆地內(nèi)的任意一組下沉典型曲線，可以首先采用上述研究方法分別求出與其采動(dòng)影響系數(shù)相對應(yīng)的參數(shù)a，b的數(shù)值；然后，利用統(tǒng)計(jì)分析方法建立參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的回歸方程，將其用于確定任意采動(dòng)影響程度下參數(shù)a，b的數(shù)值。

1.2參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的回歸方程

以峰峰礦區(qū)傾向主斷面內(nèi)的下沉典型曲線為例，采用前述研究方法建立參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)n1之間的回歸方程。該礦區(qū)走向主斷面大多屬于充分采動(dòng)，傾向主斷面大多屬于非充分采動(dòng)，根據(jù)多年的開采沉陷實(shí)測資料分析求得的傾向主斷面下沉典型曲線分布系數(shù)w(x)/wm與相應(yīng)的采動(dòng)影響系數(shù)n1之間的對應(yīng)值見表1(適用于煤層傾角10～25°)[22]。利用表1中的數(shù)據(jù)求得參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)n1之間的對應(yīng)值列入表2，并根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)作出a，b與n1之間的相關(guān)圖，如圖2、圖3所示。

表1　峰峰礦區(qū)傾向主斷面內(nèi)下沉典型曲線分布系數(shù)w(x)/wm

表2　參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)n1之間的關(guān)系

圖2　預(yù)計(jì)參數(shù)a與采動(dòng)影響系數(shù)n1的相關(guān)性

圖3　預(yù)計(jì)參數(shù)b與采動(dòng)影響系數(shù)n1的相關(guān)性

從圖2可以看出，參數(shù)a與n1之間的關(guān)系可以近似地用線性函數(shù)表示為：

a=a0+kan1

(9)

式中，a0為常數(shù)；ka為系數(shù)。

根據(jù)線性回歸原理[23]，常數(shù)a0，ka和相關(guān)系數(shù)ran可用下列公式計(jì)算：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，M是n1的個(gè)數(shù)。

回歸計(jì)算結(jié)果為：

a=6.045-1.141n1；ran=-0.839

(15)

從圖3可見，參數(shù)b與采動(dòng)影響系數(shù)n1之間的關(guān)系也可以近似地用線性函數(shù)來表示：

b=b0+kbn1

(16)

式中，b0為常數(shù)；kb為系數(shù)。

回歸計(jì)算結(jié)果為:

b=1.680+0.822n1；rbn=0.957

(17)

為研究參數(shù)a與b之間的相關(guān)性，根據(jù)表2作出參數(shù)a與b之間的相關(guān)圖(圖4)。

圖4　預(yù)計(jì)參數(shù)a與b的相關(guān)性

從圖4可見，參數(shù)a與b之間的關(guān)系亦可以近似地表示為線性函數(shù)：

a=k0+kb

(18)

式中，k0為常數(shù)；k為系數(shù)。

回歸計(jì)算結(jié)果為:

a=7.999-1.209b；rab=0.764

(19)

取顯著性水平α=0.05，以自由度為5查相關(guān)系數(shù)表得相關(guān)系數(shù)的臨界值rα=0.754。 由于rab>rα，說明a與b之間相關(guān)顯著，線性回歸方程有效。

由以上回歸分析可見，負(fù)指數(shù)函數(shù)法的預(yù)計(jì)參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間存在密切的相關(guān)關(guān)系，參數(shù)a與b之間也存在密切的相關(guān)關(guān)系，回歸方程(15)和(17)可以用于峰峰礦區(qū)以及地質(zhì)采礦條件與之類似的礦區(qū)確定參數(shù)a，b。

2參數(shù)a，b確定方法實(shí)用效果的驗(yàn)證

某礦在一采區(qū)上方設(shè)置地表移動(dòng)觀測站，對走向和傾向主斷面內(nèi)的位移和變形進(jìn)行了監(jiān)測。開采煤層厚度m=2m；煤層傾角α=10°；走向方向工作面長度D3=350m；傾向方向工作面長度D1=100m；上邊界深度H2=137m；下邊界深度H1=154m；平均深度H0=145.5m。地表移動(dòng)基本參數(shù)：下沉系數(shù)q=0.72；最大下沉角θ=90°-0.7α；上山邊界角γ0=65°；采動(dòng)影響系數(shù)n1=0.86D1/H0，n3=0.86D3/H0。

利用該采區(qū)傾向主斷面內(nèi)上山方向的地表下沉觀測結(jié)果，對前述參數(shù)a，b的實(shí)用效果進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

2.1采動(dòng)影響系數(shù)的計(jì)算

n1=0.86D1/H0=0.86×100/145.5=0.59<1，傾向方向?yàn)榉浅浞植蓜?dòng)。

n3=0.86D3/H0=0.86×350/145.5=2.1>1，走向方向?yàn)槌浞植蓜?dòng)。

2.2參數(shù)a，b的計(jì)算

a=6.045-1.141n1=6.045-1.141×0.59=5.37181

b=1.680+0.822n1=1.680+0.822×0.59=2.16498

2.3最大下沉值計(jì)算

將上面有關(guān)計(jì)算結(jié)果代入公式(1)得到傾向主斷面內(nèi)下沉預(yù)計(jì)公式為：

(20)

公式(20)中的半盆地長度L可按下式求得：

L=H2cotγ0+1/2D1cosα+H0cotθ=

137cot65°+1/2×100cos10°+145.5cot(90°-0.7×10°)=131(m)

利用公式(20)計(jì)算的上山方向地表下沉分布系數(shù)(w(x)/wm) 見表3，將實(shí)際測量的下沉分布系數(shù)(w(x)′/wm) 及其與計(jì)算結(jié)果的差值((w(x)-w(x)′)/wm)也列入表3，并作出計(jì)算和實(shí)測的下沉分布曲線如圖5所示，以便于對計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果進(jìn)行直觀的比較。

從表3可知，計(jì)算下沉值與實(shí)測下沉值的最大差值為最大下沉值(1106mm)的2.2%，即24mm，求得計(jì)算結(jié)果的中誤差為最大下沉值的1.2%，即13mm，說明計(jì)算結(jié)果有很高的精度。另外，從圖5可以直觀地看出，計(jì)算下沉曲線與實(shí)測下沉曲線的形態(tài)一致，兩者重合很好。由此可見，采用本文提出的方法確定參數(shù)a，b具有有效性和實(shí)用性。

表3　上山半盆地主斷面內(nèi)下沉分布系數(shù)計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果的比較

圖5　上山半盆地主斷面內(nèi)計(jì)算下沉曲線與實(shí)測下沉曲線的比較

3結(jié)論

通過對負(fù)指數(shù)函數(shù)法的預(yù)計(jì)參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行定量的分析和研究，并利用實(shí)測數(shù)據(jù)對本文提出的參數(shù)a，b確定方法的實(shí)用效果進(jìn)行驗(yàn)證，可得出如下結(jié)論：

(1)負(fù)指數(shù)函數(shù)法的參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間存在密切的相關(guān)關(guān)系，其關(guān)系可以用線性函數(shù)定量地表示。

(2)參數(shù)a，b不是彼此孤立地變化的，它們之間存在密切的相關(guān)關(guān)系，且其關(guān)系也可以用線性函數(shù)定量地表示。

(3)利用礦區(qū)的下沉典型曲線，采用最小二乘擬合法建立參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的回歸方程，將其用于確定任意采動(dòng)影響程度下參數(shù)a，b的數(shù)值，具有有效性和實(shí)用性。

應(yīng)當(dāng)指出，負(fù)指數(shù)函數(shù)法的預(yù)計(jì)參數(shù)a，b除了與采動(dòng)影響程度密切相關(guān)之外，還與煤層傾角和上覆巖層的性質(zhì)有關(guān)，因此，本文建立的參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的回歸方程，只適用于峰峰礦區(qū)和地質(zhì)采礦條件與之類似的礦區(qū)。在其他礦區(qū)，可以利用其下沉典型曲線，采用本文提出的方法建立參數(shù)a，b與采動(dòng)影響系數(shù)之間的回歸方程。另外，負(fù)指數(shù)函數(shù)法僅適用于矩形或接近于矩形的采區(qū)。

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[責(zé)任編輯：施紅霞]

Parameters Determination of Negative Exponential Function Forecast of Surface Movement

YU Xian-yu1，HU You-jian1，NIU Rui-qing2

(1.Information Engineering Faculty，China University of Geosciences(Wuhan),Wuhan 430074，China；2.Geophysics & Geomatics Institute；China University of Geosciences(Wuhan)，Wuhan 430074，China)

Abstract：The predicting precision of negative exponential function method is mainly depended on precision and reliability of parameters a and b，the largest influencing factor that to parameters a and b is mining influence degree，and quantitative relation of parameters a and b and mining influencing coefficient was put forward on the basis of typical subsidence curve of coal mine area，then parameters a and b were determined by the quantitative relation expression.The practical effects of the parameters determination method was validated by measured data，the results showed that the relations of parameters a，b and mining influence coefficient could be quantitative expressed by linear function.

Key words：surface movement predicting；negative exponential function method；predicting parameters；mining influence coefficient

[收稿日期]2015-08-19

[作者簡介]于憲煜(1987-)，男，湖北武漢人，在讀博士研究生，研究方向?yàn)樽冃伪O(jiān)測與災(zāi)害地質(zhì)。

[中圖分類號]TD325.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1006-6225(2016)02-0010-05

礦山開采沉陷規(guī)律與變形控制

[DOI]10.13532/j.cnki.cn11-3677/td.2016.02.004

[引用格式]于憲煜，胡友健，牛瑞卿.地表移動(dòng)負(fù)指數(shù)函數(shù)預(yù)計(jì)法的參數(shù)確定方法研究[J].煤礦開采，2016，21(2)：10-14.