李鎮(zhèn)業(yè)，李培哲，周怡然，白在橋

(北京師范大學 物理學系，北京100875)

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大口徑分光計中棱鏡色散光譜線彎曲的測定

李鎮(zhèn)業(yè)，李培哲，周怡然，白在橋

(北京師范大學 物理學系，北京100875)

摘要：利用幾何光學方法分析了大口徑分光計光中的光譜線彎曲現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)不平行于棱鏡主截面的光線引起了光譜線的彎曲. 如果采用與光線的傾角有關(guān)的等效折射率，不平行于主截面的光線在主截面內(nèi)的投影也可以看成在按折射定律傳播的光線,在此基礎(chǔ)上得到了光譜線曲率的計算公式. 用照相法實測了光譜線的曲率，修正像差導(dǎo)致的誤差后的測量結(jié)果與理論值符合較好.

關(guān)鍵詞：大口徑分光計；曲率；棱鏡

分光計是大學物理實驗傳統(tǒng)的光學儀器，隨著技術(shù)的進步與教學理念的轉(zhuǎn)變，分光計的結(jié)構(gòu)設(shè)計也一直在發(fā)生變化[1]. 在學習分光計的調(diào)節(jié)方法時，由于望遠鏡的視角很小，學生尋找“+”字反射像(或譜線)有一定的難度. 為了解決這個問題，近年來有些教學儀器廠家設(shè)計了大口徑分光計. 相比普通分光計，大口徑分光計視野開闊，調(diào)節(jié)和測量都比較方便. 但增大視場角也帶來了問題：觀察到的光譜線存在明顯的彎曲. 對于這個現(xiàn)象，已有文獻從幾何光學的角度進行了分析，定性上與實驗結(jié)果相符. 但由于涉及到三維空間中比較復(fù)雜的幾何學，文獻中并沒有對譜線彎曲給出簡單的物理解釋和計算公式，也沒有定量的測量結(jié)果[2-4]. 本文將推導(dǎo)譜線彎曲曲率的計算公式，并與實際測量相比較.

1現(xiàn)象描述與初步分析

實驗使用長春禹衡時代光電科技公司生產(chǎn)的JJY-2型分光計(視場角為8°) 觀察汞燈經(jīng)過玻璃三棱鏡分光后的光譜. 按要求將分光計調(diào)整完畢后，使用相機對望遠鏡的視野進行拍照，得到接近肉眼觀察效果的照片. 使用的相機是佳能600D，鏡頭型號為EF-S 18-55mm f/3.5-5.6 ISII，在拍攝過程中采用手動對焦. 在所拍照片中可以發(fā)現(xiàn)光譜線有明顯的彎曲，而且彎曲的方向為偏向角增大的方向，如圖1所示.

圖1　光譜線彎曲現(xiàn)象

為了確定導(dǎo)致譜線彎曲的原因，移開望遠鏡，用相機對三棱鏡出射光線拍照(見圖2)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)譜線依舊彎曲，只是彎曲方向與望遠鏡中的圖像左右相反. 去除三棱鏡，將望遠鏡直接對準準直管時，看到的狹縫像是直線，只在視野邊緣有稍許因畸變導(dǎo)致的彎曲. 因為整個光路分為準直管、三棱鏡和望遠鏡3個部分，排除了望遠鏡和準直管的因素，可以肯定光譜線是經(jīng)過三棱鏡折射后產(chǎn)生彎曲的.

圖2　三棱鏡直接出射光線

2理論分析

照亮的狹縫可以認為是線光源，它位于準直管透鏡的焦面上. 狹縫上給定一點發(fā)出的光經(jīng)過準直管后的出射光線相互平行. 狹縫上不同點發(fā)出的光線，經(jīng)過透鏡后傳播方向各不相同，但在同一平面內(nèi)，如圖3所示.

圖3　準直管光路圖

這些光線入射到三棱鏡的前表面，如果儀器調(diào)整到位，所有入射光的方向矢量都在垂直于三棱鏡主截面的一個平面內(nèi). 這些光線經(jīng)過三棱鏡折射后，方向矢量將不再處于同一平面內(nèi)，而是發(fā)生彎曲變形，從而在望遠鏡的分劃板上形成彎曲的光譜線. 入射光與主截面的夾角越大，光線偏離得越厲害，最終成像為譜線中越靠近邊緣的部分，這與實驗觀察到的現(xiàn)象符合. 事實上，這個現(xiàn)象很早就被發(fā)現(xiàn)并討論，不過并沒有很好地解決. 文獻[2]根據(jù)幾何光學仔細計算了出射光線的彎曲情況，但沒有得到曲率的解析表達式. 文獻[3]定性分析了現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，但沒有定量計算，文獻[4]計算了出射光線方向的表達式，但其形式比較復(fù)雜且不能直接與實測結(jié)果比較.

我們采用矢量分析方法分析光線在三維空間的傳播. 如圖4所示，光線從準直管射出，從棱鏡的前表面進入棱鏡，然后從棱鏡的后表面射出，進入望遠鏡. 記棱鏡前后表面的法向單位矢量分別為nf和nb,為方便起見，定義nf指向棱鏡內(nèi)部，nb指向棱鏡外部，如圖4所示.

圖4　折射光路圖

由幾何關(guān)系有

nf·nb=cosA, nf×nb=sinAnh,

(1)

其中A為棱鏡的頂角,nh為與棱鏡的側(cè)棱平行的單位矢量. nf和nb在棱鏡的主截面內(nèi)，nh與主截面垂直. 用光學動量表示折射定律非常方便. 光學動量定義為光線傳播方向單位矢量與介質(zhì)折射率的乘積. 設(shè)光線在進入棱鏡之前、棱鏡中和出棱鏡后的光學動量分別為p1，p12和p2. 由定義有p1·p1=p2·p2=1以及p12·p12=n2，其中n為棱鏡材料的折射率，而折射定律可寫為[5]：

(p12-p1)×nf=(p12-p2)×nb=0,

(2)

由(p12-p1)×nf=0和nf·ph=0，可得

0=[(p12-p1)×nf]×nh=[(p12-p1)·nh]nf,

(3)

即(p12-p1)·nh=0. 同理，由(p12-p2)×nb=0和nb·nh=0可得

(p12-p2)·nh=0.

綜合以上2個等式，有

p1·nh=p12·nh=p2·nh≡sinγ,

(4)

其中γ的含義是入射光線(出射光線)與棱鏡主截面的夾角，γ=0對應(yīng)在主截面內(nèi)的光線. 任意矢量u總可以分解為垂直于主截面的分量u⊥=(u·nh)nh和平行于主截面的分量u∥=u-u⊥，(4)式說明p1⊥=p12⊥=p2⊥，所以p12∥-p1∥=p12-p1，p12∥-p2∥=p12-p2，而(2)式等價于

(p12∥-p1∥)×nf=(p12∥-p2∥)×nb=0 ,

(5)

即光線在主截面內(nèi)的投影也符合折射定律，可以看成在主截面內(nèi)傳播的光線，它們與三維空間中真實光線唯一的區(qū)別是

p1∥·p1∥=p2∥·p2∥=1-sin2γ=cos2γ≠1,

p12∥·p12∥=n2-sin2γ≠n2,

(6)

(7)

由于棱鏡折射率越大偏向角越大，而從(7)式容易知道，當γ≠0時，有ρ(γ)>n，這就是光譜線會向偏向角大的方向彎曲的原因. 為了對等效折射率的變化有數(shù)量級上的了解，考慮n=1.5情況，對于JJY-2分光計，γ最大可取到4°，ρ可增大到1.502 0. 折射率改變0.002會引起光譜線相當明顯地移動，因此可以看到明顯的光譜線彎曲. 而如果γ=1°，則ρ=1.500 1，改變量與折射率測量的不確定度相當，現(xiàn)象就不明顯.

下面利用等效折射率計算光譜線彎曲的曲率. 設(shè)投影光線在棱鏡前表面的入射角為θ1，在后表面的出射角為θ2，棱鏡引起的光線偏轉(zhuǎn)角為δ.θ2,δ都是θ1和ρ的函數(shù)，即θ2=θ2(θ1,ρ)，δ=δ(θ1,ρ)，它們由以下方程決定

(8)

實驗對應(yīng)的問題是固定θ1，γ改變引起ρ改變，從而引起δ的變化. (8)式求對ρ的偏導(dǎo)數(shù)，可得

(9)

將(7)式在γ=0附近展開，可得

(10)

聯(lián)合(9)式和(10)式可以得到光譜線彎曲的函數(shù)形式：

(11)

其中δ0為主截面內(nèi)光線的偏向角. 當δ0為最小偏向角時，θ1=θ2=(A+δ0)/2，(11)式可簡化為

(12)

其中

(13)

光譜線在分劃板上的橫縱坐標分別與tan (δ-δ0)和tanγ成比例，由于δ≈δ0,γ≈0，tanγ≈γ，(13)式就是最小偏向角時光譜線在頂點處的曲率.

3實驗測定及數(shù)據(jù)處理

3.1三棱鏡參量的測定

首先，按照常規(guī)實驗方法測定三棱鏡的參量，包括三棱鏡的頂角和各條譜線的最小偏向角δ0. 然后根據(jù)公式計算出對應(yīng)的n和曲率K，結(jié)果見表1,三棱鏡頂角A=1.052 6 rad.

表1　三棱鏡參量測定

3.2曲率實驗值

以綠光光譜線為例說明曲率的測定過程：將綠色光譜線移動至最小偏向角位置，調(diào)整望遠鏡使其位于分劃板右側(cè)(為避免譜線被分劃板擋住影響測算)盡量靠近中心的位置(減小像差)，使用相機進行對焦，得到清晰的譜線，該狀態(tài)下得到的照片如圖5所示.

圖5　綠色譜線在最小偏向角(分劃板右)

為了得到實際的曲率以便和理論公式比較，必須對照片定標，即確定相機底片像素點距離與角度變量的比例系數(shù). 為此，保持相機位置和焦距不變，取下三棱鏡，換上平面鏡并轉(zhuǎn)動載物臺，使狹縫的反射像從左到右掃過分劃板，拍下若干張照片并記錄對應(yīng)狹縫像的角度讀數(shù). 經(jīng)過多次實驗，發(fā)現(xiàn)照片比例尺的線性很好，因此后期實驗的數(shù)據(jù)中只記錄了3個位置，這已經(jīng)足夠保證實驗的準確度. 圖6是合并到同一張照片中的狹縫像.

圖6　照片比例尺的確定

注意到實際狹縫反射像角度的改變量是平面鏡轉(zhuǎn)動的角度的2倍，從圖6中讀出3條光線對應(yīng)的像素，結(jié)果見表2，表中平面鏡角度為θ1,出射光角度為θ2.

表2　照片定標數(shù)據(jù)

將像素與出射光角度改變量進行線性擬合(已知它們具有好的線性相關(guān)性)，得到比例系數(shù)為5.194×104，即出射光角度改變1 rad，相當于在相片上移動5.194×104個像素點. 確定了照片的比例尺后，可以開始對處于最小偏向角下的綠色譜線進行處理. 處理的方式是通過Photo-shop截取綠色譜線，然后利用事先編寫好的Matlab程序掃描圖片亮度，將譜線所在位置點出，最后用二次函數(shù)擬合(見圖7). 擬合結(jié)果為

y=1.442×10-5x2-0.034 2x+48.95,

相關(guān)系數(shù)R2=0.987. 對于二次函數(shù)，其頂點處的曲率是其二次項系數(shù)的2倍, 由此可知，實驗測得的綠色譜線曲率為2.884×10-5pixel-1，由照片比例尺計算得到K綠右=1.497 rad-1，與理論值1.340 rad-1接近，但仍存在較大的偏差.

圖7　譜線的二次曲線擬合

經(jīng)過反復(fù)實驗，考慮到調(diào)節(jié)精度，分析了產(chǎn)生誤差的原因，最終確定望遠鏡產(chǎn)生的像差是最主要的影響因素為：為了避開分劃板中下部的黑色窗口，拍到完整的譜線，照片中的譜線不可避免地偏向一邊. 為消除像差造成的影響，轉(zhuǎn)動望遠鏡，將處于最小偏向角下的綠色譜線在黑色窗口左側(cè)靠近中央的位置成像，重復(fù)上述過程(因為望遠鏡移動了，相機需要移動和重新對焦，因此照片比例尺也需要重新測定，數(shù)據(jù)詳見表3)，得到另一個實測綠色譜線曲率K綠左=1.202 rad-1，比理論值偏小，可見像差確實造成了很大的影響. 取2次測量值的平均值作為譜線曲率的測量值，即

與理論值的偏差僅在1%.

對于黃色和紫色譜線，同樣采用上述方法得到的數(shù)據(jù)如表3所示. 由表3可見，實測值與理論值符合得很好.

表3　實測譜線曲率與理論曲率的比較

4結(jié)論

利用幾何光學原理分析了大口徑分光計中光線的傳播規(guī)律，定性地解釋了譜線的彎曲現(xiàn)象，并得到了譜線頂點處曲率的計算公式. 利用照相法實測了該曲率，在修正了成像系統(tǒng)的像差后，所得結(jié)果與理論值符合得較好. 經(jīng)分析，如果按照要求調(diào)整分光計，特別是能夠保證棱鏡的主截面和望遠鏡的光軸都與儀器的轉(zhuǎn)軸垂直，準直管的狹縫方向與轉(zhuǎn)軸平行，而且使用譜線的中心位置測量角度，那么譜線彎曲對實驗結(jié)果的影響是可以忽略的.

參考文獻：

[1]楊之昌,馬世紅. 漫談教學用分光計[J]. 物理實驗,2006,27(2):40-45.

[2]隋吉動,李天和. 用三棱鏡測光譜時譜線彎曲的分析[J]. 黑龍江八一農(nóng)墾大學學報,1986(2):97-105.

[3]盧杰,張瑛. 棱鏡光譜線彎曲的分析[J]. 物理實驗,1999,19(4):43.

[4]陳杰,劉國營,李文勝,等. 用分光計測量三棱鏡折射率實驗中的光譜彎曲現(xiàn)象[J]. 大學物理,2013,32(12):21-23.

[5]馬科斯·玻恩,埃米爾·沃耳夫. 光學原理[M]. 7版. 楊葭蓀譯. 北京:電子工業(yè)出版社,2006:112.

[責任編輯：郭偉]

Measurement of the bending of spectrum lines in large aperture prism spectrometer

LI Zhen-ye, LI Pei-zhe, ZHOU Yi-ran， BAI Zai-qiao

(Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Abstract:The bending of spectrum lines in large aperture optical spectrometer was analyzed based on geometric optics. The bending was caused by the incident rays that were not parallel to the major plane of the prism. The projection of these off-plane rays could be treated as in-plane rays if an inclination-dependent effective index of refraction was used. From this point of view, the curvature of the spectrum line was measured by the photographic method. After the error due to aberration was carefully eliminated, the measured curvature agreed with the calculated value quit well.

Key words:large aperture spectrometer; curvature; prism

中圖分類號：O436.3

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)05-0029-05

作者簡介：李鎮(zhèn)業(yè)(1995-),男,山東淄博人,北京師范大學物理學系勵耘實驗班2013級本科生.指導(dǎo)教師：白在橋(1971-)，男，重慶人，北京師范大學物理學系副教授，博士，從事理論物理方面的研究工作.

收稿日期：2015-12-30；修改日期：2016-03-16