朱章根(韶關(guān)學(xué)院物理與機電工程學(xué)院,廣東韶關(guān) 512005)

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求均質(zhì)桿件動能的一種新方法
——矢量運算法

朱章根
(韶關(guān)學(xué)院物理與機電工程學(xué)院,廣東韶關(guān) 512005)

【摘 要】動能定理一直是力學(xué)教學(xué)的一個重難點,同時也是一個很重要的內(nèi)容。后續(xù)的分析力學(xué)基礎(chǔ)都是以動能及勢能為基礎(chǔ)的,可見其在力學(xué)課程中的重要性。我們提出一種計算桿件動能的新方法并且對新方法給出了理論證明。與常規(guī)方法不同的是新方法運用基礎(chǔ)力學(xué)知識求出桿件兩個端點的速度繼而用基礎(chǔ)矢量運算可輕易求出其動能表達式。并且給出了該新方法在多種動力學(xué)問題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】矢量 均質(zhì)桿 動能 動力學(xué) 拉格朗日函數(shù) 分析力學(xué)

桿件運動時其動能為標(biāo)量，速度為矢量。而二維矢量點積為一個常數(shù)，直接根據(jù)矢量的運算是可以直接得到標(biāo)量的。根據(jù)矢量運算可以繞開柯尼希定理，直接求出平面均質(zhì)桿件做平面運動時的動能。因而可將動能直接表示成為矢量運算形式。

定理描述如下：假如一根長為l的均質(zhì)直桿在做平面運動，m為桿的質(zhì)量。其兩個端點A、B的速度矢量分別為u、v，矢量的點積為u·v則該均質(zhì)直桿的動能為

將上式以及u =aω且v =bω，帶入動能表達式，可得

即（*）式成立，由以下幾個例題可以看出它在動力學(xué)之中的應(yīng)用。

例1 兩個長均為l質(zhì)量均為m的均質(zhì)桿在A點銜接后懸掛在O軸上，在B端受到?jīng)_量S的作用，如圖2所示，求碰撞后兩桿的角速度。

解：取OA桿的轉(zhuǎn)角ψ1和AB桿的轉(zhuǎn)角ψ2為廣義坐標(biāo)。碰撞前兩桿的角速、均為零，碰撞后兩桿的角速度分別為ω1和ω2。桿OA作定軸轉(zhuǎn)動，故端點O的速度大小為vO=0，端點A的速度大小為vA=Lω。此時0，故其動能為

因此系統(tǒng)的動能為

碰撞前廣義動量都是零，碰撞后的廣義動量為

由此解得

例2：在例1的基礎(chǔ)上，均質(zhì)桿和OA以及AB用鉸A連接，用鉸O固定，如圖二所示。若兩桿的長度不相同分別為l1和l2。質(zhì)量也不同分別為為m1和m2。在B端作用的不是沖量而是一個常值水平力S則該系統(tǒng)的運動微分方程為何？

解 這種問題一般用拉格朗日方程求解，勢必需要求該體系的動能。因系統(tǒng)具有完整理想約束，具備拉格朗日方程求解的條件。系統(tǒng)具有兩個自由度，取α，β為廣義坐標(biāo)。主動力包括P1，P2，S。兩個重力是有勢力，而常值主動力S可以當(dāng)作重力對待。由于OA桿繞O點作定軸轉(zhuǎn)動，O點的速度為0，端點的A的速度大小為vA=l1。因此OA桿動能為

故整個系統(tǒng)的動能為

接著求系統(tǒng)的勢能，根據(jù)幾何關(guān)系有

因而總勢能為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

由

可得系統(tǒng)的運動微分方程為：

例3 一根長為l均質(zhì)細桿AB質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時，設(shè)桿與地面的夾角為θ。求桿在下落過程中未與地面碰撞前任意時刻的角速度以及桿剛剛躺到地面前瞬時桿的角速度。

解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，水平方向上動量守恒。因而直桿在倒下過程中其質(zhì)心將鉛直下降。當(dāng)直桿在下落的過程中，約束力不做功，僅由重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒。設(shè)A點的速度矢量為u，B點的速度矢量為v有幾何知識易得

將u、v以及uv帶入（）*式可得

初始時動能為T0=0。則由動能定理可得

繼而有桿剛剛躺到地面前瞬時，此時θ=0，將θ=0帶入上式，根據(jù)（）*式，此時桿的角速度為

也可以這樣求，桿剛剛躺到地面上之前瞬時，A點為桿的瞬心。則B點的速度為θ.l，可得到同樣的結(jié)果。

參考文獻:

[1]李俊峰等.理論力學(xué)(第2版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2010.

[2]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編.理論力學(xué)(第7版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2009.